2024-2025学年河北省石家庄市辛集市高一（下）期末数学试卷（含解析）

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这是一份2024-2025学年河北省石家庄市辛集市高一（下）期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知i为虚数单位，复数z满足z(1+i)=(3−i)，则z的共轭复数z−的模为( )
A. 5B. 2 2C. 2D. 2 5
2.已知向量a=(1,x),b=(4,−x)，则“x=2”是“a⊥b”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
3.如图，水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图为直角梯形O′A′B′C′，已知O′A′=2，O′C′=B′C′=1，则原四边形OABC的面积为，( )
A. 3 2
B. 3
C. 3 22
D. 32
4.设α，β，γ是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出四个命题：
①若m//α，n//α，则m//n
②若m⊥γ，n⊥γ，则m//n
③若m//α，n⊥α，则m⊥n
④若m//n，n//α，则m//α
其中正确命题的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.一组数据由小到大排列为2，4，5，x，11，14，15，39，41，50，已知该组数据的40%分位数是9.5，则x的值是( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
6.在△ABC中，G为△ABC的重心，M为AC上一点，且满足MC=3AM，则( )
A. GM=13AB+112ACB. GM=−13AB−112AC
C. GM=−13AB+712ACD. GM=13AB−712AC
7.中国是瓷器的故乡，“瓷器”一词最早见之于许慎的《说文解字》中.某瓷器如图1所示，该甁器可以近似看作由上半部分圆柱和下半部分两个等高(高为6cm)的圆台组合面成，其直观图如图2所示，已知圆柱的高为20cm，底面直径AB=10cm，底面直径CD=20cm，EF=16cm，若忽略该瓷器的厚度，则该瓷器的容积为( )
A. 669πcm3B. 1338πcm3C. 650πcm3D. 1300πcm3
8.如图，圆锥PO的底面直径和高均为12，过PO上一点O′作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，我们称该圆柱为圆锥的内接圆柱.则该圆锥的内接圆柱侧面积的最大值为( )
A. 12π
B. 24π
C. 36π
D. 72π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于非零复数z1，z2，下列结论正确的是( )
A. 若z1和z2互为共轭复数，则z1z2为实数
B. 若z1为纯虚数，则|z1|2=z12
C. 若|z1|=|z2|，则z1=z2
D. 若|z2+2−i|=1，则|z2|的最大值为 5+1
10.已知向量a，b满足|a|=|b|=1且|b−2a|= 5，则下列结论正确的是( )
A. |a−b|= 2B. |a+b|=2C. =60°D. a⊥b
11.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，下列说法正确的是( )
A. 若A=45°，a= 2，b= 3，则△ABC有两解
B. 若acsB=bcsA，则△ABC为等腰三角形
C. 若△ABC为锐角三角形，则sinA>csB
D. 若△ABC的外接圆的圆心为O，且2AO=AB+AC，|AO|=|AB|，则向量CA在向量CB上的投影向量为34CB
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.将一钢球放入底面半径为3cm的圆柱形玻璃容器中，完全浸没水中，水面升高4cm，则钢球的半径是 cm．
13.为了测量某塔的高度，检测员在地面A处测得塔顶T处的仰角为30°，从A处向正东方向走210米到地面B处，测得塔顶T处的仰角为60°，若∠AOB=60°，则铁塔OT的高度为______米．
14.如图，圆锥AO的底面圆半径为1，侧面积为3π，一只蚂蚁要从B点沿圆锥侧面爬到AB上的D点，且AD=13AB，则此蚂蚁爬行的最短路径长为．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，若AB=2e1−e2，BP=e1−3e2，PC=e1+2e2．
(1)证明：A，B，C三点共线；
(2)若e1=(1,0)，e2=(0,1)，点D(2,1)，B，C，D，P恰好构成平行四边形BCDP，求点P的坐标．
16.(本小题15分)
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且csC=2a−c2b．
(1)求角B的大小；
(2)若b=3，sinC= 33，求△ABC的面积．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AD=6，AB=2CD=6，AB//CD，AB⊥AD，F为PD的中点，E为AB的中点．
(1)证明：PE//平面ACF．
(2)证明：AF⊥平面PCD．
(3)求直线AC与平面PCD所成角的正弦值．
18.(本小题17分)
某高校的入学面试中有4道题目，第1题2分，第2题2分，第3题3分，第4题3分，每道题目答对给满分，答错不给分.小明同学答对第1，2，3，4题的概率分别为12,12,13，13，且每道题目答对与否相互独立．
(1)求小明同学恰好答对1道题目的概率；
(2)若该高校规定学生的面试分数不低于6分则面试成功，求小明同学面试成功的概率．
19.(本小题17分)
为了估计一批产品的质量状况，现对100个产品的相关数据进行综合评分(满分100分)，并制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品．
(1)求图中a的值，并求综合评分的平均数；
(2)用样本估计总体，以频率作为概率，按分层随机抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中最多有1个一等品的概率；
(3)已知落在[50,60)的平均综合评分是54，方差是3，落在[60,70)的平均综合评分为63，方差是3，求落在[50,70)的总平均综合评分z−和总方差s2．
答案解析
1.【答案】A
【解析】解：由z(1+i)=3−i，得z=3−i1+i=(3−i)(1−i)(1+i)(1−i)=1−2i，则z的共轭复数z−=1+2i的模为 5．
故选：A．
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式求解即可．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
2.【答案】A
【解析】解：由向量a=(1,x),b=(4,−x)，
若a⊥b，可得a⋅b=(1,x)⋅(4,−x)=1×4−x2=0，解得x=±2，
所以“x=2”是“a⊥b”的充分不必要条件．
故选：A．
根据向量垂直的坐标表示，列出方程求得x=±2，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解．
本题考查向量垂直的性质与充分必要条件的判断，属于中档题．
3.【答案】A
【解析】解：根据题意，直观图直角梯形O′A′B′C′中，O′A′=2，O′C′=B′C′=1，
则直观图的面积S′=(1+2)×12=32，
故原图的面积S=2 2S′=3 2．
故选：A．
根据题意，先求出直观图的面积，由直观图面积与原图面积的关系，计算可得答案．
本题考查平面图形的直观图，注意直观图面积与原图面积的关系，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：对①，m//α，n//α，则m和n可能平行、异面或相交，故①错误；
对②，根据线面垂直的性质知，垂直于同一平面的两直线平行，故②正确；
对③，由m//α，n⊥α，可得m⊥n，故③正确；
对④，若m//n，n//α，则m//α或m⊂α，故④错误．
故选：B．
根据线面位置关系的判定定理、性质定理，以及推论，逐项判定，即可求解．
此题考查了直线与直线、直线与平面的位置关系的判断，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：该组数据共10个数，
由10×40%=4，可知该组数据的40%分位数是第四个数与第五个数的平均数，
等于x+112=9.5，即x=8．
故选：C．
直接利用百分位数的求法列式求解x值．
本题考查百分位数的求法，是基础题．
6.【答案】B
【解析】解：由题意，画出几何图形如下图所示：
GM=GA+AM；
∵G为△ABC的重心，M满足MC=3AM；
∴AG=23⋅12(AB+AC)=13(AB+AC)，AM=14AC；
∴GM=−13(AB+AC)+14AC=−13AB−112AC．
故选：B．
根据三角形重心的性质，结合向量的加法和减法即可判断结论．
本题考查了三角形重心的性质，向量的线性运算，向量加法和数乘的几何意义．
7.【答案】B
【解析】解：因为圆柱的高为20cm，底面直径AB=10cm，底面直径CD=20cm，EF=16cm，且两圆台的高都为6cm，
所以该瓷器的容积为：
V=π×25×20+13×(25π+100π+ 25π×100π)×6+13×(64π+100π+ 64π×100π)×6
=500π+13×175π×6+13×244π×6=1338πcm3．
故选：B．
根据题意利用圆柱和圆台的体积公式直接求解即可．
本题考查组合体的体积的求解，属中档题．
8.【答案】C
【解析】解：圆锥轴截面如图所示，
设圆柱的底面半径为r，OO′=x，
由O′A//OB可知，PO′PO=O′AOB，即12−x12=r6，
所以r=12−x2，
故被挖去的圆柱的侧面积为S=2πrx=2πx×12−x2=πx(12−x)≤π×(x+12−x2)2=36π
当且仅当x=6时取等号，被挖去的圆柱的侧面积最大值为36π．
故选：C．
设OO′=x，用x的函数表达式表示出圆柱的侧面积，再利用基本不等式即可求出最大值．
本题主要考查了圆柱的侧面积公式的应用，还考查了基本不等式求解最值，属于中档题．
9.【答案】AD
【解析】【分析】
本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．
根据已知条件，结合共轭复数的定义，特殊值法，以及复数的几何意义，即可求解．
【解答】
解：对于A，z1和z2互为共轭复数，
则z1z2=|z1|2∈R，故A正确；
对于B，不妨设z1=i，
|z1|2=1，z12=−1，故B错误；
对于C，设z1=1，z2=i，满足|z1|=|z2|，但z1≠z2，故C错误；
对于D，设z2=a+bi，
|z2+2−i|=1，
则|a+2+(b−1)i|= (a+2)2+(b−1)2=1，
即(a+2)2+(b−1)2=1，表示以(−2,1)为圆心，1为半径的圆，
|z2|= a2+b2，表示圆上的点到圆心的距离，
故|z2|的最大值为 (−2−0)2+(1−0)2+1= 5+1，故D正确．
故选：AD．
10.【答案】AD
【解析】解：因为|a|=|b|=1，且|b−2a|= 5，所以b2−4a⋅b+4a2=5，
所以a⋅b=0，所以a⊥b，选项D正确；
因为(a−b)2=a2−2a⋅b+b2=2，所以|a−b|= 2，故A正确；
因为(a+b)2=a2+2a⋅b+b2=2，所以|a+b|= 2，故B错误；
因为a⊥b，所以=π2，故C错误．
故选：AD．
由已知结合向量数量积的性质对各选项进行检验即可．
本题主要考查了向量数量积的性质的简单应用，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：选项A，在△ABC中，若A=45°，a= 2，b= 3，
则由正弦定理asinA=bsinB，可得sinB=bsinAa= 3× 22 2= 32，
又b>a，所以B=60°或B=120°，此时△ABC有两解，故A正确；
选项B，△ABC中，若acsB=bcsA，则由正弦定理可得sinAcsB=sinBcsA，
所以sinAcsA=sinBcsB，即sin2A=sin2B，
又2A，2B∈(0,2π)，所以2A=2B或2A+2B=π，
即A=B或A+B=π2，△ABC为等腰三角形或直角三角形，故B错误；
选项C，若△ABC为锐角三角形，则A+B>π2，即π2>B>π2−A>0，
因为y=csx在(0,π)上为减函数，所以csBπ2−A，可得csB