江苏省泰州市兴化市2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试卷(含解析)

这是一份江苏省泰州市兴化市2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试卷(含解析)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列各式中，是一元一次方程的是( )
A. B. C. D.
2.下列各式中，计算正确的是( )
A. B. C. D.
3.如图，能判断 的条件是( )
A.
B.
C.
D.
4.钟面上 3 点整时，时针与分针的夹角为( )
A. B. C. D.
5.下列等式变形中，错误的是( )
A. 如果 ，那么 B. 如果 ，那么
C. 如果 ，那么 D. 如果 ，那么
6.小慧在月历上圈出四个数，并计算出它们的和为 36，这四个数所在位置可能是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。
7.如果 ，那么 的余角等于______.
8.数据 13530000 用科学记数法表示为______.
9.若单项式 与 是同类项，则 ______.
10.弯曲的公路改直后就能缩短路程，可以用数学知识的基本事实来解释为：______.
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11.某商店第一天售出 n 件吉祥物，第二天的销售量比第一天的 3 倍少 6 件，则吉祥物第二天的销售量是
______件.
12.在研究幻方的综合实践中，小华填入如图的代数式，若图中各行、各列及对角线
上的三个数之和都相等，则 ______.
13.如图，点 A、O、B 在同一条直线上， ，OE 平分
，若 ，则 的度数为______度.
14.已知 ，则代数式 ______.
15.如图，将长方形纸片 ABCD 沿 EF 折叠后，点 D、C 分别落在点 、
的位置， 的延长线交 BC 于点 G，若 ，则
______ 用 的代数式表示
16.A，B，C 三点在数轴上所表示的数为 ， ，2，一根长为 3 个单位长度的木棒 PQ 如图放置在数轴
上 点 P 与点 B 重合 ，当木棒 PQ 以每秒 2 个单位长度的速度向右运动，同时点 M、N 分别从 A、C 出发，
分别以每秒 1 个单位长度和 4 个单位长度的速度向右运动，记木棒 PQ 运动后对应的位置为 ，M、N
运动后对应的位置为 、 ，若 为常数，则 ______.
三、解答题：本题共 10 小题，共 102 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17. 本小题 10 分
计算：
；
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18. 本小题 10 分
解方程：
；
19. 本小题 8 分
先化简再求值： ，其中
20. 本小题 10 分
如图，点 A、B、C 在正方形网格点上，每个小正方形边长为 1 个单位长度.根据要求完成下列问题：
画线段 AB、AC、BC；
在线段 AB 上画一点 D，使得 CD 最短 仅用无刻度的直尺画图，保留必要的画图痕迹并标明相应字母 ；
图中 的面积等于______.
21. 本小题 8 分
已知 ，
求代数式 ；
若 a，b 满足 ，求 的值.
22. 本小题 10 分
如图，点 P 在 中， 交 OA 于点
过点 P 作 OA 的平行线交 OB 于点 利用圆规和无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，并标明相应的字母，
不写作法
在 的条件下，连接 OP，若 ，试说明 OP 是 的角平分线.
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23. 本小题 10 分
定义一种新运算，规定 、b 是有理数 例如：
计算 ；
若 ，求 x 的值；
比较 与 的大小.
24. 本小题 10 分
为持续深入推进“双减”工作，拓展丰富课后服务资源，满足学生兴趣特长发展需求，某校决定购买一批
篮球和排球供学生兴趣课使用.每个排球比篮球便宜 30 元，4 只篮球与 6 只排球的费用一样.
求出篮球和排球的单价；
经市场调查发现：甲商场优惠方案是：每购买 10 只篮球送一个排球；乙商场优惠方案是：若购买篮球超
过 50 只，则购买排球打八折.若该校购买 100 只篮球和 a 只排球 其中 且为整数 ，则当购买的排球数
a 为何值时，在两家商场购买所需的费用一样.
25. 本小题 12 分
阅读理解：勤奋好学的小丽发明了降次小魔方，如图，可以将二次多项式降次为一次多项式.规则为：将二
次多项式 M 的二次项指数与二次项系数相乘，其积作为一次多项式 N 的一次项系数，二次多项式 M 的一次
项系数作为一次多项式 N 的常数项，二次多项式 M 的常数项变为 如，二次多项式 经过
小魔方后，可以降次为一次多项式
理解应用：
若 ，经过小魔方后的多项式 ______；
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若 ，经过小魔方后的多项式记为 B，若 的结果中不含一次项，求常数 m 的
值；
拓展应用：
若 、b 为常数 ，经过小魔方后的多项式记为 B，若方程 有
无数个解，分别求 a、b 的值.
26. 本小题 14 分
综合实践：
【知识发现古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯 最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于
”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明.之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几
里得、普罗科拉斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明.其中欧几里得利用辅助平行线和延长线，通
过一组同位角和内错角证明了该定理.请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整.
已知：如图 1，在 中，
求证：
证明：延长线段 BC 至点 F，并过点 C 作
，
______ ，______
______ ，
【结论运用
如图 2，已知 ，点 H、Q 分别在 OA、OB 上，连接 HQ，作 的角平分线 MQ 交 OA 于点 M，
过点 M 作 交 OB 于点 若 ， ，求 的度数.
【拓展延伸
如图 3，在 的条件下，若 OA 绕点 O 逆时针旋转，交直线 FN 于点 E，作 的角平分线 ED 交射
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线 QM 于点 D，则在旋转的过程中， 的值是否变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由.
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答案和解析
1.B
解：A、未知数的最高次数是 2，不是一元一次方程，故此选项不符合题意；
B、是一元一次方程，故此选项符合题意；
C、含有两个未知数，不是一元一次方程，故此选项不符合题意；
D、不是整式方程，故此选项不符合题意；
故选：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1 的整式方程叫做一元一次方程，由此判断即可．
本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
2.D
解：A、 ，故 A 错误；
B、 ，故 B 错误；
C、 ，故 C 错误；
D、 ，故 D 正确．
故选：
根据整式的加减运算法则即可求出答案．
本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算，本题属于基础题型．
3.A
解： ，
，
故 A 符合题意；
，
，
故 B 不符合题意；
由 ，不能判定 ，
故 C 不符合题意；
，
，
故 D 不符合题意；
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故选：
根据平行线的判定定理判断求解即可．
此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
4.D
解：钟面上 3 点整时，时针与分针的夹角是 ，
故选：
钟面上 3 点整时，时针指着 3，分针指着 12，时针与分针的夹角是
本题考查钟面角，关键是结合实际生活和角的含义进行解答．
5.C
解：如果 ，那么 ，则 A 不符合题意；
如果 ，那么 ，则 B 不符合题意；
如果 ，当 时，那么 ，则 C 符合题意；
如果 ，那么 ，则 D 不符合题意；
故选：
利用等式的性质逐项判断即可．
本题考查等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
6.C
解：设最小的数为 x，
A、 ，此时 ，不符合题意；
B、 ，此时 ，不符合题意；
C、 ，此时 ，符合题意；
D、 ，此时 ，不符合题意；
故选：
设最小的数为 x，根据同行数之间相差 1，同列数之间相差为 7，分别列出方程，求得整数 x 的值即为符合
题意．
本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系并列出方程．
7.
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【分析
本题考查了余角的知识，属于基础题，解答本题的关键是熟记互为余角的两角之和为 根据互为余角的两
角之和为 ，即可得出答案．
【解答
解：因为 ，
所以 的余角
故答案为：
8.
解：
故答案为：
科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a
时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 时，n 是正数；当原
数的绝对值 时，n 是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n 为整数，
表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值．
9.7
解：由同类项的定义可知 ， ，
解得 ， ，
故答案为：
根据同类项的定义列出方程，再求解即可．
本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项．
10.两点之间，线段最短
解：弯曲的公路改直后就能缩短路程，可以用数学知识的基本事实来解释为：两点之间，线段最
短．
故答案为：两点之间，线段最短．
根据线段的性质：两点之间线段最短，进行解答即可．
此题主要考查了线段的性质，两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有
的线中，线段最短．
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11.
解：第一天售出 n 件吉祥物公仔，第二天的销售量比第一天的 3 倍少 6 件，则第二天的销售量是
件．
故答案为：
根据题意列出代数式即可．
本题主要考查了列代数式，正确读懂题意是解题关键．
12.2
解：根据题意得： ，
解得：
故答案为：
根据第二行及对角线上的三个数之和相等，可列出关于 a 的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
13.80
解： ， ，
，
，
，
，
又 平分 ，
，
故答案为：
根据已知， ， ，得出 ，由 ，即可
得出 ，根据邻补角性质，可得 ，由此得出 的度数，再根据 OE
平分 ，由角平分线定义可得 ，最后由 进行计算即可
得出答案．
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本题考查了角的计算，角平分线定义，邻补角性质，掌握角的和差计算，角平分线定义，邻补角性质是解
题的关键．
14.2019
解： ，
，
，
故答案为：
由已知条件可得 ，将原式变形后代入数值计算即可．
本题考查代数式求值，将原式进行正确的变形是解题的关键．
15.
解： 四边形 ABCD 为矩形，
，
，
长方形纸片 ABCD 沿 EF 折叠后，点 D、C 分别落在点 、 的位置，
，
，
，
故答案为：
先根据矩形的性质得到 ，则个平行线的性质得到 ，再根据折叠的性质得到
，然后根据平行线的性质得到 ，从而可用 得代数式表示
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变
化，对应边和对应角相等．也考查了列代数式和平行线的性质．
16.
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解：由题知，
因为点 P 表示的数为 ，且 ，
所以点 Q 表示的数为
设运动时间为 t 秒，
则 表示的数为 ，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，
所以 ， ，
则
因为 为常数，
所以 ，
解得
故答案为：
根据题意，设运动时间为 t 秒，用 t 分别表示出 和 的长度，再由 为常数
得出含有 t 的代数式的取值与 t 无关，据此得出 t 的系数为 0 即可解决问题．
本题主要考查了整式的加减、数轴及列代数式，能根据题意分别表示出点 M，点 N 及点 Q 运动后的点所表
示的数是解题的关键．
17.解：
；
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先算乘方，再算乘除法，然后算减法即可；
先算乘方和括号内的式子，再算括号外的减法即可．
本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18.解： ，
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
将系数化为 1，得 ；
，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
将系数化为 1，得
根据解一元一次方程的方法：去括号，移项，合并同类项，将系数化为 1 求解即可；
根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为 1 求解即可．
本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
19.解：原式
；
当 时，
原式
将原式去括号，合并同类项后代入数值计算即可．
本题考查整式的加减-化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
20.
解： 如图，线段 AC，AC，BC 即为所求；
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如图，点 D 即为所求；
的面积
故答案为：
根据线段的定义画出图形；
取格点 T，连接 CT 交 AB 于点 D，此时 XD 线段 CD 最短；
把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
本题考查作图-垂线段最短，三角形的面积，解题的关键是正确作出图形．
21.解： ， ，
；
，
， ，
则
根据题意列式后再去括号，合并同类项即可；
根据绝对值及偶次幂的非负性求得 a，b 的值，将其代入 中化简结果中计算即可．
本题考查整式的加减-化简求值，绝对值及偶次幂的非负性，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
22. 解：如图，直线 PN 即为所求；
证明： ，
， ，
，
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，
是 的角平分线．
过点 P 作 即可；
证明 即可．
本题考查作图-复杂作图，平行线的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学
知识解决问题．
23.解： ，
；
，
，
解得 ，
的值为 ；
；
，
，
当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ，
综上，当 时， ；当 时， ；当 时，
即
根据给定的新运算，即可求出 的值；
根据 ，可列出关于 x 的一元一次方程，求解即可；
表示出 ，分类讨论即可．
本题考查了一元一次方程的应用，有理数的混合运算，整式的加减，掌握一元一次方程的应用，有理数的
混合运算是解题的关键．
24.解： 设排球的单价为 x 元，
则： ，
解得： ，
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，
答：排球的单价为 60 元，篮球的单价为 90 元；
由题意得： ，
解得： ，
答：购买的排球数 a 为 50 时，在两家商场购买所需的费用一样．
根据“每个排球比篮球便宜 30 元，4 只篮球与 6 只排球的费用一样”列方程求解；
根据“在两家商场购买所需的费用一样”列方程求解．
本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键．
25.
解： 根据小魔方的规则得： ；
故答案为： ；
根据小魔方的规则得： ，
，
的结果中不含一次项，
，
解得： ；
根据小魔方的规则得： ，
，
整理得： ，
又 方程 有无数个解，
方程 有无数个解，
且 ，
，
根据小魔方的规则即可得出答案；
先根据小魔方的规则得 ，进而得 ，再根据
的结果中不含一次项得 ，由此解出 m 即可；
根据小魔方的规则得 ，再根据 得 ，
整理得 ，然后根据方程 有无数个解，得 且 ，
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由此解出 a，b 即可．
此题主要考查了一元一次方程的解，多项式，熟练掌握一元一次方程的解，整式的加减运算是解决问题的
关键．
26. 平角的定义
证明：如图 1，延长线段 BC 至点 F，并过点 C 作 ，
，
， ，
平角的定义 ，
；
故答案为： ， ，平角的定义；
解：如图 2， ，
，
，
；
解：在旋转的过程中， 的值没有发生变化，
如图 3，设 ，
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平分 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
根据平行线的性质和平角的定义即可解答；
根据平行线的性质和三角形内角和定理即可解答；
如图 3，设 ，根据三角形的外角的性质和角平分线的定义分别表示 ，
，即可解答．
本题是三角形的综合题，考查了平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质
等知识，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
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