五年级奥数专题精讲精练- 包含与排除（容斥原理）（学生版+教师版附答案解析）

这是一份五年级奥数专题精讲精练- 包含与排除（容斥原理）（学生版+教师版附答案解析），共16页。试卷主要包含了专题简析，精讲精练，六年级运动员共有32名，求五，课后作业等内容，欢迎下载使用。
第33讲 包含与排除（容斥原理）
一、专题简析：
集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数学中的最基本的概念之一。如某班全体学生可以看作是一个集合，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9便组成一个数字集合。组成集合的每个事物称为这个集合的元素。如某班全体学生组成一个集合，每一个学生都是这个集合的元素，数字集合中有10个元素。
两个集合中可以做加法运算，把两个集合A、B合并在一起，就组成了一个新的集合C。计算集合C的元素的个数的思考方法主要是包含与排除：先把A、B的一切元素都“包含”进来加在一起，再“排除”A、B两集合的公共元素的个数，减去加了两次的元素，即：C=A＋B－AB。
在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，搞清数量关系的逻辑关系。有些语言不易表达清楚的关系，用了适当的图形就显得很直观、很清楚，因而容易进行计算。
二、精讲精练
例1 五年级96名学生都订了报纸，有64人订了少年报，有48人订了小学生报。两种报纸都订的有多少人？

练 习 一
1、一个班的52人都在做语文和数学作业。有32人做完了语文作业，有35人做完了数学作业。语文、数学作业都做完的有多少人？
2、五年级有122人参加语文、数学考试，每人至少有一门功课得优。其中语文得优的有65人，数学得优的有87人。语文、数学都得优的有多少人？
例2：某校教师至少懂得英语和日语中的一种语言。已知有35人懂英语，34人懂日语，两种语言都懂的有21人。这个学校共有多少名教师？
练 习 二
1、某校的每个学生至少爱体育和文娱中的一种活动。已知有900人爱好体育活动，有850人爱好文娱活动，其中260人两种活动都爱好。这个学校共有学生多少人？
2、某班在一次测验中有26人语文获优，有30人数学获优，其中语文、数学双优的有12人，另外还有8人语文、数学均未获优。这个班共有多少人？
例3：学校开展课外活动，共有250人参加。其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组的有83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人。问这250名同学中，象棋组、乒乓球组都不参加的有多少人？
练 习 三
1、五年级有250人，其中参加象棋组的有83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人。两个小组都不参加的有多少人？
2、五（1）班有50人，在一次测试中，语文90分以上的有30人，数学90分以上的35人，语文和数学都在90分以上的有20人。两科都在90分以下的有多少人？
例4 实验小学各年级都参加的一次书法比赛中，四年级与五年级共有20人获奖，在获奖者中有16人不是四年级的，有12人不是五年级的。该校书法比赛获奖的总人数是多少人？
练 习 四
1、五一小学举行小学生田径运动会，其中24名运动员不是六年级的，28名运动员不是五年级的，已知五、六年级运动员共有32名，求五、六年级和中低年级运动员各有多少名？
2、少年乐团学生中有170人不是五年级的，有135人不是六年级的，已知五、六年级的共有205人，求少年乐团中五、六年级以外的学生共有多少人？
例5 在100个外语教师中，懂英语的有75人，懂日语的有45人，其中必然有既懂英语又懂日语的老师。问：只懂英语的老师有多少人？
练 习 五
1、40人都在做加试的两道题，并且至少做对了其中的一题。已知做对第一题的有30人，做对第二题的有21人。只做对第一题的有多少人？
2、五年级122名同学参加语文、数学考试，每人至少有一门得优。已知语文65人得优，数学78人得优，求只有语文一门得优的人数。
三、课后作业
1、某班有50名学生，在一次测验中有26人满分，在第二次测验中有21人满分。如果两次测验都没得过满分的学生有17人，那么，两次测验都得满分的有多少人？
2、第一小组的同学们都在做两道数学思考题，做对第一题的有15人，做对第二题的有10人，两题都做对的有7人，两题都做错的有2人。第一小组共有多少人？
3、老师在统计考试成绩，数学得90分以上的有25人，语文得90分以上的有21人，两科中至少有一科在90分以上的有38人。两科都在90分以上的有多少人？
4、六一儿童狼子野心同学们做小花，有24朵不是红色的，有20朵不是黄色的，已知红花和黄花一共有18朵，其他颜色的花一共做了多少朵？
5、全班46名同学，仅会打乒乓球的有28人，会打乒乓球又会打羽毛球的有10人，不会打乒乓球又不会打羽毛球的有6人。仅会打羽毛球的有多少人？
第33周 包含与排除（容斥原理）
专题简析：
集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数学中的最基本的概念之一。如某班全体学生可以看作是一个集合，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9便组成一个数字集合。组成集合的每个事物称为这个集合的元素。如某班全体学生组成一个集合，每一个学生都是这个集合的元素，数字集合中有10个元素。
两个集合中可以做加法运算，把两个集合A、B合并在一起，就组成了一个新的集合C。计算集合C的元素的个数的思考方法主要是包含与排除：先把A、B的一切元素都“包含”进来加在一起，再“排除”A、B两集合的公共元素的个数，减去加了两次的元素，即：C=A＋B－AB。
在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，搞清数量关系的逻辑关系。有些语言不易表达清楚的关系，用了适当的图形就显得很直观、很清楚，因而容易进行计算。
例1 五年级96名学生都订了报纸，有64人订了少年报，有48人订了小学生报。两种报纸都订的有多少人？

分析 用左边的圆表示订少年报的64人，右边的圆表示订小学报的48人，中间重叠部分表示两种报刊都订的人数。显然，两种报刊都订的人数被统计了两次：64＋48=112人，比总人数多112－96=16人，这16人就是两种报刊都订的人数。
练 习 一
1，一个班的52人都在做语文和数学作业。有32人做完了语文作业，有35人做完了数学作业。语文、数学作业都做完的有多少人？答案
解:
(人)
答:语文、数学作业都做完的有15人.
解析
因为每人至少做完一种作业,所以实际52人都参与了写作业,做完数学和语文作业的总人数为:(人),(人),超出了全班人数,超出的部分是两种作业都完成的人数.
2，五年级有122人参加语文、数学考试，每人至少有一门功课得优。其中语文得优的有65人，数学得优的有87人。语文、数学都得优的有多少人？答案
解:
(人)
答:两门功课都得优的有40人.
解析
根据“语文得优的有65人,数学得优的有87人”可得两者的总人数:人,这其中把两门功课都得优的人数多计算了一次,所以根据容斥原理可得两门功课都得优的人数是:(人),据
3，某班有50名学生，在一次测验中有26人满分，在第二次测验中有21人满分。如果两次测验都没得过满分的学生有17人，那么，两次测验都得满分的有多少人？答案
设定每个页码用去三个数字第一页就是001.这样估算大学400页,然后减去1--99补的多余的,就知道了,我没纸笔没法计算
例2：某校教师至少懂得英语和日语中的一种语言。已知有35人懂英语，34人懂日语，两种语言都懂的有21人。这个学校共有多少名教师？
分析 把懂英语和懂日语的人数加起来得35＋34=69人，但是，两种语言都懂的21人被统计过两次，应该从69里去掉一个21才能得出这个地区外语教师的总人数：69－21=48人。
练 习 二
1，某校的每个学生至少爱体育和文娱中的一种活动。已知有900人爱好体育活动，有850人爱好文娱活动，其中260人两种活动都爱好。这个学校共有学生多少人？答案
解：
900＋850－260＝1 490(人)
两种都爱好的人被算了两次.
解析
将爱好两种活动的学生求和，因为两种活动都爱好的人被算了两次，要去掉一次.
2，某班在一次测验中有26人语文获优，有30人数学获优，其中语文、数学双优的有12人，另外还有8人语文、数学均未获优。这个班共有多少人？答案
解：根据分析可得，
26+30-12+8
=52（人）；
答：这个班有52个学生．
故答案为：
52人.
解析
根据“有26人语文获优，有30人数学获优”可知：26+30=56人包括三部分，只语文获优的人数、只数学获优的人数、数学、语文都没有获优的人，所以既语文、数学获优的人数是：30+26-12=44（人），然后再加上数学、语文都没有获优的有8人，就是这个班的学生数；据此解答．
本题考查了同学们对容斥原理的理解和运用，注意：理解52人包括三部分的人数，知识点是：总人数=（A+B）-既A又B，是解题的关键．
3，第一小组的同学们都在做两道数学思考题，做对第一题的有15人，做对第二题的有10人，两题都做对的有7人，两题都做错的有2人。第一小组共有多少人？答案
解：
15＋10＋2－7＝20(人)
两题都对的人数被算了两次.
解析
将做对和做错的人数求和，减去两题都做对的人数
例3：学校开展课外活动，共有250人参加。其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组的有83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人。问这250名同学中，象棋组、乒乓球组都不参加的有多少人？
分析 两个小组都参加的有25人，因此，至少参加这两种小组的一个小组的人数是84＋86－25=144人，所以，这两个小组都不参加的人数是250－144=106人。
练 习 三
1，五年级有250人，其中参加象棋组的有83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人。两个小组都不参加的有多少人？答案
解：83＋86－25＝144(人)
250－144＝106(人)
答：象棋组、乒乓球组都不参加的有106人.
故答案为：
106人
解析
根据题意可以知道，参加两个小组的总人数＝参加象棋组的人数＋参加乒乓球组的人数－两个小组都参加的人数，再将总人数减去参加两个小组的总人数就得到象棋组、乒乓球组都不参加的人数.
2，五（1）班有50人，在一次测试中，语文90分以上的有30人，数学90分以上的35人，语文和数学都在90分以上的有20人。两科都在90分以下的有多少人？答案
解：
30＋35－20＝45(人)
50－45＝5(人)
故答案为：
略
解析
先算出90分以上的人数，再求90分一下的人数
语文、数学都在90分以上的被算了两次.
3，老师在统计考试成绩，数学得90分以上的有25人，语文得90分以上的有21人，两科中至少有一科在90分以上的有38人。两科都在90分以上的有多少人？答案
解：25+21=46（人），
46-38=8（人）．
答；两科都在90分以上的有8人．
解析
提示1：先计算出语文、数学都得90分以上的人数：25+21=46（人），其中语文、数学只一门上90的人数各数了一次，两科都在90分以上的人数数了两次；38人包括只有语文或数学一科上90的人数和两科都上90的人数，两科都在90分以上的只数了一次，所以：46-38=8（人），就是两科都在90分以上的人数．
提示2：解决本题的关键是在25+21=46（人）里，是语文、数学只一门上90的人数各数了一次，包括两科都在90分以上的人数数了两次，而在38人中，两科都在90分以上的只数了一次，所以二者相减就是两科都在90分以上的人数．解：25+21=46（人），
46-38=8（人）．
答；两科都在90分以上的有8人．
例4 实验小学各年级都参加的一次书法比赛中，四年级与五年级共有20人获奖，在获奖者中有16人不是四年级的，有12人不是五年级的。该校书法比赛获奖的总人数是多少人？
分析 由“16人不是四年级的”可知：16人是五年级和其他年级的；由“12人不是五年级的”可知：12人是四年级和其它年级的。用16＋12可算出四年级加五年级以及两个其它年级的人数和，再减去20就得两个其他年级的人数，这样其他年级的人数是：（16＋12－20）÷2=4人，该校参加书法比赛获奖的总人数是4＋20=24人。
练 习 四
1，五一小学举行小学生田径运动会，其中24名运动员不是六年级的，28名运动员不是五年级的，已知五、六年级运动员共有32名，求五、六年级和中低年级运动员各有多少名？答案
解：依题意：五年级运动员+六年级运动员=32
五年级运动员+中低年级运动员=24…①
六年级运动员+中低年级运动员=28…②
将①+②得
五年级运动员+中低年级运动员+六年级运动员+中低年级运动员=24+28
五年级运动员+六年级运动员+2中低年级运动员=52
32+2中低年级运动员=52
则中低年级运动员=10(名)
将中低年级运动员=10代入①得
五年级运动员+10=24
则五年级运动员=14(名)
将中低年级运动员=10代入②得
六年级运动员+10=28
则六年级运动员=18(名)
答：五年级运动员有14名，六年级运动员有18名，中低年级运动员有10名.
故答案为：
五年级运动员有14名，六年级运动员有18名，中低年级运动员有10名.
解决问题策略--等量替换是小学数学常考知识点；本题某小学举行田径运动会，其中24名运动员不是六年级的，28名运动员不是五年级的，五年级运动员+六年级运动员=32，则有五年级运动员+中低年级运动员=24，六年级运动员+中低年级运动员=28，通过这些等量关系本题很容易解答.
解析
解答本题就要熟悉解决问题策略--等量替换；本题某小学举行田径运动会，其中24名运动员不是六年级的，28名运动员不是五年级的，五年级运动员+六年级运动员=32，则有五年级运动员+中低年级运动员=24，六年级运动员+中低年级运动员=28，通过这些等量关系本题很容易解答.
2，少年乐团学生中有170人不是五年级的，有135人不是六年级的，已知五、六年级的共有205人，求少年乐团中五、六年级以外的学生共有多少人？答案
解：根据题干分析：
（135+170-205）÷2，
=100÷2，
=50（人），
答：少年乐团中五、六年级以外的学生共有50人．
解析
提示1：根据题干分析可得，170人是一至四年级和六年级的人数之和；135人是一至四年级和五年级的人数之和；由此可以画出下图进行分析：
两个集合加起来的数量是：135+170=305，根据图中可以看出C部分加了2次，即：A+2C+B=305，而已知A+B=205，所以2C=305-205=100，故C=50．

提示2：此题考查了利用容斥原理解决问题的方法，此题关键是抓住题干得出一至四年级和六年级的人数之和与一至四年级和五年级的人数之和，然后找出相容的部分．解：根据题干分析：
（135+170-205）÷2，
=100÷2，
=50（人），
答：少年乐团中五、六年级以外的学生共有50人．
3，六一儿童狼子野心同学们做小花，有24朵不是红色的，有20朵不是黄色的，已知红花和黄花一共有18朵，其他颜色的花一共做了多少朵？答案
解：(24＋20－18)÷2 = 13(朵).
答：其它颜色的花一共有13朵.
故答案为：
13朵
解析
根据题意，24朵不是红花，则黄花和其它颜色的花共有24朵，20朵不是黄花，则红花和其它颜色的花共有20朵，其它颜色的花有：(24＋20－18)÷2 = 13(朵).
此题属于逻辑推理题，解答此题的关键是通过题意，找出突破口，进行推理，如本题24朵不是红花，则黄花和其它颜色的花共有24朵，20朵不是黄花，则红花和其它颜色的花共有20朵，其它颜色的花有：(24＋20－18)÷2 = 13(朵)，进而很容易得出所有答案.
例5 在100个外语教师中，懂英语的有75人，懂日语的有45人，其中必然有既懂英语又懂日语的老师。问：只懂英语的老师有多少人？
分析 显然，两种语言都懂的人在懂英语的75人中统计过一次，在懂日语的45人中又统计过一次。因此，75＋45=120人，比100多出的20人就是两种语言都懂的人数。然后，从懂英语的75人中减去两种语言都懂的20人，就是只懂英语的人数了：75－20=55人。
练 习 五
1，40人都在做加试的两道题，并且至少做对了其中的一题。已知做对第一题的有30人，做对第二题的有21人。只做对第一题的有多少人？答案
解：
30＋21－40＝11(人)
30－11＝19(人)
会做第一题的人中排除都会做的即为只会做第一题的
解析
先算出两道题都对的人数，再将做对第一题中两道题都做对的减掉.
2，五年级122名同学参加语文、数学考试，每人至少有一门得优。已知语文65人得优，数学78人得优，求只有语文一门得优的人数。答案
解：
65＋78－122＝21(人)
65－21＝44(人)
故答案为：
略
解析
先算出两门都优秀的人数，再求只语文得优.
将语文得优中排除两门得优人数，即为仅语文得优.
3，全班46名同学，仅会打乒乓球的有28人，会打乒乓球又会打羽毛球的有10人，不会打乒乓球又不会打羽毛球的有6人。仅会打羽毛球的有多少人？
答案
解：46－28－10－6
＝18－10－6
＝2(人)
答：仅会打羽毛球的有2人.
故答案为：
2人
解析
这一题做时是这样考虑的：46仅会打乒乓球的有28人，那剩下的18人才可能会打羽毛球，会打乒乓球又会打羽毛球的有10人，那剩下的8人中又有6人既不会乒乓球又不会打羽毛球，最后只乘2人了.
这一题考查的知识点是：事件发生的可能性，46仅会打乒乓球的有28人，那剩下的18人才可能会打羽毛球，会打乒乓球又会打羽毛球的有10人，那剩下的8人中又有6人既不会乒乓球又不会打羽毛球，最后只乘2人了.