吉林省长春市长春汽车经济技术开发区2025届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)

这是一份吉林省长春市长春汽车经济技术开发区2025届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列计算结果为0的是（ ）
A．B．C．D．
2．在“生活中的数学”实践活动中，小明观察家中的空心卷纸，如图所示，则其俯视图为（ ）
A．B．C．D．
3．根据某网站统计，截止至2025年2月，的总访问量达到了亿次，其中亿用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，数轴上有、、、四个点，其中与最接近的点是（ ）
A．点B．点C．点D．点
5．如图，将一张矩形纸片对折，折痕为，再将以的中点为顶点的平角三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以为顶点的等腰三角形将剪出的等腰三角形全部展开平铺后，得到的平面图形每个内角的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．小明在做小孔成像实验时，固定蜡烛与光屏的距离为，然后将小孔置于距离光屏的位置如图所示，测得烛焰的像高，，则此时烛焰的高为（小孔大小和厚度忽略不计）（ ）
A．B．C．D．
7．如图为建造楼梯的设计图，虚线为楼梯的倾斜线，与地面的夹角．现在要在楼梯上铺地毯（沿台阶从点铺到点），已知米，则所铺地毯的总长度为（ ）
A．米B．米C．米D．米
8．如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，半径为1的与轴相切，点的坐标为．若点关于点的对称点也在此函数图象上，则的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、填空题
9．比较大小： 0．（填“”、“”或“”）
10．因式分解： ．
11．若是抛物线上的点，则代数式的值为 ．
12．去年某市空气质量优良的天数与全年天数（365天）之比达到60%，如果明年（365天）这样的比值要超过80%，那么明年空气质量优良的天数比去年至少要增加多少天？若设明年空气质量优良的天数比去年增加天，根据题意，可列不等式为 ．
13．如图，一束太阳光从天花板和落地窗交界处的点射入，经过光滑地板反射到天花板上形成光斑．中午和下午某时刻光线与地板的夹角分别为、．已知天花板与地面是平行的，且它们之间的距离为，当时，光斑从到移动的距离约为 m．（结果精确到，参考数据：）
14．如图，是的直径，是一条弦，延长至点，使，连结，过点作，垂足为点．给出下面五个结论：
①；
②是的切线；
③；
④当时，若，则阴影部分图形的面积为；
⑤当时，与的面积比为．
上述结论中，正确结论的序号有 ．
三、解答题
15．先化简，再求值：，其中．
16．一个不透明的口袋中装有一个红球、一个白球和一个绿球，这些球除颜色不同外其余均相同．小明先从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个球记下颜色．用画树状图（或列表）的方法，求小明两次摸出的球中至少有一个白球的概率．
17．《孙子算经》中有这样一题，原文：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．问长木几何？大意：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木多少尺？
18．如图，四边形中，的平分线交于点E，连接，求证：四边形是菱形．
19．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点、均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图，不要求写出画法，保留作图痕迹．
(1)在图①中作出直线，使，点为格点；
(2)在图②中作出以线段为腰的等腰三角形，点为格点，且的面积为8；
(3)在图②中作出的外接圆圆心（不要求画）．
20．我国在《黄帝内经》和《左传》中记载，不同的音调对人体五脏以及情绪有不同的影响．科学研究也表明舒缓的音乐对降低人的心率，改善心肌供血有较好的辅助作用．某兴趣小组以“测试节奏舒缓的音乐对心率的影响”为课题展开研究，他们随机从本年级选取20名同学，分别测试并记录这些同学在听音乐前和听音乐时的心率，然后对相关数据进行整理和分析．（用表示心率，单位：次/分，数据分为4组：A．，B．，C．，D．）
【数据的收集与整理】20名同学听音乐前频数分布表
20名同学听音乐时心率扇形统计图
【数据分析】
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：___________；
(2)请你结合“测试节奏舒缓的音乐对心率的影响”这个课题中的统计量分析，心率波动小且心率较为平缓的是___________；（填“听音乐前”或“听音乐时”）
(3)如果兴趣小组再选择本年级200名同学开展试验，请估计这200名同学听该舒缓音乐时心率在组的人数．
21．某公司生产了、两款新能源电动汽车．技术组经过试验，绘制了如图所示的函数图象，、分别表示款、款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量与汽车行驶路程的函数关系．
(1)求所对应的函数表达式；
(2)当电池电量用完时，判断、两款新能源电动汽车哪款行驶路程更长？长多少？
(3)如果试验中款电动汽车平均行驶速度为，那么它耗电能够行驶的时长为___________．
22．【问题原型】如图①，在中，，点M、N分别是边上的动点，且，连接、．试探究最小时，的度数．
【问题解决】小明通过以往的学习经验，对上述问题给出了如下部分解题过程：
解：如图②，过点向下作，且，连接、．
．
．
当三点共线时，最小．
此时点为与的交点．
请你补全两部分缺失的解题过程．
【方法拓展】如图③，是某公园门口规划的一块等腰三角形广场，在边上找一点修建便民服务中心，在右侧修建一个等边三角形的草坪，沿铺设一条石子小路（宽度忽略不计），从的中点处向点铺设一条灯光地板．已知．若在线段上找一点修建游客休息亭，且，当点到点的距离与的长度之和最小时，灯光地板的长度为___________．
23．如图，在中，，，，为的中点．动点在边上，过点作的垂线交折线于点．以为邻边构造矩形．
(1)的长为___________，的长为___________；
(2)当点落在上时，证明；
(3)当点落在的边上时，用圆规和无刻度的直尺在备用图中作出矩形（保留作图痕迹），并求此时的长；
(4)沿直线将矩形剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形．请直接写出所有符合条件的的长．
24．在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过点．点、均在抛物线上，横坐标分别为，过点作垂直于轴的直线，过点作垂直于轴的直线，两直线交于点，以为对角线作．
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)当时，求的值；
(3)当线段与抛物线有异于点的交点时，记这个交点为，连结．①当将分成两部分图形的面积比为时，求的值；②当时，直接写出的取值范围．
《2025年吉林省长春市长春汽车经济技术开发区中考一模数学试题》参考答案
1．D
解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意；
故选：D．
2．A
解： “空心卷纸”的俯视图是两个同心圆．
故选：A．
3．B
解：亿
故选：B．
4．D
解：，
，
观察数轴可得，与最接近的点是点．
故选：D．
5．C
解：∵以的中点为顶点的平角三等分，
∴展开得到图形的中心角为，
∴所剪出的平面图形是边形，
由题意可知，这个六边形为正六边形，
∴平面图形每个内角的度数为，
故选：C．
6．B
解：∵，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
故选：B．
7．A
解：∵，
∴，
∴所铺地毯的总长度为（米），
故选：．
8．C
解：由半径为1的与轴相切，
故点A的横坐标为1，
又点在函数的图象上，
设，
设点，根据点关于点的对称点也在此函数图象上，
故，
解得，
故点，
故，
解得，
故选：C．
9．
解：∵，
∴，
即，
∴．
故答案为：．
10．
解：，
故答案为：．
11．
解：将点代入，
得，即
∴
故答案为：．
12．
解：设明年空气质量良好的天数比去年要增加x天，
依题意得：，
故答案为：．
13．4.4
解：如图：过点作，垂足为E，过点作，垂足为F，
由题意得：，和都是等腰三角形，，
∴，，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴光斑移动的距离约为，
故答案为：4.4．
14．②④/④②
解：如图，连接，
∵是的直径
∴
又∵，
∴垂直平分
∴故①错误；
∵分别为的中点，
∴
∵，
∴，
又∵是半径，
∴是的切线；故②正确
∵，即，
又
∴
∴，故③错误，
当时，
∴
∴，
∵，则是等腰直角三角形，
又，
∴，故④正确
∵
∴
当时，
∴与的面积比为
∴与的面积比为，故⑤错误．
故答案为：②④．
15．，
解：原式
．
当时，原式．
16．
解：树状图如下：

由树状图可得，两次摸球的等可能结果一共有9种，两次摸出的球中至少有一个白球的有5种
所以，（小明两次摸出的球中至少有一个白球）．
列表如下：
由列表可得，两次摸球的等可能结果一共有9种，两次摸出的球中至少有一个白球的有5种
所以，（小明两次摸出的球中至少有一个白球）．
17．长木为6.5尺
解：设绳子x尺，长木y尺．
由题意可得
解得
答：长木为6.5尺．
18．见解析
证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
19．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
（1）解：如图，直线即为所求；
如图，
∵,
∴
又∵
∴，即
（2）解：如图，即为所求；
∵
∴是等腰三角形，
∵，到的距离为
∴的面积为8；
（3）解：如图，点即为所求，
同（1）作出的垂直平分线与的垂直平分线交于点，
∴到的距离相等，即是的外接圆圆心．
20．(1)79
(2)听音乐时
(3)80人
（1）解： ，
故答案为： ；
（2）解：∵
∴从方差看，心率波动小且心率较为平缓的是听音乐时，
故答案为：听音乐时；
（3）解：人，
答：心率在A组的同学人数为人．
21．(1)
(2)款汽车比款行驶路程长，长
(3)
（1）解：设所对应的函数表达式，依题意，
，
解得：，
∴；
（2）当时，，
解得：，
电池电量用完时，款新能源电动汽车行驶路程为，
()，
∴款汽车比款行驶路程长，长；
（3）解：当时，，
解得：，
，
（小时），
故答案为：．
22．【问题解决】见解析；【方法拓展】
问题解决：
解：如图②，过点向下作，且，连接、．
∵，
∴，，
∵，
∴，
．
．
当三点共线时，最小．
此时点为与的交点．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
方法拓展：解：过点A作，且，
连接交于点G，连接，
∵，
∴，
∵
∴
∴，，
∵，
∴，
∴当G，M，B三点共线时，取得最小值，即点P与点G重合，取得最小值，
过点A作于点T，
∵，，
∴，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
延长到点N，使得，连接，，
∴，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，，
∴，
过点C作，交的延长线于点Q，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴
故此时铺设灯光地板的长度为．
23．(1)6；
(2)证明见解析
(3)作图见解析，2
(4)2，3，
（1）在中，，，，
∴，；
故答案为：6；．
（2）证明：∵，
∴
∵，
∴
∵
∴
（3）解：如图，
∵四边形是矩形，
∴
∴
∴
∴，
在中，
∴
解得：
（4）解：①当经过的中点时，符合题意，如图
∴
由（3）可得
∴是等边三角形，
∴，
由（3）可得，
∴
∴；
②当重合时，符合题意，如图，
∴
③当经过的中点时，符合题意，如图
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上所述，所有符合条件的的长为2，3，．
24．(1)
(2)
(3)①或；②
（1）解：将代入
得，
解得：，
∴；
（2）解：点、均在抛物线上，横坐标分别为
当时，、的横坐标分别为
当时，
当时，
∴，
∴
∴
∴
∵四边形为平行四边形，
∴
∴
（3）①，对称轴为直线，
依题意，点、均在抛物线上，横坐标分别为，线段与抛物线有异于点的交点时，的中点的横坐标在对称轴的右侧且在对称轴的左侧，
∴且
∴
此时，
根据抛物线的对称性可得
∴
当将分成两部分图形的面积比为时，
∴或
即或
解得：或，
②∵四边形为平行四边形，
∴
∴恒成立，
当时，
如图，
∵，，
∴
当时，，
当时，
∴
在中，
又
∴
解得：或（舍去）
故图形可得当时，
由①知，，
∴心率（次/分）
频数
5
6
5
4
各组平均心率（次/分）
64
75
86
95
平均数
中位数
方差
听音乐前
78
124.5
听音乐时
73
73.5
99
过程缺失一
过程缺失二