（暑假班）(人教A版选择性必修第一册)高二数学暑假精品讲义第07讲 用空间向量研究距离、夹角问题（2份，原卷版+解析版）

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一．异面直线及其所成的角
1、异面直线所成的角：
直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直．
2、求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：
4．空间中直线与直线之间的位置关系
空间两条直线的位置关系：
二．空间向量的夹角与距离求解公式
1．空间向量的夹角公式
设空间向量＝（a1，a2，a3），＝（b1，b2，b3），
cs＜＞＝＝
注意：
（1）当cs＜＞＝1时，与同向；
（2）当cs＜＞＝﹣1时，与反向；
（3）当cs＜＞＝0时，⊥．
2．空间两点的距离公式
设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则
dA，B＝||＝＝．
【解题思路点拨】
1．求空间两条直线的夹角
建系→写出向量坐标→利用公式求夹角
2．求空间两点的距离
建系→写出点的坐标→利用公式求距离．
三．直线与平面所成的角
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．
显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．
2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．
3、斜线和平面所成角的最小性：
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．
用空间向量直线与平面所成角的求法：
（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．
（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cs φ|＝．
四．二面角的平面角及求法
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角﹣﹣
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0≤＜，＞≤，θ＝＜，＞，此时csθ＝cs＜，＞＝．
（2）当＜＜，＞＜π时，θ＝π﹣＜，＞，csθ＝﹣cs＜，＞＝﹣．
【考点剖析】
一．异面直线及其所成的角
1．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为2，E为BC的中点，则直线AE与直线BC1所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】可取CC1的中点F，连接EF，则：EF∥BC1，并连接AF，从而得出∠AEF（或其补角）为直线AE与直线BC1所成的角，然后根据余弦定理即可求出cs∠AEF的值，进而得出直线AE与直线BC1所成角的余弦值．
【解答】解：如图，取CC1的中点F，连接EF，则：EF∥BC1，连接AF，
则∠AEF（或其补角）为直线AE与直线BC1所成的角，
∵正方体的棱长为2，∴，连接AC，则AF＝＝3，
∴在△AEF中，由余弦定理得：＝，
∴直线AE与直线BC1所成角的余弦值为．故选：A．
2．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】建立空间直角坐标系结合空间向量的数量积即可求解．
【解答】解：由题意，在长方体中，以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
因为AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则A（1，0，0），B（1，2，0），C1（0，2，2），E（0，2，1），所以，，设直线BC1与AE所成角为α，
则，所以直线BC1与AE所成角的余弦值为．
故选：B．
3．在棱长为2的正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，M，N，O，P分别为BC，CC′，C′D′，AA'的中点．
（1）求证：MO∥平面BDD′；
（2）求异面直线BN与PB'所成角的余弦值．
【分析】（1）取BD中点Q，确定四边形MQOD’为平行四边形，可证明．
（2）建立空间直角坐标系，计算各点坐标，得到，，根据向量夹角公式计算即可．
【解答】（1）证明：取BD中点Q，连接MQ，QD’，BD’，则MQ＝DC，MQ∥DC∥OD’，
又因为OD’＝C'D’＝CD，所以MQ∥OD’且MQ＝OD’，
所以四边形MQOD’为平行四边形，所以MO∥QD’，
又因为QD’⊂平面BDD’，MO⊄平面BDD’，所以MO∥平面BDD’．
（2）解：以D为原点，DA、DC、DC’分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系．
则B（2，2，0），B’（2，2，2），P（2，0，1），N（0，2，1），
所以＝（﹣2，0，1），＝（0，2，1），设直线BN与PB’所成角为θ，
所以csθ＝＝＝，所以异面直线BN与PB’所成角的余弦值为．
4．已知四面体O﹣ABC的各棱长均为1，D是棱OA的中点，E是棱AB的中点，设，．
（1）用向量、、表示、；
（2）判断与是否垂直；
（3）求异面直线BD与CE所成的角．
【分析】（1）直接利用向量的线性运算求出结果；
（2）直接利用向量的数量积运算判断这两个向量与不垂直；
（3）利用向量的数量积和向量的模求出向量的夹角，进一步求出异面直线的夹角．
【解答】解：（1）四面体O﹣ABC的各棱长均为1，D是棱OA的中点，E是棱AB的中点．设＝，，，所以，＝；
（2）由于＝，
故与不垂直；
（3）由于，，，
所以，故异面直线BD与AC所成角的角为．
5．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，且AB⊥BC，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点．
（1）证明：BF⊥DE；
（2）在棱A1B1上是否存在一点M，使得异面直线MF与AC所成的角为30°？若存在，指出M的位置；若不存在，说明理由．
【分析】（1）以B为原点建立空间直角坐标系，证得即可得出结论．
（2）先设出M的坐标，利用空间向量求异面直线夹角公式可以解得M的位置．
【解答】证明：（1）由直三棱柱ABC﹣A1B1C1可得BB1⊥平面ABC，且AB⊥BC，故以B为原点，BA，BC，BB1所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则B（0，0，0），F（0，2，1），E（1，1，0），A（2，0，0），C（0，2，0），
设B1D＝m，且m∈[0，2]，则D（m，0，2），∴，，
由，∴BF⊥DE；
解：（2）可设B1M＝n，且n∈[0，2]，则M（n，0，2），，，
由异面直线MF与AC所成的角为30°可得：，
整理得n2﹣8n+7＝0，即n＝1或n＝7（舍），所以存在点M，M是A1B1中点．
6．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2BC＝2，M是棱CC1上任意一点．
（Ⅰ）求证：AM⊥BD；
（Ⅱ）若M是棱CC1的中点，求异面直线AM与BC所成角的余弦值．
【分析】（Ⅰ）AC⊥BD，AA1⊥平面ABCD，从而BD⊥AA1，进而BD⊥平面ACC1A1，由此能证明AM⊥BD；
（Ⅱ）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AM与BC所成角的余弦值．
【解答】解：（Ⅰ）证明：在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2BC＝2，
M是棱CC1上任意一点，∴AC⊥BD，AA1⊥平面ABCD，
∵BD⊂平面ABCD，∴BD⊥AA1，∵AC∩AA1＝A，∴BD⊥平面ACC1A1，
∵AM⊂平面ACC1A1，∴AM⊥BD；
（Ⅱ）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，∵M是棱CC1的中点，∴A（0，0，0），M（1，1，1），B（1，0，0），C（1，1，0），＝（1，1，1），＝（0，1，0），设异面直线AM与BC所成角为θ，
则异面直线AM与BC所成角的余弦值为：csθ＝＝＝．
7．如图所示，在多面体ABCDEF中，梯形ADEF与正方形ABCD所在平面互相垂直，AF∥DE，DE⊥AD，AF＝AD＝DE＝2．
（Ⅰ）求证：BF∥平面CDE；
（Ⅱ）求证：EF⊥平面CDF；
（Ⅲ）若点H在线段DE上，且EH＝1，求异面直线AH与BE所成角的余弦值．
【分析】（Ⅰ）由AB∥CD，AF∥DE，得平面ABF∥平面DCE，由此能证明BF∥平面CDE；
（Ⅱ）推导出AD⊥CD，DE⊥平面ABCD，以D为坐标原点，DA，DC，DE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明EF⊥平面CDF；
（Ⅲ）求出＝（﹣2，0，3），＝（﹣2，﹣2，4），利用向量法能求出异面直线AH与BE所成角的余弦值．
【解答】解：（Ⅰ）证明：在多面体ABCDEF中，梯形ADEF与正方形ABCD所在平面互相垂直，
∴AB∥CD，∵AF∥DE，AF∩AB＝A，DE∩CD＝D，∴平面ABF∥平面DCE，
∵BF⊂平面ABF，∴BF∥平面CDE；
（Ⅱ）证明：∵梯形ADEF与正方形ABCD所在平面互相垂直，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，
AF∥DE，DE⊥AD，∴AD⊥CD，DE⊥平面ABCD，
以D为坐标原点，DA，DC，DE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
∵AF＝AD＝DE＝2，∴DE＝4，E（0，0，4），F（2，0，2），C（0，0，2），D（0，0，0），
＝（2，0，﹣2），＝（0，2，0），＝（2，0，2），
＝0，＝0，∴EF⊥DC，EF⊥DF，∵DC∩DF＝D，∴EF⊥平面CDF；
（Ⅲ）∵点H在线段DE上，且EH＝1，∴H（0，0，3），
∵A（2，0，0），B（2，2，0），∴＝（﹣2，0，3），＝（﹣2，﹣2，4），
设异面直线AH与BE所成角为θ，则异面直线AH与BE所成角的余弦值为：
csθ＝＝＝．
二．空间向量的夹角与距离求解公式
8．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，Q为PC的中点．
（1）用，，表示；
（2）若底面ABCD是正方形，且PA＝AB＝1，，求．
【分析】（1）根据空间向量基本定理结合空间向量的线性运算，能用，，表示；
（2）将用，，表示，再根据向量数量积的运算律计算能求出结果．
【解答】解：（1）＝＝
＝（﹣）＝．
（2）＝＝＝＝＝，
∴||＝＝
＝＝．
9．如图，在底面为矩形的四棱锥P﹣ABCD中，PE⊥底面ABCD，E为棱AD上一点，且AE＝2，AB＝DE＝PE＝3．以E为坐标原点，的方向为y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出B，C，D，P四点的坐标；
（2）求，．
【分析】根据向量的数量积运算即可．
【解答】解：（1）依题意可得B（3，﹣2，0），C（3，3，0），D（0，3，0），P（0，0，3）．
（2）因为，，
所以，．
10．已知向量
（1）求；
（2）求夹角的余弦值．
【分析】（1）利用空间向量的模长公式求模长．（2）利用空间向量的数量积的应用求两个向量的夹角的余弦值．
【解答】解：（1）因为，所以||＝．
（2），，
所以夹角的余弦值为．
11．已知：正四面体ABCD（所有棱长均相等）的棱长为1，E、F、G、H分别是四面体ABCD中各棱的中点，设：，试采用向量法解决下列问题：
（1）求的模长；
（2）求，的夹角．
【分析】（1）根据题意，用、、表示出向量，求出它的模长||；
（2）用、、表示出向量，，求出与的夹角即可．
【解答】解：（1）如图所示，正四面体ABCD的棱长为1，E、F、G、H分别是四面体ABCD中各棱的中点，，∴＝＝（﹣）＝（﹣），＝＝；
∴＝++＝﹣（﹣）﹣+＝（﹣﹣），
∴||＝＝
＝＝；
（2）正四面体ABCD中，＝（﹣﹣），||＝；同理，＝（+﹣），||＝；
∴cs＜，＞＝＝＝[﹣]
＝[+﹣2•﹣]＝[1+1﹣2×1×1cs60°﹣1]＝0，∴与的夹角为90°．
三．直线与平面所成的角
12．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段BB1的中点，则直线C1E与平面A1D1B所成角的正弦值为 ．
【分析】建立空间直角坐标系，设出正方体的棱长，计算和平面A1D1B的法向量，代入向量夹角公式计算即可．
【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则C1（0，2，2），E（2，2，1），A1（2，0，2），D1（0，0，2），B（2，2，0），
＝（2，0，﹣1），＝（﹣2，0，0），＝（0，2，﹣2），
设平面A1D1B的法向量为＝（x，y，z），则，所以x＝0，令y＝z＝1，
则＝（0，1，1），设直线C1E与平面A1D1B所成角为θ，则sinθ＝＝＝，
故答案为：．
13．已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一个球面上，若该球的表面积为16π，则该正四棱锥的侧棱与底面所成的角的正弦值为 ．
【分析】根据已知条件求得正四棱锥的底面边长和高，结合线面角的知识求得正确答案．
【解答】解：如图所示正四棱锥E﹣ABCD，AC∩BD＝O，则EO⊥平面ABCD，
设正四棱锥外接球的半径为R，则4πR2＝16π，R＝2，
设正四棱锥底面边长为a，高为h＝OE，则①，
由整理得②，由①②解得，
由于EO⊥平面ABCD，所以正四棱锥的侧棱与底面所成的角为∠EAO，．
故答案为：．
14．在棱长均为6的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若E是A1B1的中点，D在BC上，且BD＝2DC．
（1）求证：BE∥平面ADC1；
（2）求直线DA1与平面BB1C1C所成角的正弦值．
【分析】（1）分别取BC，B1C1的中点O，O1，建立空间直角坐标系，利用坐标法可得平面的法向量，然后根据向量关系即得；（2）利用线面角的向量求法即得．
【解答】证明：（1）分别取BC，B1C1的中点O，O1，连接AO，OO1，则OO1⊥平面ABC，AO⊥BC，
建立如图所示的空间直角坐标系，则A（3，0，0），D（0，﹣1，0），C1（0，﹣3，6），B（0，3，0），E（），∴，，，
设平面ADC1的法向量为，则，令x＝﹣1，∴，
∴，即，∵BE⊄平面ADC1，∴BE∥平面ADC1．
解：（2）因为，，
设平面BB1C1C的一个法向量为，则，设直线DA1与平面BB1C1C所成角为θ，
则sinθ＝|cs＜＞|＝||＝，
∴直线DA1与平面BB1C1C所成角的正弦值等于．
15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AD，PB的中点．
（1）证明：EF∥平面PCD；
（2）求直线PA与平面CEF所成角的正弦值．
【分析】（1）由平行四边形可得线线平行，进而由线面平行的判定定理即可求证，
（2）建立空间直角坐标系，由向量法即可求解线面角．
【解答】解：（1）证明：如图，设M为PC的中点，连接FM，MD．
因为F，M分别为PB，PC的中点，所以．
在正方形ABCD中，，所以DE∥FM，DE＝FM．
所以四边形DEFM为平行四边形，DM∥EF．
因为DM⊂平面PCD，EF⊄平面PCD，所以EF∥平面PCD．
（2）以D为原点，以DA，DC，DP所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
不妨设PD＝DC＝2，则A（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），E（1，0，0），F（1，1，1），
则．设平面CEF的法向量为，
则即令x＝2，则．设直线PA与平面CEF所成角为θ，
则，故直线PA与平面CEF所成角的正弦值为．
16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1D1的中点．
（1）证明：EF∥平面ACD1；
（2）求直线AC与平面B1EF所成的角的正弦值．
【分析】（1）先以D为原点建系，再找出各点的坐标，求出平面ACD1的法向量，要证线面平行只需证直线的方向向量垂直于平面的法向量即可．
（2）先求出平面B1EF的法向量，再根据直线AC与平面B1EF所成的角的正弦值
即可得到答案．
【解答】（1）证明：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，设AB＝2，则E（2，1，0），F（1，0，2），A（2，0，0），C（0，2，0），D1（0，0，2），B1（2，2，2），，，
∵，∴，
又∵AC⋂AD1＝A，∴为平面ACD1的法向量，∵，∴，
又∵EF⊄平面ACD1，故EF∥平面ACD1．
（2）解：由（1）知，设平面B1EF的法向量，
则，即，令z＝1，则，
设直线AC与平面B1EF所成的角为θ，则，
故答案为：．
17．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，E，F分别为PA，BC的中点．
（1）证明：EF∥平面PCD．
（2）若PD⊥平面ABCD，∠ADC＝120°，且PD＝2AD＝4，求直线AF与平面DEF所成角的正弦值．
【分析】（1）取PD的中点G，连接CG，EG，则由三角形中位线定理可得，再结合底面四边形为菱形，可得四边形EGCF为平行四边形，从而得EF∥CG．然后由线面平行的判定定理可证得结论，（2）由已知可得DF，DA，DP两两垂直，所以以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，然后利用空间向量求解即可．
【解答】（1）证明：取PD的中点G，连接CG，EG，因为E，F分别为PA，BC的中点，
所以，又底面ABCD为菱形，所以，所以EG∥CF，EG＝CF，
所以四边形EGCF为平行四边形，所以EF∥CG，
又CG⊂平面PCD，EF⊄平面PCD，所以EF∥平面PCD．
（2）解：连接BD，因为PD⊥平面ABCD，DF，DA⊂平面ABCD，所以PD⊥DF，PD⊥DA，
因为四边形ABCD为菱形，∠ADC＝120°，所以△BCD为等边三角形，
因为F为BC的中点，所以DF⊥BC，因为BC∥DA，所以DF⊥DA，
所以DF，DA，DP两两垂直，所以以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，
因为AD＝PD＝2，所以，
则，
设平面DEF的法向量，则，令z＝1，得，
设直线AF与平面DEF所成的角为θ，
则，
所以直线AF与平面DEF所成角的正弦值为．
18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PC的中点为M，BD的中点为O，且PO⊥平面ABCD．
（1）证明：PA∥平面MBD；
（2）若PD⊥PB，∠DAB＝60°，AD＝1，求直线PO与平面PAD所成角的正弦值．
【分析】（1）连接AC，则O为AC与BD的交点，连接OM，可得OM∥AP，由直线与平面平行的判定可得PA∥平面MBD；
（2）分别求出PE和OH的值，设直线PO与平面PAD所成角为θ，求出直线PO与平面PAD所成角的正弦值即可．
【解答】（1）证明：如图，连接AC，则O为AC与BD的交点，连接OM，可得OM∥AP，
∵OM⊂平面MBD，AP⊄平面MBD，∴PA∥平面MBD；∵PA⊂平面PAO，∴BD⊥PA；
（2）解：作OE⊥AD，垂足为E，连接PE，作OH⊥PE，垂足为H，
∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥AD，又∵OE⊥AD，PO∩OE＝O，∴AD⊥平面POE，
∵OH⊂平面POE，∴OH⊥AD，又∵OH⊥PE，AD∩PE＝E，∴OH⊥平面PAD，
∵∠DAB＝60°，四边形ABCD为菱形，∴ABD为等边三角形，
又AD＝1，∴BD＝1，OD＝，∴OE＝ODsin60°＝，
∵PB⊥PD，∴PO＝BD＝，在Rt△POE中，PE＝＝，
由OH•PE＝OE•OP，得OH＝，∴点O到平面PAD的距离为，
设直线PO与平面PAD所成角为θ，则sinθ＝＝．
四．二面角的平面角及求法
19．若平面α的一个法向量，平面β的一个法向量，则平面α与平面β夹角的余弦值为 ．
【分析】根据平面法向量夹角和二面角之间的关系，利用空间向量数量积的坐标表示即可求得结果．
【解答】解：设平面α与平面β的夹角为θ，
根据题意可得，
所以平面α与平面β夹角的余弦值为．故答案为：．
20．过正方形ABCD之顶点A作PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面ABP与平面CDP所成的锐二面角的度数为 45° ．
【分析】将四棱锥补成正方体，找出二面角的平面角即可得解．
【解答】解：根据已知条件可将四棱锥补成正方体如图所示：
连接CE，则平面CDP和平面CPE为同一个平面，由题可知PE⊥平面BCE，BE，CE⊂平面BCE，
∴PE⊥BE，PE⊥CE，又平面ABP∩平面CDP＝PE，BE⊂平面ABP，CE⊂平面CDP，
∴∠CEB为平面ABP和平面CDP所成的锐二面角的平面角，大小为45°．故答案为：45°．
21．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BB1的中点，则平面AA1B1B与平面AD1E的夹角余弦值为 ．
【分析】根据棱柱的结构特征，建立以A为原点，以AD、AB、AA1所在直线为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系A﹣xyz，不妨设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则A（0，0，0），D1（2，0，2），E（0，2，1），利用向量法，即可得出答案．
【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，则建立以A为原点，以AD、AB、AA1所在直线为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系A﹣xyz，如图所示：
不妨设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则A（0，0，0），D1（2，0，2），E（0，2，1），
设平面AD1E的一个法向量为＝（x，y，z），＝（2，0，2），＝（0，2，1），
则，取z＝2，则y＝﹣1，x＝﹣2，∴平面AD1E的一个法向量为＝（﹣2，﹣1，2），
又平面AA1B1B的一个法向量为＝（1，0，0），设平面AA1B1B与平面AD1E的夹角为α，
∴csα＝|cs＜＞|＝＝，故答案为：．
22．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝2，CC1＝3，点D，E分别在棱AA1，CC1上，且AD＝1，CE＝2，M为棱A1B1的中点．
（Ⅰ）求证：C1M⊥B1D；
（Ⅱ）求二面角B﹣B1E﹣D的正弦值．
【分析】（Ⅰ）由题意建立以C为原点，以CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系C﹣xyz，利用向量法，即可证明结论；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得＝（2，0，﹣1），＝（0，2，1），平面BB1E的一个法向量＝（2，0，0），利用向量法，求出cs＜，＞，即可得出答案．
【解答】解：（Ⅰ）证明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，
建立以C为原点，以CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系C﹣xyz，如图所示：
AC＝BC＝2，CC1＝3，AD＝1，CE＝2，则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，3），A1（2，0，3），B1（0，2，3），D（2，0，1），E（0，0，2），M（1，1，3），
∴＝（1，1，0），＝（2，﹣2，﹣2），∴•＝2﹣2+0＝0，∴⊥，即C1M⊥B1D；
（Ⅱ）∵CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，∴CC1⊥AC，
又CC1∩BC＝C，CC1⊂平面BB1E，BC⊂平面BB1E，∴AC⊥平面BB1E，
∴平面BB1E的一个法向量＝（2，0，0），
设平面B1ED的一个法向量＝（x，y，z），＝（2，0，﹣1），＝（0，2，1），
∴，取z＝2，则x＝1，y＝﹣1，∴平面B1ED的一个法向量＝（1，﹣1，2），
∴cs＜，＞＝＝＝，
∴二面角B﹣B1E﹣D的正弦值为＝＝．
23．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，，AB＝CC1＝2BC＝2．
（1）证明：AC⊥C1E．
（2）求二面角C1﹣AE﹣B的余弦值．
【分析】（1）由题意得AC⊥BC，C1C⊥平面ABC，根据线面垂直的性质和判定定理，即可证明结论；
（2）建立以C为原点，以CA、CB、C1C所在直线为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系C﹣xyz，求出平面C1AE的一个法向量为，平面AEB的一个法向量为，利用向量法，即可得出答案．
【解答】解：（1）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，C1C⊥平面ABC，
∵AC⊂平面ABC，∴C1C⊥AC，
又BC∩C1C＝C，C1C⊂平面BB1C1C，BC⊂平面BB1C1C，∴AC⊥平面BB1C1C，
∵，即C1E⊂平面BB1C1C，∴AC⊥C1E；
（2）由题意建立以C为原点，以CA、CB、C1C所在直线为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系C﹣xyz，如图所示：AB＝CC1＝2BC＝2，AC⊥BC，则AC＝，则C（0，0，0），C1（0，0，2），A（，0，0），B（0，1，0），E（0，1，1），设平面C1AE的一个法向量为＝（x，y，z），＝（0，1，﹣1），＝（﹣，0，2），则，取z＝，则x＝2，y＝，
∴平面C1AE的一个法向量＝（2，，），
设平面AEB的一个法向量为＝（x，y，z），＝（﹣，1，0），＝（0，0，1），
则，取x＝，则y＝3，z＝0，∴平面AEB的一个法向量＝（，3，0），
设二面角C1﹣AE﹣B的平面角为α，由图形得α为钝角，
∴csα＝﹣|cs＜，＞|＝﹣＝﹣＝﹣，
故二面角C1﹣AE﹣B的余弦值为﹣．
24．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD，BC＝2AB，E、F分别为棱BC、BP中点．
（1）求证：平面AEF∥平面DCP；
（2）若平面PBC⊥平面ABCD，直线AP与平面PBC所成的角为45°，且CP⊥PB，求二面角P﹣AB﹣D的大小．
【分析】（1）证明EF∥平面PCD，AE∥平面PCD，即可证明结论；
（2）根据面面垂直性质定理得∠APB＝45°，进而得AB＝PB，再根据题意证明PC⊥平面ABP可得△PBC为直角三角形，再根据几何关系得∠PBC＝60°，进而根据∠PBC是二面角P﹣AB﹣D的平面角求解即可．
【解答】解：（1）证明：因为E、F分别为棱BC、BP中点，所以在△PBC中，EF∥PC，
因为EF⊄平面PCD，PC⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD，
因为AD∥BC，BC＝2AB，E为棱BC中点．所以AD∥CE，AD＝CE，
所以四边形ADCE是平行四边形，所以CD∥AE，
因为AE⊄平面PCD，DC⊂平面PCD，所以AE∥平面PCD，
因为AE∩EF＝E，AE，EF⊂平面AEF，所以平面AEF∥平面DCP；
（2）因为平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD＝BC，AB⊥BC，AB⊂平面ABCD，
所以AB⊥平面PBC，所以∠APB是直线AP与平面PBC所成的角，
因为直线AP与平面PBC所成的角为45°，所以∠APB＝45°，所以AB＝PB，
因为PC，PB⊂平面PBC，所以AB⊥PC，AB⊥PB，
因为CP⊥PB，AB∩BP＝B，AB，BP⊂平面ABP，所以PC⊥平面ABP，
因为PB⊂平面ABP，所以PC⊥PB，即△PBC为直角三角形，
所以在△PBC中，由BC＝2AB＝2PB可得，
所以，即∠PBC＝60°，
因为AB⊥PB，AB⊥BC，所以∠PBC是二面角P﹣AB﹣D的平面角，
所以二面角P﹣AB﹣D的大小为60°．
25．如图，在正六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1中，AA1＝2AB＝4，M，N分别为EE1，BB1的中点．
（1）证明：C，M，F1，N四点共面；
（2）求平面CMF1N与平面ABB1A1所成角的正弦值．
【分析】（1）根据平行线的传递性，平行直线确定唯一平面，即可证明；
（2）建系，根据正六棱柱的性质及空间向量法即可求解．
【解答】解：（1）证明：∵取CC1的中点P，连接PB1，PM，B1F1，
又M为EE1的中点，再结合正六棱柱的性质易得：PM∥B1F1，且PM＝B1F1，
∴四边形MPB1F1为平行四边形，∴MF1∥PB1，又N，P均为对应棱的中点，
∴PB1∥CN，∴MF1∥CN，∴C，M，F1，N四点共面；
（2）根据正六棱柱的性质可得：CE，CB，CC1两两相互垂直，
∴分别以直线CE，CB，CC1为x轴，y轴，z轴，建立如图的空间坐标系，
则根据题意可得：C（0，0，0），E（，0，0），M（，0，2），
A（，3，0），B（0，2，0），N（0，2，2），
∴，，，
根据正六棱柱的性质易知平面ABB1A1的法向量，
设平面CMF1N的法向量为，
则，取，
∴平面CMF1N与平面ABB1A1所成角的余弦值为：|cs|＝＝＝，
∴平面CMF1N与平面ABB1A1所成角的正弦值为＝．
26．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，，E点为棱AB的中点．
（1）求二面角A﹣EC1﹣C的余弦值；
（2）连接EC，若P点为直线EC上一动点，求当P点到直线BB1距离最短时，线段EP的长度．
【分析】（1）以D1为原点，D1A1、D1C1、D1D所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角A﹣EC1﹣C的余弦值；
（2）设，其中0≤λ≤1，计算出点P到直线BB1的距离d的表达式，利用二次函数的基本性质可求出d的最小值及对应的λ的值，进而可求得EP的长．
【解答】解：（1）如图所示．以D1A1、D1C1、D1D所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（1，0，），E（1，，0），C（0，1，），C1（0，1，0），，B1（1，1，0），∴，，，
设平面AEC1的法向量为，则，取，
设平面ECC1的法向量为，
则，取，∴|cs|＝＝＝，
又由图知所求角为锐角，∴二面角A﹣EC1﹣C的余弦值为；
（2）设，0≤λ≤1，又＝（0，，0），
∴＝（﹣λ，，），令，设点P到直线B1B的距离为d，
则，
∴当时，d取最小值，∴．
【过关检测】
一．选择题（共8小题）
1．在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，，SA＝AB＝BC，则直线AB与SC夹角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，利用空间向量求异面直线AB与SC夹角的余弦值．
【解答】解：以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，过B作AS的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：设AB＝1，则A（1，0，0），B（0，0，0），S（1，0，1），C（0，1，0），所以＝（﹣1，0，0），＝（﹣1，1，﹣1），计算•＝1，||＝＝，所以cs＜，＞＝＝＝，所以直线AB与SC夹角的余弦值是．故选：C．
2．已知向量，分别为平面α，β的法向量，则平面α与β的夹角为（ ）
A．90°B．60°C．45°D．30°
【分析】根据坐标可求出，进而可求得答案．
【解答】解：∵，，∴，
∴，∴平面α与平面β的夹角为90°，故选：A．
3．直线l的方向向量为，且l过点A（1，1，1），则点P（﹣1，2，1）到l的距离为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由空间向量数量积的运算，结合向量的投影的运算求解即可．
【解答】解：直线l的方向向量为，且l过点A（1，1，1），又点P（﹣1，2，1），
则，则，又∵＝，
∴则点P（﹣1，2，1）到l的距离为，故选：B．
4．已知向量，分别为平面α和平面β的法向量，则平面α与平面β的夹角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．120°
【分析】根据坐标可求出，根据夹角的范围以及平面的夹角与平面法向量之间的关系即可求出答案．
【解答】解：由已知可得，，，
所以．设θ为平面α与平面β的夹角，则θ∈[0°，90°]，
又，所以θ＝60°．故选：C．
5．如图，在四面体ABCD中，AB⊥BD，CD⊥BD，若AB＝3，，CD＝2，，则平面ABD与平面CBD的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意可得，结合空间向量的数量积的定义及运算律可求得，即可得结果．
【解答】解：设平面ABD与平面CBD的夹角为，
由题意可得：
，
∵，则，
即19＝9+12+4﹣12csθ，解得，由，可得，
故平面ABD与平面CBD的夹角为．故选：C．
6．如图，二面角A﹣EF﹣C的大小为45°，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是（ ）
A．B．C．D．
【分析】在正方形ABFE，正方形CDEF中，DE⊥EF，EF⊥FB，CF⊥BF，可得∠BFC＝45°，＝++，利用向量的线性运算，即可得出答案．
【解答】解：在正方形ABFE，正方形CDEF中，DE⊥EF，EF⊥FB，CF⊥BF，∵二面角A﹣EF﹣C的大小为45°，∴∠BFC＝45°，∴•＝||•||cs135°＝1×1×（﹣）＝﹣，又＝++，
∴||2＝||2+||2+||2+2•+2•+2•＝1+1+1﹣＝3﹣，∴||＝，故选：C．
7．空间四边形ABCD边长为，对角线AC、BD的长为，E、F为AB、CD的中点，则异面直线BF与CE所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由题知，，进而根据向量夹角求解即可．
【解答】解：因为空间四边形ABCD边长为，对角线AC、BD的长为，所以，，所以，
，，
因为E、F为AB、CD的中点，所以，
则
＝
＝5+2+20+2﹣16﹣4＝9，即，，
则，即，
且
＝
＝
＝4﹣2+1﹣4﹣10+4＝﹣7，所以，
所以异面直线BF与CE所成角的余弦值为，故选：C．
8．三棱锥A﹣BCD的各面展开图如图所示，其中△BCD是边长为1的等边三角形，AB＝AD＝AC′＝2．P是棱BC上的动点，记直线DP与平面ABC所成角为θ，则sinθ的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用等体积法计算出点D到平面ABC的距离d，计算出DP的取值范围，可得出sinθ＝的取值范围．
【解答】解：由题意作出三棱锥A﹣BCD的直观图，如图，由题意可知，三棱锥A﹣BCD为正三棱锥，设点A在底面BCD的射影为点O，取BC的中点M，连接DM，AM，则O为等边△BCD的中心，
∵△BCD为等边三角形，M为BC的中点，则DM⊥BC，
且DM＝＝＝，∴OD＝，
∵AO⊥平面BCD，OD⊂平面BCD，∴AO⊥OD，
∴AO＝＝＝，∴＝＝，
＝＝，
∵AB＝AC＝2，M为BC的中点，∴AM⊥BC，且AM＝＝＝，
∴＝＝，设点D到平面ABC的距离为d，
∵VD﹣ABC＝VA﹣BCD，∴，解得d＝，
当点P与点M重合时，DP取最小值，当点P与B，C重合时，DP取最大值，
∴，∴sinθ＝＝∈[，]．故选：D．
二．填空题
9．已知平面α的一个法向量为，A（2，﹣1，2），B（1，2，2），则直线AB与平面α所成角的正弦值为 ．
【分析】根据线面角的向量求法求解即可．
【解答】解：因为，所以直线AB与平面α所成角的正弦值为
．故答案为：．
10．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为棱CC1上一点，直线PB与DD1所成角的大小为60°，若|A1A|＝|AB|＝|PB|＝2，则|PA1|＝ ．
【分析】设AD＝a，CP＝b，利用空间向量法即可求解．
【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以A为原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，
设AD＝a，CP＝b，则B（2，0，0），P（2，a，b），D（0，a，0），D1（0，a，2），
所以，，所以，解得b＝1，
所以，解得，即，又A1（0，0，2），∴＝（﹣2，﹣，1），所以||＝＝2．故答案为：．
15．已知矩形ABCD，，沿对角线AC将△ABC折起，若二面角B﹣AC﹣D的余弦值为，则B与D之间距离为 ．
【分析】过B和D分别作BE⊥AC，DF⊥AC，由题意可得、EF＝1，由二面角B﹣AC﹣D的余弦值为，得，再利用可求得结果．
【解答】解：过B和D分别作BE⊥AC，DF⊥AC，
由，则AC＝2，由等面积法知：，故，
则，即EF＝1，∵二面角B﹣AC﹣D的余弦值为，即，，
∴＝，
则，即B与D之间距离为．故答案为：．
16．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，DD1＝4，则A1B1与平面A1C1D所成的角的正弦值为 ．
【分析】根据棱柱的结构特征，建立以A为原点的空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法，即可得出答案．
【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，建立以A为原点的空间直角坐标系A﹣xyz，如图所示：
AB＝AD＝2，DD1＝4，则A（0，0，0），D（0，2，0），A1（0，0，4），B1（2，0，4），C1（2，2，4），
则＝（2，0，0），＝（2，2，0），＝（0，﹣2，4），设平面A1C1D的法向量为＝（x，y，z），则，取y＝2，则z＝1，x＝﹣2，∴平面A1C1D的法向量＝（﹣2，2，1），
设A1B1与平面A1C1D所成角为α，则sinα＝|cs＜，＞|＝＝＝，
故答案为：．
四．解答题
17．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC＝4，E，F分别是AC，A1B1的中点．
（1）证明：EF⊥BC；
（2）求二面角C1﹣A1C﹣B的正弦值．
【分析】（1）连接A1E，根据题意得A1E⊥AC，根据面面垂直的性质定理得A1E⊥平面ABC，A1E⊥BC，根据线面垂直的判定定理得到BC⊥平面A1EF，再得到EF⊥BC；
（2）以E为原点，在平面ABC中，过点E作AC的垂线为x轴，EC，EA1所在直线分别为y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用平面的法向量可求出结果．
【解答】证明：（1）连接A1E，∵E是AC的中点，A1A＝A1C＝AC，∴A1E⊥AC，
又∵平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，A1E⊂平面A1ACC1，
∴A1E⊥平面ABC，因为BC⊂平面ABC，∴A1E⊥BC，又A1F∥AB，AB⊥BC，
∴BC⊥A1F，因为A1E⊂平面A1EF，A1F⊂平面A1EF，A1E∩A1F＝A1，
∴BC⊥平面A1EF，因为EF⊂平面A1EF，∴EF⊥BC；
（2）以E为原点，在平面ABC中，过点E作AC的垂线为x轴，EC，EA1所在直线分别为y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
，
∴，易知平面ACC1A1的法向量为，
设平面A1CB的法向量为，
则，令，∴，∴，
cs＜，＞＝＝＝，所以，
∴二面角C1﹣A1C﹣B的正弦值为．
18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，，．
（1）证明：BC1⊥AB1；
（2）求直线A1D与平面AB1C1所成角的正弦值．
【分析】（1）建立空间直角坐标系，由可证明BC1⊥AB1；
（2）先求平面AB1C1的法向量为，再求直线A1D一个方向向量与法向量所成角的余弦值的绝对值，即为直线A1D与平面AB1C1所成角的正弦值．
【解答】证明：（1）以C1为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系：
设BC＝1，则A1（2，0，0），B1（0，1，0），A（2，0，1），B（0，1，1），
因为，，
所以，所以BC1⊥AB1；
（2）设平面AB1C1的法向量为，因为，，
所以，令x＝1，得，
因为，所以，
即直线A1D的一个方向向量为，设直线A1D与平面AB1C1所成的角为α，
则，
即直线A1D与平面AB1C1所成角的正弦值为．
19．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，D是棱AB的中点．
（1）证明：平面A1CD⊥平面ABB1A1；
（2）若AA1∈[1，2]，求平面A1CD与平面A1CC1的夹角余弦值的取值范围．
【分析】（1）证明CD⊥平面ABB1A1即可证明结论；
（2）分别取AC，A1C1的中点O，E，连接OE，OB，进而OB，OC，OE两两垂直，如图建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可．
【解答】证明：（1）在正三棱柱中，AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，所以AA1⊥CD，
因为AC＝BC，且D是棱AB的中点，所以CD⊥AB，
因为AB，AA1⊂平面ABB1A1，且AB∩AA1＝A，所以CD⊥平面ABB1A1．
又因为CD⊂平面A1CD，所以平面A1CD⊥平面ABB1A1；
解：（2）分别取AC，A1C1的中点O，E，连接OE，OB，由正三棱柱性质得AO＝A1E，AO//A1E，
所以四边形AOEA1为平行四边形，所以AA1//OE，因为AA1⊥平面ABC，所以OE⊥平面ABC
因为AC，OB⊂平面ABC，所以OE⊥AC，OE⊥OB因为在等边三角形ABC中，OB⊥AC，
所以OB，OC，OE两两垂直，如图建立空间直角坐标系，
设AA1＝t（1≤t≤2），则C（0，1，0），，A1（0，﹣1，t），，，设平面A1CD的法向量，则，
令z＝2，y＝t，，得，平面A1CC1的一个法向量，
设平面A1CD与平面A1CC1夹角为α，则，
因为1≤t≤2，所以．
20．如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起．使点C到达点P的位置，且PF⊥BF．
（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；
（2）求DP与平面ABFD所成角的余弦值．
【分析】（1）先证明BF⊥平面PEF，再由面面垂直的判定定理得结论；
（2）作PH⊥EF，垂足为H，得PH⊥平面ABFD，以H为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系H﹣xyz，由线面垂直的性质定理得线线垂直，求得图形中的线段长得出P点坐标，然后用空间向量法求线面角．
【解答】解：（1）证明：由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，
又PF∩EF＝F，PF，EF⊂平面PEF，所以BF⊥平面PEF，又BF⊂平面ABFD，
所以平面PEF⊥平面ABFD；
（2）作PH⊥EF，垂足为H，又平面PEF⊥平面ABFD，
且平面PEF∩平面ABFD＝EF，PH⊂平面PEF，所以PH⊥平面ABFD，
以H为坐标原点，建系如图，不妨设，
因为DE∥BF，BF⊥平面PEF，所以DE⊥平面PEF，又PE⊂平面PEF，
所以DE⊥PE，又DP＝2，DE＝1，所以，又PF＝1，EF＝2，故PE⊥PF．可得，
则H（0，0，0），，则，
易知平面ABFD的一个法向量为，
所以，设DP与平面ABFD所成角为θ，
则，∴，即DP与平面ABFD所成角的余弦值为．
21．如图，在三棱锥O﹣ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OA＝OC＝3，OB＝2．
（1）求点B到直线AC的距离；
（2）求直线OB与平面ABC所成角的正弦值．
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用点与直线距离的空间向量法计算可得；
（2）利用直线与平面夹角的空间向量法计算可得．
【解答】解：（1）以，，方向分别为x，y，z轴正方向，建系如图，则根据题意可得：
A（0，0，3），B（2，0，0），C（0，3，0），
∴，，，
设，，则，，
∴点B到直线AC的距离为；
（2）设平面ABC的一个法向量为，
则，取，设直线OB与平面ABC所成角为θ，
则，
∴直线OB与平面ABC所成角的正弦值为．
22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PB⊥平面ABCD，BC＝2BD＝4AD＝4．
（1）证明：PD⊥CD；
（2）若PB＝2，求二面角P﹣CD﹣A的平面角的大小．
【分析】（1）B为坐标原点建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，得到相关向量，计算即可；
（2）求出平面ACD的法向量，求出平面ACD的法向量，利用空间向量夹角公式即可得到二面角大小．
【解答】解：（1）证明：∵∠ABC＝∠BAD＝90°，∴AB⊥AC，
又PB⊥平面ABCD，AB，BC⊂面ABCD，∴PB⊥AB，PB⊥BC，
故以B为坐标原点，BC，BA，BP为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图，
∵BC＝2BD＝4AD＝4，∴BC＝4，BD＝2，AD＝1，∴，设PB＝a，
则，
∴，∴，∴PD⊥CD；
（2）由（1）知，
平面ACD的法向量取，，
设平面ACD的法向量，则，即，取，
∴，由图易得此二面角的平面角为锐角，
∴二面角P﹣CD﹣A的平面角的大小为．
位置关系
共面情况
公共点个数
图示
相交直线
在同一平面内
有且只有一个
平行直线
在同一平面内
无
异面直线
不同时在任何一个平面内
无