精品解析：湖北省荆州市2024-2025学年高一下学期期末质量检测数学试题

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本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟.
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将答题卡上交.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在复平面内，复数对应的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 已知向量，，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A. （0，2）B. （1，0）C. （2，0）D. （0，1）
3. 已知非零向量，满足，且，则与的夹角大小为（ ）
A B. C. D.
4. 设，为复数，是虚数单位，下列命题中正确的是（ ）
A. B. 若，则
C. 若满足，则D.
5. 已知，，是互不重合的三条直线，，，是互不重合的三个平面，则下列说法中正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，，，则
C. 若与是异面直线，，，则
D. 若，，，，则
6 已知，则（ ）
A. B. C. D.
7. 设的内角所对应的边分别为，，，其面积，若的周长为1，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
8. 已知，，三点不共线，，其中，为实数且不同时为0，则下列结论不正确的是（ ）
A. 若，则，，三点共线
B. 若，则点为重心
C. 若，则平分
D. 若，则
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 数据0，1，1，2，2，2，3，4的极差与众数之和为6
B. 数据11，13，5，6，8，1，3，9的下四分位数是3
C. 若数据的标准差为1，则数据，，，的标准差为2
D. 若样本数据的频率分布直方图的形状为单峰不对称，且在右边“拖尾”（如图所示），则样本数据的平均数大于中位数
10. 若函数的图象与直线的相邻交点的距离为，则以下说法正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 点是函数图象的一个对称中心
C.
D. 的解集为
11. 已知正方体的棱长为，，，分别为棱，，的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. 过点，，的平面截正方体所得截面多边形为正五边形
B. 若三棱锥的顶点都在球的表面上，则球的表面积为
C. 从顶点出发沿正方体的表面运动到点的最短路线长为
D. 若用一张正方形的纸把正方体完全包住，不考虑纸的厚度，不将纸撕开，则所需正方形纸的面积的最小值为8
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知圆锥的母线长为，若轴截面为等腰直角三角形，则圆锥的表面积为__________.
13. 为了解某高中学校学生每周阅读课外书籍的数量，按年级分层，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽取学生进行统计.现抽取高一学生25人，其每周阅读课外书籍数量的均值为3本，方差为3.2；抽取高二学生25人，其每周阅读课外书籍数量的均值为2本，方差为2.3.则该校高一、高二学生每周阅读课外书籍数量的总样本的方差是__________.
14. 如图，正方形的边长为，，分别为边，上的点，且，则的取值范围为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某中学举办学生数学素养知识竞赛.现从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中值；
（2）试估计全校答卷成绩的第40百分位数（保留小数点后一位）和平均数（单位：分，同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.
16. 已知分别为三个内角的对边，且.
（1）求；
（2）在中，若边的中线，求面积的最大值.
17. 如图所示，在四棱锥中，已知，，底面，平面平面.
（1）求点到平面的距离；
（2）证明：平面；
（3）若，求二面角的余弦值.
18. 已知函数（其中），将的图象向右平移个单位长度后得到的函数为偶函数.
（1）求的解析式；
（2）当时，求函数的单调增区间；
（3）记方程在上有五个实根，，，，，其中，求的取值范围及的值.
19. 已知函数部分图象如图1所示， 分别为图象的最高点和最低点，过作轴的垂线，交轴于点，点为该部分图象与轴的交点.
（1）求的解析式；
（2）将绘有函数部分图象的纸片沿轴折成的二面角，如图2所示.
（i）求直线与平面所成的角的正弦值；
（ii）求以线段的中点为球心，半径为的球与二面角所围成的几何体的体积.
注：球缺的定义：如图3，一个球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫球缺的底面，垂直于底面的直径被截下的线段长叫球缺的高.设球的半径为，球缺的高为，则球缺的体积公式为.