广东省广州市天河区2024-2025学年高一下学期期末测试数学试题+答案

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多项选择题
11解：对于C:
在上取点，使得，连接，易证.
则

另解：如图，连接，
则

选项C正确.
对于D，截面是平面与几何体表面的交线围成的图形.
如上图所示，过，，三点的平面截该正方体所得的截面应为五边形. 选项D不正确.
填空题
12． 13．3 14.
解答题
15. 解答：（1）由余弦定理可知，
因为角为钝角，故，
所以，
所以△周长的取值范围是．
（2）因为角为锐角，且满足，故，
由余弦定理可得，所以，
所以.
16解：（1）∵，且，
∴四边形为平行四边形，
∵为直线与平面的交点，
∴，
又∵平面，
∴平面，
又∵平面，平面平面，
∴，
∴，，三点共线．
(2)连结




同理
，即是与平面的所成角
连结，


同理
不妨设

即与平面所成角的正弦值为.
17.【详解】（1）由题意知，第1组的小长方形的高是第2组的小长方形的高的一半，
所以，
解得，
又，
解得，
所以，，
成绩落在内的频率为：，
落在内的频率为：，
设第60百分位数为，
则，
解得，
所以晋级分数线划为73分合理；
（2）设该小组10位学生的分数分别为，因为，
所以，
所以，
所以，
剔除其中的95和85两个分数，设剩余8个数为，
平均数与标准差分别为，，
则剩余8个分数的平均数：，
方差：；
（3）记“甲、乙、丙回答正确这道题”分别为事件，
则，
解得，
由乙、丙两人至少一人回答正确的概率是，
则
即.
所以乙、丙两人各自回答正确这道题的概率为和.
有0人回答正确的概率，
有1人回答正确的概率为
所以不少于2人回答正确这道题的概率.
18解：（1）
（2）过点作的垂线交于点，交于点，
翻折后仍有，，
又因为，且平面，平面，
所以平面，
所以为二面角所成的平面角，
由题意得平面，
所以，
因为，
所以，
又因为，所以，
，
所以，
所以，
即二面角平面角的余弦值为；
（3）过点作的垂线交于点，设，，
由题意平面平面，平面平面，，
平面，平面，
所以平面，所以，
则，
所以，
又因为，
所以，
由角平分线定理逆定理知，=，，
所以，，所以，
则有，，
．
19. 【详解】（1）①是；
令，解得；
即可得，所以的零点的解集为；
所以存在使得为“分圆函数”．
②不是；
令，即，
解得或；
显然这两部分解无法用同一个表达式来表示，所以不是“分圆函数”．
（2）令，
，故其必有两个不等实根，
由韦达定理：，令，则
因此的全部零点为，；
故对任意a∈R，均为“分圆函数”
（3）法1：
令，
易知，故其必有两个不等实根，
由韦达定理可得
因为在上至多有两个解，在上至多有两个解；
所以在上至多有4个解，则
当时：由于，则且，不合题
当时：必有或
（i）若，则，
此时，的全部零点为，故合题意；
（ii）若，则，
此时，的全部零点为，故合题意；
当时：若，则
则，均为的根
而，故
因此
此时，的全部零点为，故合题意；
综上或；
法2：易知为定义在上的以2π为周期的函数，先在上分析其性质；
记，其在，上均单调递增
故在上的增区间为，，减区间为，，且，；
若，则，在恰有两个零点记为，在上恒正，无零点，
由周期性可知在上恰有两个零点，记为，，因此，，，依次为的四个相邻零点；
而，不合题意，故，
同理，因此，
当时，的全部零点为，合题意；
当时，的全部零点为，合题意；
当时，在，，，各一个零点，分别记作，，，，
若为“分圆函数”，则有；
故，，
因此，故，，
注意到为偶函数，则，解得，；
故，
当时，的全部零点为：，合题意；
综上，或.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
C
D
A
B
D
C
D
题号
9
10
11
答案
BC
ACD
AC