湖南省长沙市岳麓实验中学2024-2025学年高一下学期6月月考数学试卷

这是一份湖南省长沙市岳麓实验中学2024-2025学年高一下学期6月月考数学试卷，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
在锐角△ ???中，A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若? = ?(1 + 2????)
?
，则?的取值范围是（）
3
1,
​
D． 1 ,
3
2
2
2, 3
C． 2,2
已知集合? ⊆ ?,? ⊆ ?，且? ∩ ??? = ∅，则下列说法一定正确的是（）
? ⊇ ?B．? ∩ ? = ∅C．? ∩ ??? = ∅D．??? ⊇ ???
3．已知集合? = {? ∈ ?|(? + 1)(2? ― 7) ≤ 0},? = {?|? ≤ 2}，则? ∩ ?为（）
{ ―1,0,1,0}B．{ ―1,0}C．{0,1,2}D．{ ―1,0,1,2}
4．“? = ?2 ―4?? < 0”是“关于 x 的一元二次不等式??2 +?? + ? > 0的解集为 R”的（）
充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．已知函数?(?) = |ln?|,?1、?2为不相等的两个实数，则“?(?1) = ?(?2)”是“?′(?1)?′(?2) = ―1”的
（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知定义在?上的函数?(?)满足?(? + 2) = ?( ―?) = ―?(?)，当0 < ? ≤ 1时，?(?) = lg2(? + 1).若
?(? + 1) > ?(?)，则实数?的取值范围是（）
A． ― 5 + 4?, ― 3 + 4? ，? ∈ ?B．( ―1 + 4?,4?)，? ∈ ?
22
C． ― 1 + 4?, 1 + 4? ，? ∈ ?D． ― 3 + 4?, 1 + 4? ，? ∈ ?
2222
7．已知集合? = {? ∈ ?|? < 4}，? = {?|? = ?2 ―1,? ∈ ?}，? = ? ∩ ?，则集合 P 的子集共有（）
A．2 个B．3 个C．4 个D．8 个
已知? > 0，若关于 x 的方程??―1 ―?? + ?ln(??) = 0存在正零点，则实数?的取值范围为（）
?
A．( ― ∞,1]B．[1, +∞)C．( ― ∞,3]D．[3, +∞)
二、多选题
已知复数 ? = cs? + ?sin?( ― ??（其中 ? 为虚数单位）下列说法正确的是（）
2 < ? < 2)
复数 ? 在复平面上对应的点可能落在第二象限
? 可能为实数
C．|?| = 1
D．1
?
的虚部为 sin?
已知实数 m，n 满足0 < ? < ? < 1，则下列结论正确的是（）
A．
? < ?+1
B．? + 1 > ? + 1
C．?? > ??D．lg?? < lg??
??+1
??
如图，设 E，F 分别是正方体 ???? ― ?1?1?1?1 的棱 DC 上两点，且 ?? = 2 ， ?? = 1 ，其中正确的命题为（）
三棱锥 ?1 ― ?1?? 的体积为定值
异面直线 ?1?1 与 ?? 所成的角为 60°
直线 ?1?1 与平面 ?1?? 所成的角为 30°
二面角 ?1 ―?? ― ?1 的平面角为 45°
三、填空题
? ― 1
函数 ?(?) =+ lg(1 + 2?) 的定义域为.
已知 △ ???和点?满足?? + ?? + ?? = 0，若存在实数?、?使得??? +??? = ??成立，则
? + 2? = ．
???? 的内角?，?，?的对边分别为?，?，?，若2???? = ?2+?2+1+2??，则????面积的最大值
?+?
为.
四、解答题
15．已知|?| = 4，|?| = 3，? ⋅ ? = 6．
求?与?的夹角；
求|3? ― 4?|．
16．计算下列各式：
27 ―2
49 0.5
―2 2
（1）()
8
3 ― ()
9
+ (0.008)
3 × 25
（2）lg327 + lg32 × lg23 ― 6lg62 + lg2 + lg5
17．函数? = ?sin(?? + ?)(? > ，? > 0，|?| < ?)的一段图象如图所示.
2
（1）求函数? = ?(?)的解析式；
（2）将函数? = ?(?)?
? = ?(?)的图象，求函数? = ?(?) + ?(?)在
? ∈ (0，?)的值域.
2
的图象向右平移3个单位，得到
在 △ ???中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 b=2，且cs? = ? ― ?．
24
求角 B 的大小；
若△ ???是锐角三角形，求 △ ???面积的取值范围．
已知实数 ?，?，? 满足 ? > ? > ? ；
（1）求证： 1 + 1 + 1 > 0 ；
?―??―??―?
将上述不等式加以推广，把 1
?―?
的分子 1 改为另一个大于 1 的自然数 ? ，使得
1 + 1 + ? > 0 对任意的 ?，?，? 恒成立，请加以证明；
?―?
?―?
?―?
从另一角度推广，自然数 ?，?，? 满足什么条件时，不等式 ? + ? + ? > 0 对任意
?，?，? 恒成立，请加以证明.
?―?
?―?
?―?
答案解析部分
【答案】B
【解析】解：? = ?(1 + 2????)，由正弦定理可得???? = ????(1 + 2????)，则???????? + ???????? = ???? + 2????????，即???(? ― ?) = ????，
即? ― ? = ?，即? = 2?，若? ― ? + ? = ?，则? = ?，不符合题意舍去；
? = ???? = 2???????? = 2????，
则?
????
????
因为? + ? + ? = 3? + ? = ?，? ∈ 0,
，所以3? > ?，
?
2
2
2
，所以
又因为? = 2? < ?? < ? < ?，所以< 2???? < 3，
264
2, 3
?.
则?的取值范围是
故答案为：B.
【答案】D
【答案】C
【答案】B
【解析】解：充分性：若? < 0，? = ?2 ―4?? < 0，一元二次不等式??2 +?? + ? > 0的解集为∅，即充分
性不成立；
? = ?2 ― 4?? < 0
必要性：若一元二次不等式??2 +?? + ? > 0的解集为?，则? > 0
，即必要性成立.
因此，“?2 ―4?? < 0”是“一元二次不等式??2 +?? + ? > 0的解集为?”的必要非充分条件.
故选：B.
【答案】C
【解析】解：由题意，不妨设0 < ?1 < 1 < ?2，
当?(?1) = ?(?2)时，ln?1 = ― ln?2，即ln?1 + ln?2 = ln?1?2 = 0，解得：?1?2 = 1，
当0 < ? < 1时，?(?) = ― ln?，?′(?) = ― 1，即?′(?1) = ― 1 ，
?
当? > 1时，?(?) = ln?，?′(?) = 1，即?′(?2) = 1 ，
?1
?
1
则?′(?1)?′(?2) = ― ?1?2 = ―1，
?2
―1 1
当?′(?1)?′(?2) = ?1 ⋅ ?2 = ―1时，一定有0 < ?1 < 1 < ?2，且?1?2 = 1，则?(?1) = ?(?2)，
所以“?(?1) = ?(?2)”是“?′(?1)?′(?2) = ―1”的充分必要条件；
故答案为：C.
【答案】D
【答案】C
【解析】因为? = {? ∈ ?|? < 4} = {0,1,2,3}，又? = {?|? = ?2 ―1,? ∈ ?}，
所以? = { ― 1,0,3,8}，所以? = ? ∩ ? = {0,3}，则集合?的子集共有22 = 4个．故选：C
【答案】B
【解析】解：由题意得，??―1 ―? + ln(??) = ??―1 ―? + ln(??) = ??―ln(??)―1 ―[? ― ln(??)] = 0，
??
?ln(??)
令? = ? ― ln(??)，问题转化为??―1 ―? = 0有解，设ℎ(?) = ??―1 ―?，则ℎ′(?) = ??―1 ―1，
当? ∈ ( ― ∞,1)时，ℎ′(?) < 0，函数ℎ(?)单调递减；当? ∈ (1, +∞)时，ℎ′(?) > 0，函数ℎ(?)单调递增，
又由ℎ(1) = 0，所以ℎ(?)存在唯一零点? = 1，即1 = ? ― ln(??)在(0, +∞)有解，
即1 + ln? = ? ― ln?，令?(?) = ? ― ln?，则?′(?) = 1 ― 1 = ?―1，
??
当? ∈ (0,1)时，?′(?) < 0；当? ∈ (1, +∞)时，?′(?) > 0， 所以函数?(?)在(0,1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增，所以1 + ln? ≥ ?(1) = 1，解得? ≥ 1，
故实数?的取值范围为[1, +∞).
故答案为：B.
【答案】B,C
【解析】对于 AB 选项，当 ― ? < ? < 0 时， cs? > 0 ， sin? < 0 ，此时复数 ? 在复平面内的点在
2
第四象限；
当 ? = 0 时， ? = ―1 ∈ ? ；
当 0 < ? < ?
2
时， cs? > 0 ， sin? > 0 ，此时复数 ? 在复平面内的点在第一象限.
cs2? + sin2?
A 选项错误，B 选项正确；对于 C 选项， |?| =
= 1 ，C 选项正确；
对于 D 选项， 1 = 1 = cs?―?sin? = cs? ― ?sin? ，
?cs?+?sin?(cs?+?sin?)⋅(cs?―?sin?)
所以，复数 1
?
的虚部为 ― sin? ，D 选项错误.
故答案为：BC.
【答案】A,C
，故，
【解析】由0 < ? < ? < 1知，? ― ? < 0 ? ― ?+1 = ?―?< 0 ? < ?+1 ，A 符合题意；
??+1
?(?+1)
??+1
由0 < ? < ? < 1得? ― ? > 0，1 ― 1 < 0，所以? + 1 ―(? + 1) = (? ― ?)(1 ― 1 ) < 0，即
? + 1 < ? + 1，B 不符合题意；
??
??
??
??
因为指数函数? = ??为单调减函数，故?? > ??，
由幂函数? = ?? 为单调增函数知?? > ?? ，故?? > ??，C 符合题意；根据， 0 < ? < ? < 1对数函数? = lg??，? = lg?? 为单调减函数，故lg?? > lg?? = 1 = lg?? > lg??，D 不符合题意，
故答案为：AC
【答案】A,C,D
【解析】如图所示，
对 A，三棱锥 ?1 ― ?1?? 的体积为 ? = 1?△? ??·?1?1 = 1 × 1 × 2 × 2 × 1 = 2
为定值，A 符合题意；
31323
对 B， ??//?1?1 ， ∠?1?1?1 或其补角是异面直线 ?1?1 与 ?? 所成的角，为 45° ，B 不符合题意；对 C，取 ?1? 的中点 ? ，连结 ?1?，?1? ，则 ?1? ⊥ 平面 ?1?? ，
2
∠?1?1? 为直线 ?1?1 与平面 ?1?? 所成的角，所以 sin∠?1?1? = ?1? = 2 = 1 ，
所以直线 ?1?1 与平面 ?1?? 所成的角为 30°，C 符合题意；
?1?1
22
对 D， ?1? ， ?1? 均与交线 ?? 垂直，所以二面角 ?1 ―?? ― ?1 的平面角为 ∠?1??1 = 45∘ ，
，D 符合题意．故答案为：ACD
【答案】[1，+∞)
【解析】由题意可知， ? ― 1 ≥ 0
1 + 2? > 0
，解得 ? ≥ 1 ，所以 ?(?) 的定义域为[1，+∞).
故答案为：[1，+∞)
【答案】1
【解析】因为?? + ?? + ?? = 0，
所以― ?? + ?? ― ?? + ?? ― ?? = 0，即―3?? + ?? + ?? = 0，
所以1?? + 1?? = ??，
33
则? = ? = 1，所以? + 2? = 1。
3
故答案为：1。
【答案】1
8
⩾2
【解析】2???? = ?2+?2+1+2?? = (?+?)2+1 = ? + ? + 1 ，
?+?
?+?
?+?
所以 ????⩾1 ，当且仅当 ? + ? = 1
?+?
，即 ? + ? = 1 时取等号，
所以 ???? = 1 ，即 ? = ?
2
， ? + ? = 1 ，
所以 1 = (? + ?)2 = ?2 + ?2 +2??⩾4?? ，当且仅当 ? = ? 时取等号，
所以 ??⩽1 ，
4
则 ???? 面积
11 ，即面积的最大值 1
.
故答案为： 1
8
? =
??⩽.
8
28
15．【答案】（1）解：因为|?| = 4，|?| = 3，? ⋅ ? = 6，所以cs⟨?,?⟩ = ?⋅?
= 6 = 1，且⟨?.?⟩ ∈ [0,?]，
3
所以⟨?.?⟩ = ?，
??
|?||?|
4×32
9?2 + 16? ― 24? ⋅ ?
2
则 与?的夹角为3；
（2）解：|3? ― 4?| =
=
= 12.
144 + 144 ― 24 × 6
【解析】（1）代入向量的夹角公式求解即可；
（2）根据向量数量积的运算律和夹角公式求解即可.
⟨⟩
?⋅?
（1）cs ?,? =
= 6 = 1，且⟨?.?⟩ ∈ [0,?]，
|?||?|4×32
所以⟨?.?⟩ = ?，所以?与?的夹角为?；
3
9?2 + 16? ― 24? ⋅ ?
2
（2）|3? ― 4?| =
16．【答案】（1）解：原式=
3
27 ―2
=
144 + 144 ― 24 × 6
49 0.5
―2 2
= 12.
() 3 ― ()
89
+ (0.008)
3 × 25
= 4 ― 7 +25 × 2 = 4 ― 7 +2 = 1；
3 ―2
= ( )
2
7
― + (
3
1 ―22
)×
525
9325939
lg 2
（2）解：原式= lg333 + lg32 × 1 ―2 + lg10
3
= 3 + 1 ― 2 + 1 = 3.
【解析】（1）利用指数幂的运算法则，从而化简求值。
（2）利用换底公式结合对数的运算法则，进而化简求值。
17．【答案】（1）解：观察图象，得? = 2，函数?(?)的周期? = 11? ― ( ― ? ) = ? = 2?，解得? = 2，
1212?
即?(?) = 2sin(2? + ?)，
??????
由?( ―) = 2sin( ―+?) = 0，得―+? = ??，即? = ?? + ，? ∈ ?，而|?| < ，则? = ，
1266626
所以函数? = ?(?)的解析式是
?
?(?) = 2sin(2? + 6).
???
（2）解：由（1）得?(?) = 2sin[2(? ― 3) + 6] = 2sin(2? ― 2) = ―2cs2?，
3
?
则? = ?(?) +?(?) = 2sin(2? + 6) ―2cs2? = 2( 2
sin2? +
1
cs2?) ―2cs2?
2
= 3sin2? ― cs2? = 2sin(2? ― ?)，当0 < ? < ?时， ― ? < 2? ― ? < 5?，
6
― 1?
2666
?
有 2 < sin(2? ― 6) ≤ 1，于是―1 < 2sin(2? ― 6) ≤ 2，
所以所求值域为( ―1，2].
【解析】（1）根据函数图象求出振幅 A，周期 T，然后利用公式? = 2?，解出?，再在图像上找一点坐
?
标带入函数解析式即可求解；
（2）根据函数平移的规则左加右减，得出?(?)，即可求出 的解析式，然后结合三角函数图象即可求出答案.
18．【答案】（1）解：由余弦定理可得cs? = ?2+4―?2 = ? ― ?，
4?24
整理得4 = ?2 + ?2 ―??，
又由cs? = ?2+?2―4 = 1，
2??2
因为? ∈ (0,?)，所以? = ?.
3
，所以sin?? =sin?
2
（2）解：由（1）可知： ? = 2 = 4 ? = 4 ， 4 ，
?? = 16
sin? 3333
3
162161
故3 sin? ⋅ sin? = 3 sin?sin( ? ― ?) = 3 sin? ⋅ (cs? + sin?)，
3
88
= ( 3sin?cs? + sin2?) = (
33
2
3
1
sin2? ―
22
2
1
cs2? + ) =
2
8?4
sin(2? ― ) +
363
0 < ? < ?
??
因为△ ???是锐角三角形，则
0 < ? =
2?
3
2
― ? ? > ? ，
要证 1 + 1 + 1 > 0 ，即证 1 + 1 > 1 = 1 ，
?―?
?―?
?―?
?―?
?―?
?―?
(?―?)+(?―?)
1 1
只要证 (+)[(? ― ?) + (? ― ?)] > 1 ，
?―??―?
?―? × ?―?
?―??―?
1 1 ?―??―?
而 (+)[(? ― ?) + (? ― ?)] = 2 ++≥ 2 + 2= 4 ，当且仅当
?―?
?―?
?―?
?―?
?―? = ?―? ．即 ? ― ? = ? ― ? 或 ? + ? = 2? 时等号成立，
?―??―?
所以原不等式成立
1 1 1 1
（2）解：由（1） ? < (+)[(? ― ?) + (? ― ?)] 恒成立，由（1） (+)[(? ― ?) + (? ― ?)]
?―?
?―?
?―?
?―?
最小值为 4，所以 ? < 4 ， 1 < ? < 4 ，所以 ? = 2 或 3
? < (
解：类似（1）不等式 ? + ? + ? > 0 恒成立，即 ? + ? )[(? ― ?) + (? ― ?)] ，
?―?
?―?
?―?
?―?
?―?
??
而
? ??(?―?)?(?―?)
(+)[(? ― ?) + (? ― ?)] = ? + ? ++≥ ? + ? + 2
，当且仅当
?―?
?―?
?―?
?―?
?(?―?) = ?(?―?) ，即 ?(? ― ?) = ?(? ― ?) 时等号成立，
?
?
?
?―??―?
??
所以 ? < ? + ? + 2
，即
1 ，由基本不等式易证；（2）不等式
?―??―?
1 1 1 1
变形为 ? < (+)[(? ― ?) + (? ― ?)] ，由（1）可得 (+)[(? ― ?) + (? ― ?)] 最小值．即
?―?
?―?
?―?
?―?
? ?
得 ? 的范围．（3）类似（1）得 ? < (+)[(? ― ?) + (? ― ?)] ，由基本不等式求得
?―??―?
? ?
(+)[(? ― ?) + (? ― ?)] 的最小值，从而可得结论．
?―??―?