河南省郑州市2024-2025学年高二下学期期末测评 数学试卷（含答案）

这是一份河南省郑州市2024-2025学年高二下学期期末测评 数学试卷（含答案），共29页。

注意事项：
1.本试卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。考生答题全部答在答题卡上，答在本试 卷上无效。
2.请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、准考证号是否与本人相符合，再将 自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上。
3.答选择题必须用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案。答非选择题必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔写在答题卡的指定位置，在其 他位置答题一律无效。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.
1.已知生物体内存在酶X 、酶 A、酶 S 、酶 J 、酶 Y ，酶 X可以与酶 A、酶 S 、酶 J 、酶 Y 中的任意一 种酶发生特异性结合反应.现有 3 个不同的酶X分子，每个酶X分子都随机选择一种酶进行结合，且相互 独立，则不同结合方式的种数是( )
A.72 B.68 C.64 D.58
2.若C+6 = C-2 ，则 A + C+2 = ( )
A.4 B.6 C.8 D.12
3.用最小二乘法得到一组数据(xi, yi )(i = 1, 2, 3, 4, 5, 6) 的线性回归方程为y = bx + 3 ，若 ，
则b 的值为 ( )
A.30 B.36 C.38 D.40
4.若 8 名党员中有 3 名优秀党员，从这 8 名党员中选出 4 名党员做报告总结，记选出的党员中优秀党员的 人数为 Y ，则 P(Y = 2) = ( )
B. C. D.
5. 已知 若 彐x1 ∈ (0, +∞) ， 彐x2 ∈ R ，使得 f (x1 ) < g(x2 ) 成立，则实数a 的取值范围是( )
6.在暑假期间，甲、乙、丙、丁四名实验员到某生物研究所的分子生物学、生态学、遗传学三个实验室实 习，每个实验室至少有一人，且每人只去一个实验室. 已知甲在分子生物学实验室实习，则甲与乙不在同一 实验室实习的概率为( )
A. B. C.
7.某次知识竞赛中，题库共有 9 道题目，选手需随机抽取 3 道作答.答对题数未达到 2 道的视为不合格，记 为-1分；恰好答对 2 道的为合格，记为 0 分；3 道题全部答对为优秀，记为 2 分. 已知某位选手仅能答对其 中 5 道题，记该选手的得分为X ，则 E(X ) = ( )
8. 已知 ，则 a ，b ，c 的大小关系为( )
A. a > b > c B. c > a > b C. b > a > c D. b > c > a
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9.某航天知识竞赛的统计结果显示参赛者的得分成绩 ξ 近似服从正态分布N(80, σ 2 )，且 P(ξ≤ 70) = 0.1 ,现从参赛者中随机抽取 6 人，记得分在区间(70, 90) 的人数为X ，则( )
A. P (70 < ξ < 90) = 0.8 B. E (5X - 8) = 16
C. D (2X) = 3.84 D. P (X ≥ 1) = 0.998
10.“杨辉三角 ”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项展开式中的各项系数在三角形数表中的一 种几何排列规律，如图所示，下列说法正确的( )
A.第 8 行的第 8 个数是 8 B.第 2026 行中，第 1014 个数最大
C.第 10 行中，第 5 个数与第 6 个数之比为 6 : 7 D.第n 行所有数字的平方和为Cn
11.已知函数f (x ) = x3 - 3ax2 + 9x + m ，且图象的对称中心为点 (2, 3) ，则( )
A. 函数f (x )在x =3 处取得极小值 1
B. 当x ∈(1, 2) 时，f (x ) < f (3 - x )
C. 当x ∈(3, 4) 时，f (x -1) 的取值范围是(-2, 1)
D. f (x ) 只有一个零点
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.已知 的展开式中第二项与第四项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为_____.
13.假设甲、乙、丙三个实验室分别制备了同一种化学试剂，它们制备的试剂依次占总数的50% ，10% ， 40% ，已知甲实验室制备的试剂的纯度不合格率为 0.05，乙实验室制备的试剂的纯度不合格率为 0.15 ， 丙实验室制备的试剂的纯度不合格率为 0.1，制备出来的试剂混放在一起，现从中任取一个试剂，其纯度 不合格，则该纯度不合格的试剂来自丙实验室的概率为_____.
14.若函数f (x ) = lnx 与 的图象有且仅有一个交点，则关于x 的不等式 ax-2 < 1- ln (x -1) 的解集为_____.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（13 分）随着季节的变化，某种生物的繁殖量也发生变化，某研究员对所在地区该生物 2025 年 1 月至
5 月每月的繁殖量进行统计分析（取近似值），结果如下表：
（1）据上表数据，计算 y 与x 的相关系数r （精确到 0.01），并说明 y 与x 的线性相关性的强弱；（若
r > 0.75 ，则认为 y 与x 线性相关性很强，否则认为y 与x 线性相关性较弱）
（2）利用最小二乘法建立 y 关于x 的线性回归方程，并计算 5 月份该生物繁殖量的残差.
参考数据 、i51 ≈ 7.14 .
参考公式：对于一组数据(xi, yi )(i = 1, 2, 3, … , n) ，其相关系数 ，其经验回
归直线y = x + 中， .
16.（15 分）假设某次模拟航天任务中，航天员需要完成两种任务：任务 A 和任务B ，航天控制中心对 45 名模拟航天员进行了任务分配情况的调查，得到了如下的列联表：
若从这 45 名模拟航天员中的女航天员中随机抽取 1 人，抽到分配任务 A 的女航天员的概率为 .
（1）将上面的 2× 2 列联表补充完整（不用写计算过程）；
月份x
1
2
3
4
5
繁殖量y /千个
1.5
2
3.5
8
15
性别
任务
合计
任务 A
任务B
男
4
女
6
合计
45
（2）根据小概率值 α = 0.01 的独立性检验，能否据此推断任务分配与性别有关？
（3）现从女性航天员中抽取 2 人做进一步调查，设其中分配任务 A 的女性航天员人数为X ，求 X 的分布 列与期望.
附： .
17.（15 分）已知(4x -1)15 = a0 + a1 (x +1) + a2 (x +1)2 + a3 (x +1)3 +…+ a14 (x +1)14 + a15 (x +1)15 .
（1）求 a0 + a2 + a4 +…+ a14 的值.
（2）若 x = 1 ，求(4x -1)15 被 4 除后的余数.
（3）求 a1 + 2a2 + 3a3 +…+15a15 的值.
18.（17 分）已知函数f (x ) = ax - lnx (a ∈ R) .
（1）若 a =1，求函数 f (x ) 的单调区间；
（2）若 f (x )≥ -2 恒成立，求a 的取值范围；
证明
19.（17 分）2025 年，某生物研究所为了庆祝在基因编辑技术研究方面取得的重大突破，准备举办一次有 奖奖励活动，每位参与研究的科研人员都抽一次奖，规则如下：一个不透明的盒子中装有 50 个质地均匀 且大小相同的小球，其中 20 个红球，30 个白球，搅拌均匀后，抽奖人员从中随机抽取一个球，并有放回 地连续抽取 3 次.研究所设计了两种奖励方案.
方案一：若抽到红球，则科研人员获得 40 元的奖金，若抽到白球，则获得 10 元的奖金.
方案二：若抽到红球，则科研人员获得 60 元的奖金，若抽到白球，则没有奖金.
（1）若按方案一抽奖，求最终获得 60 元奖金的概率；
α
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
（2）分别计算选择两种抽奖方案最终获得奖金的数学期望；
（3）为了激励科研人员，让科研人员获得更多奖金，该研究所应选择哪一种抽奖方案进行奖励活动?
2024-2025 学年下学期期末测评试卷高二数学
参考答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.
1.C 【解析】酶 X可以与酶 A、酶 S 、酶 J 、酶 Y 中的任意一种酶发生特异性结合反应，即每一个酶X 分子都有 4 种结合选择方式，那么 3 个不同的酶X分子的结合方式共有43 = 64 （种）.故选 C.
2.C 【解析】由组合数的性质可得 ，解得 n ≤ 4 ，又 C+6 = C-2 ，所以 3n + 6 = 4n - 2 或
3n + 6 + 4n - 2 = 18 ，解得 n = 8 （舍去）或 n = 2 ，故 A + C+2 = A + C = 2 + 6 = 8 .故选 C.
3.A 【解析】根据题意有，线性回归方程为y = bx + 3 ，故 b × 30 + 18 = 918 ，所以 b = 30 .故选 A.
4.C 【解析】从 8 名党员中选出 4 名党员做报告总结，记选出的党员中优秀党员的人数为 Y ，所以 故选 C.
5.A 【解析】 彐x1 ∈ (0, +∞) ， 彐x2 ∈ R ，使得 f (x1 ) < g(x2 ) 成立，则f (x )min < g(x )max ， 函数
f , (x ) = 0 ，得 x = e ，当 x ∈(0, e) 时，f , (x ) < 0 ，f (x ) 单调递减，当x ∈(e, +∞) 时，f , (x ) > 0 ，
f (x )单调递增， :f (x )在x = e 处取极小值，也是最小值，: 函数f (x ) 的最小值为 ， g(x ) = - (x +1)2 + a ，则 g(x )max = g (-1) = a ，所以 .故选 A.
6.D 【解析】记事件 A 为“ 甲在分子生物学实验室实习 ”，事件 B 为“ 甲与乙不在同一实验室实习 ”，
样本点的总数为n (Ω ) = CA = 36 ，n (A) = CA + CA = 12 ，
事件 A ，B 同时发生的情况种数为n (AB) = CA + CA = 10 ，
:P(A) = (()) = = ，
7.B 【解析】X 的所有可能取值为-1 ，0 ，2，
则X 的分布列为：
所以E(X ) = -1× + 0× + 2× = - .故选 B.
8.D 【解析】令 f (x ) = ex - x -1，则 f , (x ) = ex -1，
令f , (x ) < 0 ，则 x < 0 ，令 f , (x ) > 0 ，则 x > 0 ，故 f (x )在区间(-∞, 0) 上单调递减，在区间(0, +∞) 上单调递增，故f (x )≥ f (0) = 0 ，即 ex ≥ x +1 ，即 e-x ≥ -x +1，当且仅当 x = 0 时等号成立，
当0 < x < 1时，由e-x > 1- x > 0 ，得 ，所以 e1 < = ， e1 < < ，即 a < c .
10
设
X
-1
0
2
P
17
42
10
21
5
42
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，即 < ln(|(1+ ), = ln ，因为 ，所以 c < b ， 所以a < c < b .故选 D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9.ABC 【解析】对于 A，因为参赛者的得分成绩 ξ 近似服从正态分布N(80, σ 2 )，且 P(ξ≤ 70) = 0.1 ， 所以P(ξ≤ 70) = P (ξ≥ 90) = 0. 1 ，所以 P(70 < ξ < 90) = 1- P(ξ≤ 70) - P(ξ≥ 90) = 0.8 ，所以 A 正 确；
对于 B，由选项 A 可知 ξ 在区间(70, 90) 的概率为 0.8，则 X ~ B (6, 0.8)，
所以E(X ) = 6 × 0.8 = 4.8 ，所以 E(5X - 8) = 5E(X ) - 8 = 5 × 4.8 - 8 = 16 ，所以 B 正确；
对于 C，由选项 B 可知D(X ) = 6 × 0.8 × 0.2 = 0.96 ，所以 D(2X) = 22 D (X ) = 4 × 0.96 = 3.84 ，所以 C 正确；
对于 D，由题意得 P(X ≥ 1) = 1- P(X = 0) = 1- 0.26 ≠ 0.998 ，所以 D 错误.
故选 ABC.
10.ABD 【解析】对于选项 A，依题意，第 8 行的第 8 个数是C = C = 8 ，所以 A 正确；
对于选项 B，由题图可知：第 n 行有(n +1) 个数字，如果n 是奇数，则第和第 个数字最 大，且这两个数字一样大；如果n 是偶数，则第个数字最大，故第 2026 行中，第 1014 个数最 大，故 B 正确；
对于选项 C，第 10 行是(a + b)10 的展开式的二项式系数，所以第 5 个数与第 6 个数之比为C0 : C0 = 5 : 6
,故 C 错误；
对于选项 D，由题易知，第 n 行所有数字的平方和为(C)2 + (C)2 +…+ (C)2 ，构造等式
(1+ x )n(1+ x )n = (1+ x )2n ，
在等式左边展开式中xn 的系数为CC + CC-1 +…+ C-1C + CC = (C )2 + (C )2 +…+ (C )2 ，
等式右边展开式中xn 的系数为Cn ，故第 n 行所有数字的平方和为(C)2 + (C)2 +…+ (C)2 = Cn ，故
D 正确.
故选 ABD.
11.AD 【解析】根据题意可知，因为函数 f (x ) = x3 - 3ax2 + 9x + m = (x - a )3 + (9 - 3a2 )(x - a )
+m + 9a - 2a3 ，所以 f (x ) + f (2a - x ) = 2 (m + 9a - 2a3 )，即 f (x ) 的图象恒关于点(a, m + 9a - 2a3 ) 对称，故有 → 故f = x3 - 6x2 + 9x +1 .
对于 A，由 f (x ) = x3 - 6x2 + 9x +1，可得 f , (x ) = 3x2 -12x + 9 ，令 f , (x ) = 0 ，即 3x2 -12x + 9 = 0 ,化简得 x2 - 4x + 3 = 0 ，即 (x -1)(x - 3) = 0 ，解得 x = 1 或x = 3 ，当 x < 1时， f , (x ) > 0 , f (x )单调 递增；当1< x < 3 时，f , (x ) < 0 ，f (x )单调递减；当x > 3 时，f , (x ) > 0 ，f (x )单调递增.所以x = 1 是极大值点，x = 3 是极小值点，且有f (3) = 1 ，故选项 A 正确.
对于 B，当 x ∈(1, 2) 时，-x ∈ (-2, -1) ，3 - x ∈(1, 2)，即 x ，3 - x 在同一个区间(1, 2) 内.又f (x )在 (1, 2) 上单调递减，所以当x < 3 - x ，即 时，f (x ) > f (3 - x ) ；当 x = 3 - x ，即 x = 时，
；当x > 3 - x ，即 故选项 B 错误.
对于 C，令 t = x -1，当 x ∈(3, 4) 时，t ∈(2, 3) ，由 A 知当t ∈(2, 3) 时，f (t ) 单调递减，又 f (2) = 8 - 24 +18 +1 = 3 ，f (3) = 1，所以当 t ∈(2, 3) 时，1 < f (t ) < 3 ，即当 x ∈(3, 4) 时，
1 < f (x -1) < 3 ，故选项 C 错误.
对于 D，由 A 可知，当x ≥ 1时， f (x ) ≥ f (3) = 1 > 0 ，f (1) > 0 ，f (-1) = -15 ，f (1)f (-1) < 0 ， 即f (x )只有一个零点，其在（-1 ，1）上，故选项 D 正确.
故选 AD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.54 【解析】 的展开式中第二项和第四项的二项式系数分别为C 和C ，所以 C = C ，根 据组合数的性质可得n = 1+ 3 = 4 .对于 ，易得展开式的通项为 Tk+1 = C34-k x2k-4 ，
k = 0, 1, 2, 3, 4 ，令 2k - 4 = 0 ，得 k = 2 ，所以常数项为 T3 = C34-2 = 6 × 9 = 54 .故答案为 54.
13.0.5 【解析】记甲、乙、丙分别为第 1 ，2 ，3 个实验室， Ai 为事件“化学试剂为第i(i = 1, 2, 3) 个实验 室制备 ”，则 P(A1 ) = 0.5 ，P (A2 ) = 0.1 ，P (A3 ) = 0.4 ，
记B 为事件“任取一个试剂，其纯度不合格 ”，故由全概率公式得 P(B ) = P (A1 )P (B A1 ) + P (A2 )P (B A2 ) + P(A3 )P (B A3 ) = 0.5 × 0.05 + 0.1 × 0. 15 + 0.4 × 0.1 = 0.08 ，
由贝叶斯公式得 故答案为 0.5.
14. (1, 2) 【解析】函数 f (x ) = lnx 与g(x) = ax -1(a > 0) 的图象有且仅有一个交点， 即y = lnx - ax +1只有一个零点，即关于x 的方程a = 2 . 只有一个解，
当0 < x < 1时， h, (x ) > 0 ，所以 h(x ) 在(0, 1) 上单调递增；
当x > 1 时，h, (x ) < 0 ，所以 h(x )在(1, +∞) 上单调递减，并且h(x ) > 0 ，
函数h(x ) 的大致图象如图.
因为a > 0 ，所以 a = 2 ，故不等式 ax-2 < 1- ln (x -1) 即为ln (x -1) + 2x-2 < 1
设g(x ) = ln (x -1) + 2x-2 ，易知 g(x )在(1, +∞) 上单调递增，且g(2) = 1 ，故不等式 ln (x -1) + 2x-2 < 1 的解集为(1, 2) .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（1）由已知得
所以y 与x 的线性相关性很强.
（2）因为 x = 3 ，y = 6 ，
所以 = y - x = 6 - 3.3 × 3 = -3.9 ，
所以y 关于x 的线性回归方程为y = 3.3x - 3.9 ，
当x = 5 时， = 3.3 × 5 - 3.9 = 12.6 ，
所以 5 月份该生物繁殖量的残差为15 -12.6 = 2.4 .
16.（1）因为从这 45 名模拟航天员中的女航天员中随机抽取 1 人，抽到分配任务 A 的女航天员的概率为
,则女航天员共有 （人），男航天员有 27 人， 所以补充列联表如下：
（2）零假设为 H0 ：任务分配与性别无关，
计算得 ，根据小概率值 α = 0.01 的独立性检验， 我们推断H0 不成立，即认为任务分配与性别有关，此推断犯错误的概率不大于 0.01.
（3）根据题意，X 的所有可能取值为 0 ，1 ，2，
性别
任务
合计
任务 A
任务B
男
23
4
27
女
6
12
18
合计
29
16
45
故X 的分布列为：
所以E(X ) = 0 × +1× + 2× = .
17.（1）令 x = 0 ，有 a0 + a1 + a2 + a3 + … + a14 + a15 = -1， 令x = -2 ，有 (-9)15 = a0 - a1 + a2 - a3 + … + a14 - a15 ，
22
51
8
17
5
51
= -915 = -1
〔a - a + a - a + … + a - a
即{ 0 1 2 3 14 15
la0 + a1 + a2 + a3 + … + a14 + a15
,
X 0 1 2
P
两式相加除以
（2）当 x = 1 时，(4x -1)15 = 315 = (4 -1)15 = C5 415 + C5 414 (-1)1 +…+ C4 (-1)14 + C (-1)15
= 4 (C5 414 - C5 413 +…+ C )-1 ，
所以(4x -1)15 被 4 除后的余数为 3.
（3）因为 (4x -1)15 = a0 + a1 (x +1) + a2 (x +1)2 + a3 (x +1)3 +…+ a14 (x +1)14 + a15 (x +1)15 ，等式两边 同时对x 求导可得
15(4x -1)14 × 4 = a1 + 2a2 (x +1) + 3a3 (x +1)2 +…+15a15 (x +1)14 ， 令x = 0 ，可得 a1 + 2a2 + 3a3 +…+15a15 = 60× (-1)14 = 60 .
18.（1）当 a = 1 时，函数f (x ) = x - lnx 的定义域为(0, +∞)，求导得 当0 < x < 1时， f , (x ) < 0 ，当 x > 1 时，f , (x ) > 0 ，
则函数f (x )在(0, 1) 上单调递减，在(1, +∞) 上单调递增，
所以函数f (x ) 的单调递减区间是(0, 1) ，单调递增区间是 (1, +∞) .
（2）函数 f (x ) = ax - lnx (a ∈ R) 的定义域为(0, +∞)， 则f (x )≥ -2 恒成立，即为ax - lnx ≥ -2 恒成立，
由此可得
设函数 由g, (x ) > 0 可得0 < x < e3 ，由 g, (x ) < 0 可得x > e3 ，
所以函数g(x ) 的单调递增区间为(0, e3 )，单调递减区间为 (e3 , +∞)，
所以 故 所以实数a 的取值范围是 , +∞), .
（3）证明：由（1）可知当 a = 1 时，f (x ) = x - lnx ≥ f (1) = 1 ， 即lnx ≤ x -1 ，当且仅当 x =1 时取等号，
所以
19.（1）选择方案一，则每一次摸到红球的概率为 ，
设“最终获得 60 元奖金 ”为事件 A ，则
（2）若按方案一抽奖，则每一次摸到红球的概率为 ，每一次摸到白球的概率为 . 设最终获得奖金为X元，则X 的所有可能的取值为 30 ，60 ，90 ，120，
若按方案二抽奖，设三次摸球的过程中，摸到红球的次数为 Y ，最终获得奖金为 Z 元， 则 ，故 E(Y) = 3 × = ，
所以
（3）因为 E(X ) < E(Z )，所以应选择第二种抽奖方案.