江苏泰州2024~2025学年高一下册6月期末考试数学试题[含解析]

这是一份江苏泰州2024~2025学年高一下册6月期末考试数学试题[含解析]，共19页。试卷主要包含了 在正方体中，与所成的角为， 记的内角的对边分别为， 在中，，则， 设甲， 复数与复平面内的点对应，则， 在中，，则的面积为， 已知，方程的两个根为，则， 已知事件满足，则等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在正方体中，与所成的角为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据异面直线的定义，转化为相交直线所成的角，即可求解.
【详解】因为，所以异面直线与所成的角就是与所成的角，即或其补角，
是等边三角形，，
所以异面直线与所成的角为.
故选：B
2. 记的内角的对边分别为.已知，若角有两解，则的值可以是（ ）
A. 2B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由正弦定理先计算出，而角有两解，则需要满足且是最大边进而求出的范围.
【详解】角有两解，即角有两解，由正弦定理可知：，
角要有两解，则需满足且，解得：.
故选：C
3. 在中，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量共线的坐标表示的充要条件求解，再取补集即可
【详解】，得，
因为是的两条边，所以不共线，
所以
故选：D
4. 设甲：直线与平面内两条直线垂直，乙：直线平面，则甲是乙的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据线面垂直的判断定理和性质定理，结合充分，必要条件的定义，即可判断选项.
【详解】甲：没有说明平面内的两条直线相交，所以甲推不出乙，
反过来，若乙成立，则与平面内的任意直线垂直，则乙能推出甲，
所以甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
5. 复数与复平面内的点对应，则（ ）
A. B. C. 2D. 25
【答案】A
【解析】
【分析】由坐标写出对应复数，再求出其共轭复数，代入计算即可.
【详解】由题意复数与复平面内的点对应，
所以，
所以，所以.
故选：.
6. 已知互不相等的一组数的平均数为，方差为，的方差为，则（ ）
A. B.
C. D. 与大小关系不确定
【答案】C
【解析】
【分析】首先计算第二组数据的平均数，再代入方差的定义，即可判断.
【详解】由题意可知，，所以，
则，所以数据的平均数是，
，
，
与的分子相同，比较分母，可知，，
故选：C
7. 已知圆锥底面半径为3，体积为，若圆锥底面圆周和顶点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，求得圆锥的高，结合球的截面圆的性质，以及球的表面积公式，即可求解.
【详解】设圆锥的高为，因为圆锥的体积为，可得，解得，
设圆锥的外接球的半径为，可得，即，
解得，所以外接球的表面积为.
故选：A.
8. 在中，，则的面积为（ ）
A. 4B. 8C. 24D. 32
【答案】B
【解析】
【分析】首先利用三角函数恒等变换化简条件等式，再根据最值，确定三角形内角的关系，再根据余弦定理以及三角形面积公式，即可求解.
【详解】由题意可知，，
即，
则，
即，其中，sinφ=35，csφ=45
其中和的最大值为1，只有当，时，等号成立，
，，
设，由，
则，所以的面积为.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过函数的最值，确定角的关系，从而确定三角形.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分.
9. 已知，方程的两个根为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】先根据求根公式求出方程的两个根，再根据选项依次计算即可.
【详解】由求根公式可知，方程的两个根分别为、，
两根互为共轭复数，即互为共轭复数，故正确；
两根的模长相等且均为，故正确；
，，
即，故正确；
，
，
所以或，而，
所以，故错误.
故选：ABC.
10. 已知事件满足，则（ ）
A. 若互斥，则
B. 若互斥，则
C. 若独立，则
D. 若独立，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用互斥事件的定义判断AB，利用相互独立事件的定义判断CD.
【详解】对于A，若互斥，则，故A错误；
对于B，若互斥，则，则，故B正确；
对于C，若独立，则，故C正确；
对于D，若独立，则
，故D正确.
故选：BCD.
11. 如图，在三棱柱中，为四边形对角线的交点.若为棱的中点，平面，则（ ）

A.
B.
C. 三棱锥的体积小于三棱锥的体积
D. 三棱柱的体积的最大值为2
【答案】AD
【解析】
【分析】A选项，根据等腰三角形的性质得到，然后利用线面垂直的性质和判定定理得到；B选项，先假设成立，然后根据和得到平面，然后结合A选项的结论即可得到平面不成立，即可说明不成立；C选项，将三棱锥的体积转化为三棱锥的体积，然后结合为中点，即可得到体积相等；D选项，将三棱柱的体积转化为3倍的三棱锥的体积，然后设，计算体积，利用基本不等式求最大值即可.
【详解】
连接，，，，
因为，为中点，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，故A正确；
若，则，
因为平面，平面，所以，
因为平面，，所以平面，
由A选项可知，不可能垂直平面，故B错；
由题意得，所以，
因为为四边形的交点，所以为的中点，
又为中点，所以点到底面的距离相等，
所以，故C错；
由题意得，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，所以平面，
设，则，
，当且仅当时等号成立，故D正确.
故选：AD.
【点睛】关键点睛：本题CD选项解题关键在于进行体积的转化，将三棱锥的体积转化为三棱锥的体积，三棱柱的体积转化为3倍的三棱锥的体积，然后去计算即可.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 抛掷两颗质地均匀的骰子，记“第一颗骰子结果向上的点数为偶数”为事件A，记“第二颗骰子结果向上的点数为5或6"为事件，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，根据相互独立事件的概率乘法公式，即可求解.
【详解】由题意，可得，且，
根据相互独立事件的概率乘法公式，可得.
故答案为：.
13. 已知向量.若，则向量在向量上的投影向量的坐标为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据向量垂直的坐标表示条件求出m的值，进而求出，向量在向量上的投影向量为计算可得.
【详解】由，又，
所以，得，
，
则向量在向量上的投影向量的坐标为，
故答案为：
14. 如图，设草地与山坡所成二面角的平面角为，且.山脚线上有一个标志物，猎人在点的正东方向100米的点处，一只兔子在点的正北方向100米的点处.若兔子沿垂直于的方向往山坡上以10米/秒的速度奔跑，15秒后到达点，同时被猎人击中，则点与点之间的距离为__________米：猎人行走至点的最短路程是__________米.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】先根据二面角结合余弦定理求出两点间距离，再根据展开图结合三角形求边长即可.
【详解】过作的平行线，且，
因为，所以为的平面角，，
由，
在中，由余弦定理可得：
所以，，
因为，所以四边形是平行四边形，所以，
又因为平面平面，所以平面,
所以平面平面,所以，
在中，,所以，
把二面角展开成一个平面，,
在中，
所以.
故答案为：；.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知，，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用同角的三角函数关系式求出的值，再利用正弦余弦的二倍角公式，结合同角三角函数关系中的商关系进行求解即可；
（2）利用两角差的正切公式进行求解即可.
【小问1详解】
因，，
所以，
因此，
；
【小问2详解】
16. 某医院在一次体检中抽取了100名患者的心跳数据（均为整数），分成，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求心跳为89.5次的百分位数，并估算这批患者心跳次数的平均数；
（2）为进一步了解患者的心跳次数的情况，从高于89.5次的患者中分层抽样6人，再从6人中任取2人，求抽中的2人心跳次数都高于99.5的概率.
【答案】（1）70，84
（2）
【解析】
【分析】（1）根据百分位数和平均数的求法即可求解；
（2）利用列举法，结合古典概型的概率计算公式即可求解.
【小问1详解】
的百分位数为，
设心跳次数为，
则，
所以这批志愿者的心跳数的平均数为；
【小问2详解】
由从高于次的检测者中分层抽样6人得
抽4人，记为，，，，
抽2人，记为，，
记“抽中的2人心跳数高于”为事件，
从6人中任取2人有，，，，，，，，，，
，，，，，共15种，2人心跳数高于有，1种，
则，即抽中的2人心跳数高于的概率为.
17. 在中，角的对边分别是，从下面的三个条件中选取适当的一个并解答如下问题.
①；②；③.
（1）求；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）条件选择见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）若选①，由余弦定理化简可得，再根据正弦定理化简计算即可；若选②，由正弦定理化简即可；若选③，由正弦定理化简即可；
（2）由余弦定理可得，根据正弦定理及两角差的余弦公式化简，再根据求解即可.
【小问1详解】
若选①，根据余弦定理得，
由正弦定理可得，即.
因为，所以.
又，所以，又，所以.
若选②，因为，所以由正弦定理，
可得，
即，整理得，
因，所以，可得，即，
因为，所以.
若选③，因为
所以由正弦定理可得：，
因为，所以；
可得.
又，故.
【小问2详解】
由（1）得，因，由正弦定理，，
则，
，
因为且，
所以，所以，所以的取值范围为.
18. 如图，在四棱柱中，四边形为直角梯形，，.过点作平面，垂足为是的中点.
（1）在四边形内，过点作，垂足为.
（i）求证：平面平面；
（ii）判断是否共面，并证明.
（2）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，给出证明：若不存在，请说明理由.
【答案】（1）（i）证明见解析；（ii）不共面，证明见解析
（2）存在，证明见解析
【解析】
【分析】（1）（i）由线面垂直的性质可得，然后由面面垂直的判定可证，（ii）利用反证法，假设结论的反面成立，利用面面平行的性质推出矛盾，进而得到结论正确
（2）利用面面平行的判定可得平面平面，然后利用线面平行的定义得证
【小问1详解】
（i）由平面，平面，则，
又，，平面，则平面，
因为平面，所以平面平面；
（ii）不共面，
假设共面于，
由四棱柱，得平面平面，
又，所以，
又，所以，又，即，
又，且，，
从而四边形为矩形，与矛盾!
所以不共面；
【小问2详解】
取的中点，连接并延长交于，
因为，，所以为的中点，，
因为平面，平面，所以平面，
由是的中点，平面，平面 ，
所以平面，
因为，平面，所以平面平面，
因为平面，所以平面.
19. 在中，，过点A分别作的垂线，点关于的对称点为，点关于的对称点为.
（1）若是所在平面内的任意一点，求的最小值；
（2）（i）若是的重心，求的值；
（ii）若为实数，为正整数，求值.
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）或
【解析】
【分析】（1）利用平面几何知识得，然后根据向量的加法法则求得，再转化为可得
（2）（i）首先建立直角坐标系，利用参方程和重心公式可得，（ii）利用已知条件求出，然后利用正弦定理和三角函数知识分别求出即可
【小问1详解】
如图，
由题意得，又∠BAC=5π6，
所以，
所以在中，，
，
所以，
；
取的中点为，的中点，则，
则，
即当为中点时，取最小值；
【小问2详解】
以A为坐标原点，为轴正方向，建立直角坐标系，
设，，则，，
由题意得，
，
（i）因为是的重心，所以，
即，所以csθ=−33，；
（ii）由得：
，即
所以，
因此，由得，
当时，，此时，，
，
由，得；
当时，，此时，，
，
由，得.
所以或.