广东广州实、执信、广雅、二中、六中五校联考2024~2025学年高一下册期末数学试题[含解析]

这是一份广东广州实、执信、广雅、二中、六中五校联考2024~2025学年高一下册期末数学试题[含解析]，共18页。试卷主要包含了单项选择题.，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合A＝{x|x2+x﹣2＜0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣2，﹣1，0}B．{﹣1，0，1}C．{﹣1，0}D．{0，1}
2．已知复数z满足（z﹣1）i＝1+i，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ）
A．B．C．D．且
4．在△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝120°，若把△ABC绕直线AB旋转一周，则所形成的几何体的体积是（ ）
A．11πB．12πC．13πD．14π
5．已知函数y＝xa，y＝bx，y＝lgcx的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．a＜c＜bD．b＜c＜a
6．甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60kg，方差为200，乙队体重的平均数为70kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1：4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是（ ）
A．65，280B．68，280C．65，296D．68，296
7．函数f（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），且f（x+1）为奇函数，当x＞1时，f（x）＝x2﹣6x+8，则函数f（x）的所有零点之和是（ ）
A．2B．4C．6D．8
8．将函数f（x）＝sinωx（ω＞0）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间上是单调增函数，则实数ω的最大值为（ ）
A．B．1C．D．2
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。
9．若a＞b＞0，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．ac2＞bc2D．
10．口袋里装有1红、2白、3黄共6个形状相同的小球，从中任取2球，事件A＝“取出的两球同色”，B＝“取出的2球中至少有一个黄球”，C＝“取出的2球中至少有一个白球”，D＝“取出的两球不同色”，E＝“取出的2球中至多有一个白球”，下列判断中正确的是（ ）
A．事件A与D为对立事件B．事件B与C是互斥事件
C．事件C与E为对立事件D．事件P（C∪E）＝1
11．△ABC中，A＝，AB＝AC＝2，则下列结论中正确的是（ ）
A．若G为△ABC的重心，则
B．若P为BC边上的一个动点，则为定值4
C．若M、N为BC边上的两个动点，且的最小值为
D．已知Q是△ABC内部（含边界）一点，若AQ＝1，且，则λ+μ的最大值是1
12．已知三棱锥P﹣ABC的每个顶点都在球O的球面上，AB＝BC＝2，PA＝PC＝，AB⊥BC，过B作平面ABC的垂线BQ，且BQ＝AB，PQ＝3，P与Q都在平面ABC的同侧，则（ ）
A．三棱锥P﹣ABC的体积为
B．PA⊥AB
C．PC∥BQ
D．球O的表面积为9π
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知θ∈（0，π），sinθ+csθ＝﹣，则tanθ＝ ．
14．某办公室团建抽奖，已知5张奖券中只有2张是一等奖，甲先抽1张（不放回），乙再抽1张，则甲中一等奖乙中一等奖的概率为 ．
15．已知函数f（x）＝|x+1|﹣|x﹣3|，若对∀x∈R，不等式f（x）≤m恒成立，则实数m的取值范围是 ．
16．已知正数a，b满足，则a+b的最小值是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知，
（1）求A的值；
（2）若b＝3，求△ABC外接圆的面积．
18．为响应十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，某市旅游局投入若干经费对全市各旅游景区的环境进行综合治理，并且对各旅游景区收益的增加值做了初步的估计，根据旅游局的治理规划方案，针对各旅游景区在治理后收益的增加值绘制出如下频率分布直方图，由于版式设置不当导致打印时图中横轴的数据丢失，但可以确实横轴是从0开始计数的．
（1）利用频率分布直方图估算收益增加值的第90百分位数；
（2）利用频率分布直方图估算全市旅游景区收益增加值的平均数和方差s2（以各组的区间中点值代表该组的取值）．
19．在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12个，乙同学猜对了8个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：
（1）任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率；
（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率．
20．已知点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是函数图象上的任意两点，且角φ的终边经过点，当|f（x1）﹣f（x2）|＝4时，|x1﹣x2|的最小值为．
（1）求函数f（x）的单调减区间；
（2）求函数f（x）在内的值域；
（3）若方程3[f（x）]2﹣f（x）+m＝0在内有两个不相等的实数解，求实数m的取值范围．
21．如图，矩形ABCD所在的平面与半圆弧所在的平面垂直，AB＝2，AD＝，M是上异于C，D的动点．
（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；
（2）设BM和平面ABCD所成角为θ，求sinθ的最大值．
22．已知f（x）＝x2+x+a2+a，g（x）＝x2﹣x+a2﹣a，且函数f（x）和g（x）的定义域均为R，用M（x）表示f（x），g（x）的较大者，记为M（x）＝max{f（x），g（x）}，
（1）若a＝1，试写出M（x）的解析式，并求M（x）的最小值；
（2）若函数M（x）的最小值为3，试求实数a的值．
参考答案
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.
1．已知集合A＝{x|x2+x﹣2＜0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣2，﹣1，0}B．{﹣1，0，1}C．{﹣1，0}D．{0，1}
解：∵A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，
∴A∩B＝{﹣1，0}．
故选：C．
2．已知复数z满足（z﹣1）i＝1+i，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
解：由（z﹣1）i＝1+i，得z﹣1＝，
∴z＝2﹣i，
∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（2，﹣1），位于第四象限．
故选：D．
3．设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ）
A．B．C．D．且
解：⇔⇔与共线且同向⇔且λ＞0，
故选：C．
4．在△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝120°，若把△ABC绕直线AB旋转一周，则所形成的几何体的体积是（ ）
A．11πB．12πC．13πD．14π
解：△ABC绕直线AB旋转一周，所形成的几何体是：
两个底面半径均为以C到AB的距离CO为半径，高之差为AB的圆锥的组合体，
∵BC＝4，∠ABC＝120°，
∴CO＝2，
∴几何体的体积V＝＝12π，
故选：B．
5．已知函数y＝xa，y＝bx，y＝lgcx的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．a＜c＜bD．b＜c＜a
解：根据幂函数的性质可知：a＞0，又∵幂函数y＝xa，当x＝2时，y＜2，即2a＜2，∴0＜a＜1，
根据指数函数的性质可知：b＞1，又∵指数函数y＝bx，当x＝1时，y＜2，即b＜2，∴1＜b＜2，
根据对数函数的性质可知：c＞1，又∵对数函数y＝lgcx，当x＝2时，y＜1，即lgc2＜1，∴c＞2，
故：a＜b＜c，
故选：A．
6．甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60kg，方差为200，乙队体重的平均数为70kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1：4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是（ ）
A．65，280B．68，280C．65，296D．68，296
解：由题意可知甲队的平均数为60，乙队体重的平均数为70，
甲队队员在所有队员中所占权重为，
乙队队员在所有队员中所占权重为，
则甲、乙两队全部队员的平均体重为，
甲、乙两队全部队员体重的方差为＝296．
故选：D．
7．函数f（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），且f（x+1）为奇函数，当x＞1时，f（x）＝x2﹣6x+8，则函数f（x）的所有零点之和是（ ）
A．2B．4C．6D．8
解：根据题意，f（x+1）为奇函数，函数f（x+1）的图象关于（0，0）对称，
则函数f（x）的图象关于（1，0）对称，
当x＞1时，f（x）＝x2﹣6x+8，此时若f（x）＝x2﹣6x+8＝0，解可得x1＝2，x2＝4，
又由函数f（x）的图象关于（1，0）对称，
则当x＜1时，f（x）＝0有两解，为x3＝0，x4＝﹣2，
则函数f（x）的所有零点之和为2+4+0+（﹣2）＝4；
故选：B．
8．将函数f（x）＝sinωx（ω＞0）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间上是单调增函数，则实数ω的最大值为（ ）
A．B．1C．D．2
解：函数f（x）＝sinωx（ω＞0）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）＝sin[ω（x﹣）]的图象，
由于x，
所以，
由于函数g（x）在区间上是单调增函数，
所以，
故，且，
解得ω
故选：C．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。
9．若a＞b＞0，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．ac2＞bc2D．
解：由a＞b＞0，可得，故A正确；
由a＞b＞0，可得a2＞b2，所以＜，故B错误；
若c＝0，则ac2＝bc2，故C错误；
由a＞b＞0，可得＜，所以﹣＞﹣，所以a﹣＞b﹣，故D正确．
故选：AD．
10．口袋里装有1红、2白、3黄共6个形状相同的小球，从中任取2球，事件A＝“取出的两球同色”，B＝“取出的2球中至少有一个黄球”，C＝“取出的2球中至少有一个白球”，D＝“取出的两球不同色”，E＝“取出的2球中至多有一个白球”，下列判断中正确的是（ ）
A．事件A与D为对立事件B．事件B与C是互斥事件
C．事件C与E为对立事件D．事件P（C∪E）＝1
解：∵事件A＝“取出的两球同色”，D＝“取出的两球不同色”，∴件A与D为对立事件，故A对，
事件BC＝“取出的2球为一个黄球，一个白球”，故事件B与C不是互斥事件，故B错，
事件CE＝“取出的2球有且只有一个白球”，故事件C与E不是对立事件，故C错，
事件C∪E为必然事件，故P（C∪E）＝1，故D对，
故选：AD．
11．△ABC中，A＝，AB＝AC＝2，则下列结论中正确的是（ ）
A．若G为△ABC的重心，则
B．若P为BC边上的一个动点，则为定值4
C．若M、N为BC边上的两个动点，且的最小值为
D．已知Q是△ABC内部（含边界）一点，若AQ＝1，且，则λ+μ的最大值是1
解：如图，以A为坐标原点，分别以AB，AC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系．
则A（0，0），B（2，0），C（0，2）．
＝（2，0），＝（0，2）．
对于A，由重心坐标公式，可得G（，），
则＝（，），+＝（，），
∴≠+，故A错误；
对于B，设＝t（0≤t≤1），
则＝+＝+t＝+t（﹣）＝t+（1﹣t），
则＝[t+（1﹣t）]•（+）＝t•+t||²+（1﹣t）||²+（1﹣t）•＝4t+4（1﹣t）＝4，
故B正确；
对于C，不妨设M靠近B，|BM|＝x，则0≤x≤，
得M（2﹣x，x），
N（2﹣（x+），（x+））＝（1﹣x，1+x）．
则•＝（2﹣x，x）（1﹣x，1+x）
＝（2﹣x）（1﹣x）+x（1+x）＝x²﹣x+2．
当x＝时，•取得最小值为，故C正确；
对于D，由，且Q为△ABC内一点，BQ＝1，
得，即，
则λ+μ的最大值大于1，故D错误．
故选：BC．
12．已知三棱锥P﹣ABC的每个顶点都在球O的球面上，AB＝BC＝2，PA＝PC＝，AB⊥BC，过B作平面ABC的垂线BQ，且BQ＝AB，PQ＝3，P与Q都在平面ABC的同侧，则（ ）
A．三棱锥P﹣ABC的体积为
B．PA⊥AB
C．PC∥BQ
D．球O的表面积为9π
解：如图，
长方体的高为1，底面是边长为2的正方形，满足AB＝BC＝2，PA＝PC＝，AB⊥BC，
三棱锥P﹣ABC的体积为，故A正确；
PB＝＝，
满足PA2+AB2＝PB2，可得PA⊥AB，故B正确；
BQ⊥平面ABC，PD⊥平面ABC，则BQ∥PD，
假设PC∥BQ，则PC∥PD，与PD与PC相交于P矛盾，故C错误；
三棱锥P﹣ABC的外接球即长方体DG的外接球，设其半径为R，
则2R＝，即R＝，可得球O的表面积为，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知θ∈（0，π），sinθ+csθ＝﹣，则tanθ＝ ﹣ ．
解：∵sinθ+csθ＝﹣，…（1），
∴两边平方得1+2sinθcsθ＝，
∴sinθcsθ＝﹣＜0，
又0＜θ＜π，
可知：sinθ＞0，csθ＜0，
∴sinθ﹣csθ＞0，
∵（sinθ﹣csθ）2＝1﹣2sinθcsθ＝1+＝，
∴sinθ﹣csθ＝，…（2）
由（1），（2）可得sinθ＝，csθ＝﹣，
∴tanθ＝﹣．
故答案为：﹣．
14．某办公室团建抽奖，已知5张奖券中只有2张是一等奖，甲先抽1张（不放回），乙再抽1张，则甲中一等奖乙中一等奖的概率为 ．
解：由题意，甲中一等奖乙中一等奖的概率＝．
故答案为：．
15．已知函数f（x）＝|x+1|﹣|x﹣3|，若对∀x∈R，不等式f（x）≤m恒成立，则实数m的取值范围是 [4，+∞]． ．
解：（1）函数f（x）＝|x+1|﹣|x﹣3|＝，
作出f（x）的图象如图所示，
由图象可得函数f（x）的最大值为4，
若对∀x∈R，不等式f（x）≤m恒成立，
则m≥4，
即实数m的取值范围是[4，+∞]．
故答案为：[4，+∞]．
16．已知正数a，b满足，则a+b的最小值是 9 ．
解：a＞0，b＞0，则a+b＞0，
设a+b＝x，则，
由基本不等式的结论可得，，
即x（x﹣8）≥，即x2﹣8x﹣9≥0，
所以x≤﹣1（舍）或x≥9，
即a+b≥9，当且仅当b＝2a时取等号，
所以a+b的最小值为9．
故答案为：9．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知，
（1）求A的值；
（2）若b＝3，求△ABC外接圆的面积．
解：（1）因为，
所以由正弦定理可得，即tanA＝，
因为A∈（0，π），
所以A＝．
（2）因为b＝3，c＝＝2，A＝，
所以由余弦定理可得a＝＝＝，
所以△ABC外接圆的半径R＝＝＝，可得△ABC外接圆的面积S＝πR2＝．
18．为响应十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，某市旅游局投入若干经费对全市各旅游景区的环境进行综合治理，并且对各旅游景区收益的增加值做了初步的估计，根据旅游局的治理规划方案，针对各旅游景区在治理后收益的增加值绘制出如下频率分布直方图，由于版式设置不当导致打印时图中横轴的数据丢失，但可以确实横轴是从0开始计数的．
（1）利用频率分布直方图估算收益增加值的第90百分位数；
（2）利用频率分布直方图估算全市旅游景区收益增加值的平均数和方差s2（以各组的区间中点值代表该组的取值）．
解：（1）设组距为a，
则有（0.08+0.10+0.14+0.12+0.04+0.02）×a＝1，解得a＝2，
所以横轴的数据依次为0，2，4，6，8，10，12，
因为10～12所占频率为2×0.02＝0.04，
8～10所占频率为2×0.04＝0.08，
故8～12所占频率为0.12＞0.10，
故第90百分位数在[8，10]之间，即为10﹣；
（2）由频率分布直方图可得，＝（1×0.08+3×0.10+5×0.14+7×0.12+9×0.04+11×0.02）×2＝5；
s2＝[（1﹣5）2×0.08+（3﹣5）2×0.10+（5﹣5）2×0.14+（7﹣5）2×0.12+（9﹣5）2×0.04+（11﹣5）2×0.02]×2＝7.04．
19．在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12个，乙同学猜对了8个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：
（1）任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率；
（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率．
解：（1）设事件A表示“甲猜对”，事件B表示“乙猜对”，
则P（A）＝＝，P（B）＝＝，
∴任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为：
P（A+）＝P（A）P（）+P（）P（B）＝+（1﹣）×＝．
（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为：
P（）＝P（）P（）＝（1﹣）（1﹣）＝．
20．已知点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是函数图象上的任意两点，且角φ的终边经过点，当|f（x1）﹣f（x2）|＝4时，|x1﹣x2|的最小值为．
（1）求函数f（x）的单调减区间；
（2）求函数f（x）在内的值域；
（3）若方程3[f（x）]2﹣f（x）+m＝0在内有两个不相等的实数解，求实数m的取值范围．
解：（1）由题意，角φ的终边经过点，
则有，又，则，
因为当|f（x1）﹣f（x2）|＝4时，|x1﹣x2|的最小值为，
则，所以ω＝3，
故f（x）＝2sin（3x﹣），
令，
解得，
所以函数f（x）的单调减区间为；
（2）因为，则，
所以，
故f（x）∈（0，2），
所以函数f（x）在内的值域为（0，2）；
（3）由（2）可知，函数f（x）在内的值域为（0，2），
令t＝f（x），则t∈（0，2），
问题转化为方程3t2﹣t+m＝0在（0，2）上仅有一个根或两个相等的根，
即﹣m＝3t2﹣t，t∈（0，2），
则y＝﹣m与y＝3t2﹣t的图象在t∈（0，2）上只有一个交点，
作出函数y＝﹣m与y＝3t2﹣t在t∈（0，2）上图象，
由图象可知，当﹣m＝或0≤﹣m＜10时，两个图象只有一个交点，
解得m＝或﹣10＜m≤0，
故实数m的取值范围为．
21．如图，矩形ABCD所在的平面与半圆弧所在的平面垂直，AB＝2，AD＝，M是上异于C，D的动点．
（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；
（2）设BM和平面ABCD所成角为θ，求sinθ的最大值．
【解答】（1）证明：由题意可知，平面CMD⊥平面ABCD，且平面CMD∩平面ABCD＝CD，
又BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，故BC⊥平面CMD，
又DM⊂平面CMD，所以BC⊥DM，
因为M是上异于C，D的动点，且CD为直径，
所以DM⊥CM，又BC∩CM＝C，BC，CM⊂平面BMC，
所以DM⊥平面BMC，又DM⊂平面AMD，
故平面AMD⊥平面BMC；
（2）解：过点M作MH⊥CD，交CD于点H，连接HB，MC，
由平面DMC⊥平面ABCD，且平面CMD∩平面ABCD＝CD，
所以MH⊥平面ABCD，
则∠MBH为MB与平面ABCD所成角，即∠MBH＝θ，
不妨设HC＝x，（0＜x＜2），
所以DH＝2﹣x，则由射影定理可得，MH2＝x（2﹣x）＝2x﹣x2，
又，
所以，
故，
令，
故＝，
当且仅当x＝时取等号，
所以sinθ的最大值为．
22．已知f（x）＝x2+x+a2+a，g（x）＝x2﹣x+a2﹣a，且函数f（x）和g（x）的定义域均为R，用M（x）表示f（x），g（x）的较大者，记为M（x）＝max{f（x），g（x）}，
（1）若a＝1，试写出M（x）的解析式，并求M（x）的最小值；
（2）若函数M（x）的最小值为3，试求实数a的值．
解：∵f（x）﹣g（x）＝x2+x+a2+a﹣（x2﹣x+a2﹣a）＝2（x+a），
∴当x≥﹣a时，f（x）≥g（x），当x＜﹣a时，f（x）＜g（x），
故M（x）＝max{f（x），g（x）}＝，
（1）当a＝1时，M（x）＝，
当x≥﹣1时，M（x）min＝f（﹣）＝，当x＜﹣1时，M（x）＝g（x）＞g（﹣1）＝2，
故M（x）min＝，
（2）函数f（x）和g（x）的对称轴分别为x＝﹣、x＝，
①当﹣a≤﹣，即a≥时，
M（x）在（﹣∞，﹣）上单调递减，在（﹣，+∞）上单调递增，
故M（x）min＝f（﹣）＝3，即a2+a﹣＝0，解得a＝或a＝﹣（舍去），
②当﹣＜﹣a≤，即﹣≤a＜时，
M（x）在（﹣∞，﹣a）上单调递减，在（﹣a，+∞）上单调递增，
故M（x）min＝f（﹣a）＝3，即2a2＝3，解得a＝±（舍去），
③当﹣a＞，即a＜﹣时，
M（x）在（﹣∞，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，
故M（x）min＝f（）＝3，即a2﹣a﹣＝0，解得a＝﹣或a＝（舍去），
综上所述，a＝±．