【数学】辽宁省锦州市2024-2025学年高二上学期期中质量检测试卷（解析版）

这是一份【数学】辽宁省锦州市2024-2025学年高二上学期期中质量检测试卷（解析版），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的一个方向向量为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由，得，直线斜率为-2，所以直线的一个方向向量为. 故选：B.
2. 已知双曲线：的焦距为4，则（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】由双曲线：的焦距为4，得，所以.故选：D
3. 已知椭圆的焦点在轴上，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】椭圆的焦点在轴上，则，解得，
所以的取值范围为. 故选：C
4. 若直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，则直线，所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】向量与，
得，
而，则，所以直线，所成角的大小. 故选：B
5. 圆：与圆：的公切线的条数为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】B
【解析】圆：的圆心，半径，
圆：的圆心，半径，
则，因此圆与圆外切，
所以圆与圆外切有3条公切线 故选：B
6. 设F为抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上的三个点，若，则（ ）
A. 6B. 4C. 3D.
【答案】C
【解析】由题意得焦点，设点Ax1,y1，Bx2,y2，，
则，所以，
所以. 故选：C.
7. 在四棱锥中，，，，则此四棱锥的高为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设平面的法向量，则，
令，得，所以此四棱锥的高.
故选：B.
8. 已知是圆：上任意一点，若的取值与无关，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】依题意，
，当且仅当或时取等号，
因此，即，
则，
要的取值与无关，当且仅当，
此时，
由，得，所以实数的取值范围是. 故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在抛物线C上，若，则（ ）
A. F的坐标为B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】由抛物线，可得，所以，且焦点在y轴正半轴上，则焦点，所以A错误；
由抛物线的定义,可得，解得，所以B正确；
由，可得，所以，则，所以C正确；
由，所以D正确． 故选：BCD．
10. 已知点是椭圆上关于原点对称且不与的顶点重合的两点，的左､右焦点分别为，点为原点，则（ ）
A. 的离心率为
B. 的值可以为3
C.
D. 若的面积为，则
【答案】ACD
【解析】A选项，椭圆中，，离心率为，A正确；
B选项，设，且，则，
故，
所以，B错误；
C选项，由对称性可得，所以，C正确；
D选项，不妨设在第一象限，Ax0,y0，则，则，
则，则，故，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知点是棱长为的正方体表面上的一个动点，则（ ）
A. 存在点，使得
B. 若是中点，当在棱上运动时，存在点使得
C. 当在线段上运动时，与所成角的取值范围是
D. 若是的中点，当点在底面上运动时，存在点使得平面
【答案】BCD
【解析】A选项：由已知若，则在线段靠近的三等分点处，此时点不在正方体表面，A选项错误；
如图所示建立空间直角坐标系，
B选项：由已知，又点在棱上，则可设，，
则由，得，解得，B选项正确；
C选项：由已知，设，，
则，即，
则，
所以与所成角的余弦值为，
当时，，
当时，设，则，
综上所述，即，C选项正确；
D选项：由已知，设，x∈0,2且，
则，，，
设平面的法向量为n=x,y,z，则，
令，则，
若平面，则，即，
即点在直线上，
又直线与正方形有公共点，所即存在点可使得平面，D选项正确；
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若圆关于直线对称，则_________．
【答案】
【解析】圆的圆心为，
依题意，点在直线上，即，解得，
此时圆，即，符合题意，
所以. 故答案为：
13. 定义行列式运算，设向量，，．已知，，则________．
【答案】
【解析】由可得：
所以， 故答案为：
14. 已知，是双曲线：（，）的左、右顶点，，是双曲线上第二象限内的点，设直线的斜率为，直线的斜率为，且，则双曲线的离心率为_________；当取得最大值时，则点的纵坐标为_________．
【答案】①. ②.
【解析】依题意，，，双曲线：，
设，则，，，
所以双曲线的离心率；
显然，则，
当且仅当时取等号，
由，解得，而，则，
所以点的纵坐标为. 故答案为：2；

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知椭圆，点．
（1）若椭圆的左焦点为，上顶点为，求点到直线的距离；
（2）若点是椭圆的弦的中点，求直线的方程．
解：（1）
如上图，
∵椭圆方程为，点，∴椭圆左焦点是，上顶点，
则直线在轴、轴截距为和，
∴直线的截距式方程为，可化为，
∴点到直线的距离．
（2）如上图，设，则，
两式相减得：，
∴直线的斜率①，
又∵点是椭圆的弦的中点，∴，，
∴代入①式得：，
∴直线的方程为，即．
16. 如图，在四棱锥中，平面，，，且．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
（1）证明：，，即，
又平面，且平面，，
又，平面，，平面；
（2）
解：如图所示，以点为坐标原点，，，方向为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则A2,0,0，，，，
则，，，
设平面的法向量为n=x,y,z，则，
令，则，所以，
则直线与平面所成角的正弦值为.
17. 已知两直线和的交点为．
（1）若直线过点且与直线平行，求直线的一般式方程；
（2）若圆过点且与相切于点，求圆的标准方程．
解：（1）联立方程组，解得，
所以直线和的交点．
因为直线与直线平行，故可设直线．
又直线过点，则，解得，即直线的方程为．
（2）设所求圆的标准方程为，
直线斜率为，故直线CP的斜率为，
由题意可得，解得，
故所求圆的标准方程为．
18. 已知双曲线的渐近线上一点与右焦点的最短距离为．
（1）求双曲线的方程；
（2）为坐标原点，直线与双曲线的右支交于、两点，与渐近线交于、两点，与在轴的上方，与在轴的下方．
（ⅰ）求实数的取值范围．
（ⅱ）设、分别为的面积和的面积，求的最大值．
解：（1）设双曲线的焦距为，且，
因为到直线的距离为，故，
则，故双曲线的方程为：．
（2）如图，
（ⅰ）设Ax1,y1，Bx2,y2，联立直线与双曲线的方程，
消元得，则，
因为直线与双曲线右支交于两点，故，则，故的取值范围为-1,1．
（ⅱ）由（ⅰ）知，，
原点到直线的距离，
设，，联立，则，
，，，
则，
而，
令，则，
当即时取到等号． 综上所述，的最大值为．
19. 定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，记作.已知椭圆的一个焦点坐标为，且椭圆过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求“共轭点对”中点所在直线的方程；
（3）设为坐标原点，点在椭圆上，且，（2）中的直线与椭圆交于两点，且点的纵坐标大于0，设四点在椭圆上逆时针排列.证明：四边形的面积小于.
（1）解：依题意，椭圆的另一焦点为，因此
，
于是，所以椭圆的标准方程为.
（2）解：设“共轭点对”中点B的坐标为，由（1）知，点在椭圆C：上，依题意，直线l的方程为，整理得，
所以直线的方程为.
（3）证明：由（2）知，直线：，由，解得或，则，，
设点，，则，两式相减得，
又，于是，则，有，
线段PQ被直线l平分，设点到直线的距离为d，则四边形的面积，
而，则有，
设过点P且与直线l平行的直线的方程为，则当与C相切时，d取得最大值，
由消去y得，
令，解得，
当时，此时方程为，即，解得，
则此时点P或点Q必有一个和点重合，不符合条件，从而直线与C不可能相切，即d小于平行直线和（或）的距离，
所以.