2026届高考一轮复习基础练数学第七章 立体几何与空间向量（第6节 空间向量的应用）

这是一份2026届高考一轮复习基础练数学第七章 立体几何与空间向量（第6节 空间向量的应用），共17页。
回归教材
空间位置关系的向量表示：1. 直线 l1,l2 的方向向量分别为 n1,n2 ,则 l1//l2⇔n1//n2⇔n1=λn2(λ∈R);l1⊥l2⇔ n1⊥n2⇔n1⋅n2=0.
2.直线 l 的方向向量为 t ,平面 α 的法向量为 m ,则 l//α⇔t⊥m⇔t⋅m=0;l⊥α⇔t//m⇔t=λm(λ∈R)
3.平面 α,β 的法向量分别为 m,n ,则 α//β⇔m//n⇔m=λn(λ∈R);α⊥β⇔m⊥n⇔m⋅n=0.
教材素材变式
1.[苏教选必二P35练习第1题变式]
已知空间向量a=(1,2,−1)，b=(2,4,−2)，c=(0,1,3)，d=(1,0,−1)，则（ ）
A. a与b方向相同
B. 平面α的法向量为c，平面β的法向量为d，则α⊥β
C. 直线l的方向向量为a，平面γ的法向量为d，则l∥γ
D. 直线m的方向向量为c，平面θ的法向量为a，则m⊥θ
2.[多选][人A选必一P32例4变式]
在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E为棱CC1的中点，设A=a，A=b，A=c，则（ ）
A. A=a+b+12c
B. ∣B∣=3∣a∣
C. 直线AE与平面ABC1D1垂直
D. 向量A在B上的投影为32
3.[证明题][人A选必一P33练习第3题变式]
如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD中点。
已知A=(2,0,0)，A=(0,1,0)，A=(0,0,2)。
(1) 证明：PB∥平面AEC；
4.[探究题][苏教选必二P53复习题第13题变式]
在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=2，点M在线段A1C1上，且A1=λA1。
(1) 若AM∥平面BDC1，求实数λ；
(2) 是否存在点M使得AM⊥BD？若存在，求λ；若不存在说明理由。
知识点84 利用空间向量求线线角
回归教材
已知 a,b 为两异面直线, A,C 与 B,D 分别是 a,b 上的任意两点,设 a,b 所成的角为 θ(θ∈(0,π2]) ,则 csθ=|AC⋅BD||AC|∣BD|.
教材素材变式
1.[单选][人A选必一P36例7变式]
在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的中点。设直线AD₁与BE所成角为θ，则csθ的值为（ ）
A. 1010 B. 55 C. 255 D. 31010
2.[单选][苏教选必二P39练习第3题变式]
已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC=2，∠BAC=120°，PA=4。点M在线段PC上移动，设直线AM与BM所成角为α，则sinα的最小值为（ ）
A. 2114 B. 77 C. 32114 D. 277
3.[多选][变式探究]
在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=3，AD=4，AA₁=5。点P在棱BB₁上移动（不含端点），则（ ）
A. 直线AP与BD₁所成角的最小值为45°
B. 当PB=2时，cs(AP与BD₁的夹角)= 13226
C. 存在点P使AP⊥BD₁
D. 当P为BB₁中点时，sin(AP与BD₁的夹角)=53434
4.[解答题][人A选必一P41练习第2题变式]
如图，四棱锥S-ABCD的底面是边长为2的菱形，∠BAD=60°，SA⊥底面ABCD，SA=23。点E是SC的中点。
(1) 求异面直线AE与SD所成角的余弦值；
(2) 在线段AB上是否存在点F，使得EF与SD所成角为30°？说明理由。
知识点85 利用空间向量求线面角
回归教材
如图,设直线 l 的方向向量为 m ,平面 α 的法向量为 n ,直线 l 与平面 α 所成的角为 ϕ(ϕ∈[0,π2]) ,向量 m,n 的夹角为 θ ,则有 ϕ=θ−π2 或 ϕ=π2−θ ,因此 csϕ=sinθ,sinϕ=|csθ|=|cs⟨m,n⟩|=|m⋅n|m||n||.
教材素材变式
1.[单选][人A选必一P43习题1.4第10题变式]
在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1，AD=2。设直线PC与平面PBD所成角为θ，则sinθ的值为（）
A. 66 B. 33 C. 22 D. 255
2.[单选][苏教选必二P51复习题第6题变式]
已知圆柱OO₁的底面半径为2，高为3，点A在底面圆周上，且∠AOO₁=60°。设直线AO₁与圆柱下底面所成角为α，则sinα的值为（）
A. 217 B. 277 C. 31313 D. 155
3.[解答题][人B选必一P68复习题C组第6题变式]
如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=BC=2，PA=4。
(1) 求直线PB与平面PAC所成角的正弦值；
(2) 在线段PC上是否存在点M，使得BM与平面PAC所成角为45°？若存在，求PM:MC；若不存在说明理由。
4.[变式探究题]
在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=3，AD=4，AA₁=5。点P在棱BB₁上移动（含端点），设直线AP与平面A₁BD所成角为θ。
(1) 求sinθ的最大值及此时点P的位置；
(2) 当sinθ=53434时，求PB的长度。
知识点86 利用空间向量求二面角
回归教材
设平面 α,β 的法向量分别是 m,n , 平面 α 与平面 β 所成二面角的大小为 θ , 则：
当法向量 m,n 的方向分别指向二面角的内侧与外侧时, θ 与 ⟨m,n⟩ 相等, 此时 csθ=cs⟨m,n⟩=m⋅n|m||n| .
当法向量 m,n 的方向同时指向二面角的内侧或外侧时, θ 与 ⟨m,n⟩ 互补, 此时 csθ=−cs⟨m,n⟩=−m⋅n|m||n| .
教材素材变式
1.[单选][人B选必一P52例3变式]
在四棱锥 P−ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA⊥ 平面 ABCD，PA=2，AB=1，AD=2。设二面角 P−BD−C 的大小为 θ，则 csθ 的值为（ ）
A. 66 B. 33 C. 22 D. 255
2.[单选][人A选必一P41练习第1题变式]
已知三棱锥 P−ABC 中，PA⊥ 平面 ABC，AB=2，AC=2，∠BAC=120∘，二面角 P−BC−A 的余弦值为 13，则 PA 的长度为（ ）
A. 2 B. 2 C. 22 D. 4
3.[单选][变式探究]
在长方体 ABCD−A1B1C1D1 中，AB=3，AD=4，AA1=5。设二面角 A−BD1−C 的大小为 θ，则 csθ 的值为（ ）
A. −513 B. −1 C. 513 D. 1
4.[解答题][北师选必一P134练习第5题变式]
如图，四棱锥 S−ABCD 的底面是边长为 2 的菱形，∠BAD=60∘，SA⊥ 底面 ABCD，SA=23。
(1) 求二面角 S−BD−A 的余弦值；
(2) 在线段 AB 上是否存在点 F，使得二面角 S−DF−A 的余弦值为 33？说明理由。
5.[解答题][人A选必一P44习题1.4第18题变式]
在长方体 ABCD−A1B1C1D1 中，AB=4，AD=3，AA1=2。点 P 在棱 BB1 上移动（含端点），设二面角 A1−PD−C1 的大小为 θ。
(1) 求 csθ 的最小值及此时点 P 的位置；
(2) 当 csθ=31313 时，求 PB 的长度。
知识点87 利用空间向量求空间距离
回归教材
教材素材变式
1.[解答题][人A选必一P44习题1.4第17题变式]
在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1，AD=2。点E为PD的中点。
求点A到直线BE的距离；
(2) 求点C到平面ABE的距离。
2.[多选题][人A选必一P35练习第1题变式]
已知空间中有直线l的方向向量为a=(1,2,-1)，平面α的法向量为n=(2,-1,3)，点P(1,0,1)在直线l上，点Q(2,1,0)在平面α内，则（）
A. 直线l与平面α平行
B. 点P到平面α的距离为147
C. 点Q到直线l的距离为33
D. 过点P且平行于平面α的平面与直线l的距离为147
3.[解答题][人A选必一P35练习第3题变式]
在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=3，AD=4，AA₁=5。
(1) 求平面AB₁D₁与平面BC₁D的距离；
(2) 证明这两个平面平行。
4.[解答题][沪教必修三P46例1变式]
已知三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=2，AB=AC=2，∠BAC=120°。
(1) 求异面直线PA与BC的距离；
(2) 在线段PC上是否存在点M，使得异面直线AM与PB的距离为3？说明理由。
5.[解答题][人A选必一P44习题1.4第13题变式]
在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长为2。
(1) 求点A₁到平面BDC₁的距离；
(2) 在线段A₁B上是否存在点P，使得点P到平面BDC₁的距离为233？说明理由。
知识点83 利用空间向量研究直线、平面的位置关系
1.答案：A
解析：
对于A，b=2a，故a与b方向相同，A正确。
对于B，c⋅d=0×1+1×0+3×(−1)=−3≠0，故平面α与β不垂直，B错误。
对于C，a⋅d=1×1+2×0+(−1)×(−1)=2≠0，故直线l与平面γ不平行，C错误。
对于D，若直线m的方向向量为c，平面θ的法向量为a，则c与a不共线，故直线m与平面θ不垂直，D错误。
2.答案：AD
解析：
对于A，AE=AB+BC+CE=a+b+12c，A正确。
对于B，|BD1|=|a|2+|b|2+|c|2，无法得出|BD1|=3|a|，B错误。
对于C，设平面ABC1D1的法向量为n，则n⋅AB=0，n⋅AD1=0，设n=(x,y,z)，可求得n与AE不共线，故直线AE与平面ABC1D1不垂直，C错误。
对于D，向量AD1在BD1上的投影为AD1⋅BD1|BD1|=(b+c)⋅(a+b+c)|a|2+|b|2+|c|2=|b|2+|c|2|a|2+|b|2+|c|2，设正方体棱长为1，则投影为1+11+1+1=23=233，D正确。
3.证明：(1)以A为原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,1,0)，D(0,1,0)，
P(0,0,2)，E(0,12,1)。PB=(2,0,−2)，平面AEC的法向量为n=(x,y,z)，AE=(0,12,1)，AC=(2,1,0)，由n⋅AE=0n⋅AC=0得12y+z=02x+y=0，取x=1，得y=−2，z=1，故n=(1,−2,1)。PB⋅n=2×1+0×(−2)+(−2)×1=0，故PB⊥n，又PB̸⊂平面AEC，故PB∥平面AEC。
4.解：(1)以A为原点，AB，AD，AA₁分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(4,0,0)，D(0,3,0)，C1(4,3,2)，A1(0,0,2)，A1C1=(4,3,0)，设M(4λ,3λ,2)，则AM=(4λ,3λ,2)。平面BDC1的法向量为n，BD=(−4,3,0)，BC1=(0,3,2)，由n⋅BD=0n⋅BC1=0得−4x+3y=03y+2z=0，取y=4，得x=3，z=−6，故n=(3,4,−6)。因为AM∥平面BDC1，所以AM⋅n=0，即3×4λ+4×3λ+(−6)×2=0，解得λ=12。
(2)BD=(−4,3,0)，AM=(4λ,3λ,2)，若AM⊥BD，则AM⋅BD=0，即−4×4λ+3×3λ+0×2=0，解得λ=0，故存在点M，此时λ=0。
知识点84 利用空间向量求线线角
1.答案：A
解析：设正方体棱长为2，以D为原点，DA，DC，DD₁分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(2,0,0)，₁D₁(0,0,2)，B(2,2,0)，E(0,2,1)，AD1=(−2,0,2)，BE=(−2,0,1)，csθ=|AD1⋅BE||AD1||BE|=|(−2)×(−2)+0×0+2×1|8×5=622×5=31010，但两直线夹角范围为(0,π2]，故csθ=1010，A正确。
2.答案：C
解析：以A为原点，AB为x轴，过A垂直于AB的直线为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(−1,3,0)，P(0,0,4)，设M(t,−33t,4−43t)（t∈[0,3]），则AM=(t,−33t,4−43t)，BM=(t−2,−33t,4−43t)，csα=|AM⋅BM||AM||BM|，化简后求sinα的最小值为32114，C正确。
3.答案：BD
解析：以A为原点，AB，AD，AA₁分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设P(3,0,p)（0