2026届高考一轮复习基础练数学第五章平面向量及其应用、复数(第2节 平面向量基本定理及坐标表示)

这是一份2026届高考一轮复习基础练数学第五章平面向量及其应用、复数(第2节 平面向量基本定理及坐标表示)，共8页。
知识点 49 平面向量基本定理的应用
回归教材
教材素材变式
1.[人 B 必修二 P162 练习 B 第 3 题变式] 已知 e1,e2 不共线, a=e1+2e2,b=2e1+λe2 ,要使 {a,b} 能作为表示平面内所有向量的一个基底, 则实数 λ 的取值范围是_____.
2.一题多变 [人 A 必修二 P36 习题 6.3 第 1 题变式]
变式 1 变基础图形 [单选][2024年新高考II卷第8题变式][人 A 必修二 P36 习题 6.3 第 1 题变式] 如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥AB, AB=2AD=2CD=2,则AC→⋅BD→=（）
A. -1 B. 2 C. 3 D. 4
变式 2 与中线结合 [多选][2023年全国甲卷第14题变式][人 A 必修二 P36 习题 6.3 第 1 题变式] 如图, AD,BE 分别是△ABC的边BC,AC上的中线,AD与BE交于点G（重心）,设AB→=a, AC→=b,则AG→=（）
A. 13a+23b B. 23a+13b C. 12a+12b D. 13a+13b
变式 3 与面积结合 [单选][2024年北京朝阳区一模第7题变式][人 A 必修二 P36 习题 6.3 第 1 题变式] 如图, △ABC是等边三角形,点P在线段AB上,且AP→=13AB→,点Q为线段AC上一点,若△APQ与△ABC的面积的13,则AQ→=（）
A. 12AC→ B. 23AC→ C. 13AC→ D. 34AC→
变式 4 变基础图形 [单选][2025年新高考I卷第6题变式][人 A 必修二 P36 习题 6.3 第 1 题变式] 如图为正六边形ABCDEF,设AB→=a, AF→=b,若AC→=ma+nb, 则m+n=（）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3.[单选][2024年全国乙卷第13题变式][人 A 必修二 P26 例 1 变式] 在△ABC中,若AB→=a, AC→=b→,且AD→=2a+3b→,则BD→=（）
A. −a+b B. a−b C. a+3b D. a+2b
变式探究
变式 1 变设问 [单选][2025年北京海淀区一模第9题变式]已知Rt △ABC 中, ∠C=90∘ , AC=3,BC=4,P 为线段 AB 上的点,且CP→=xCA→+yCB→,则x+y的最大值为（）
A. 3 B. 2 C. 4 D. 1
变式 2 变条件[多选][2024年上海春季高考第12题变式]已知O为△ABC的外接圆的圆心, OA→+OB→+OC→=0→,若|OA→|=2, 且AB→⋅AC→=4,则|BC→|=（）
A. 23 B. 4 C. 22 D. 2
知识点 50 平面向量的坐标表示
回归教材
平面向量共线的坐标表示：设 a=x1,y1,b=x2,y2,b≠0 ,则 a//b⇔x1y2−x2y1=0 .
二级结论：线段 P1P2 的端点 P1,P2 的坐标分别是 x1,y1,x2,y2 ,点 P 是直线 P1P2 上一点,当 P1P=λPP2 时, 点 P 的坐标为 x1+λx21+λ,y1+λy21+λ .
教材素材变式
1.[单选][2023年浙江卷第7题变式][人 B 必修二 P172 练习 B 第 1 题变式] 已知向量a→=(3,4),则与向量a→反向的单位向量的坐标为（）
A. −35,−45 B. 35,45 C. −45,−35 D. 45,35
2.[单选][2024年天津卷第5题变式][人 A 必修二 P30 练习第 2 题变式]在平面直角坐标系xOy内,已知点A(1,2), B(−1,4),则AB→=（）
A.(2, -3) B.(0, -1) C.(-2,2) D.(0,1)
3.[2025年江苏卷第14题变式][人 A 必修二 P30 例 5 变式] 已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A,B,C 的坐标分别是(0,0), 1,2,3,1 ,则顶点 D 的坐标为_____.
4.[2024年全国甲卷第15题变式][人 A 必修二 P33 探究变式] 已知 A2,3,B(4 , −3) ,点 P 在线段 AB 的延长线上,且 AP= 43PB ,则点 P 的坐标为_____.
5.[单选][2023年北京卷第4题原题][人 A 必修二 P60 复习参考题 6 第 4 题变式]已知向量a→=(1,2), b→=(x,1),若a→⊥b→,则x=（）
A. -2 B. -1 C. 0 D. 1
变式探究
[单选][2024年新高考I卷第9题变式][填空] 如图,在梯形ABCD中,AB∥CD, E,F分别为AD,BC的中点,则EF→=（）
A. 12(AB→+CD→) B. 12(AD→+BC→) C. 3 D. 0
6.[2025年浙江卷第13题变式][人 A 必修二 P29 例 3 变式] 已知向量 a(3,2),b(−2,1),c(−1,4),若 c=λa+μb(λ,μ∈ R) ,则 λ+μ=（）
A. −79 B. 3 C. −32 D. −3
7.一题多变 [人 A 必修二 P31 例 7 变式]
变式 1 变说法[2024年全国乙卷第14题变式]已知向量a→=(1,2), b→=(m,3), 若A,B,C三点共线,则m=_____
A. -2 B. 2 C. -1 D. 1
变式 2 与直线的方向向量结合 [2023年上海卷第8题变式]过 A4,y , B2,−3 两点的直线的一个方向向量 n= (-1, - 1),则 y=（）
A. -2 B. 2 C. -32 D. 32
变式 3 变设问[2025年北京卷第15题变式]已知a→=(x,1), b→=(2,−3),且a→∥b→,则非零向量a→的坐标为_____.
变式 4 变条件[2024年广东卷第10题变式]已知平面向量 a=1,m−1 , b=m,m+3 ,若 a⋅b=ab ,则实数 m 的值为（）
A. 3 或 -1 B. 3
C. 1 或 -3 D.-3
变式 5 与最值结合[2025年江苏卷第16题变式]已知向量 a=1,2,b= x,3,c=4,y ,若 a//b+c ,则 b−c 的最小值为_____.
知识点49 平面向量基本定理的应用
1.答案：λ≠4
解析：若向量a,b能作为基底，则a与b不共线。假设a与b共线，则存在实数k，使得e1+2e2=k(2e1+λe2)，即1=2k2=kλ，解得k=12，λ=4。所以当λ≠4时，a,b不共线，可作为基底。
2.变式1答案：A
解析：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立直角坐标系。则A(0,0)，B(2,0)，D(0,1)，C(1,1)。AC→=(1,1)，BD→=(−2,1)，所以AC→⋅BD→=1×(−2)+1×1=−1。
变式2答案：D
解析：G是△ABC的重心，重心将中线分为2:1的两段。所以AG→=23AD→，而AD→=12(AB→+AC→)=12a+12b，故AG→=23(12a+12b)=13a+13b，所以选D。
变式3答案：B
解析：
△ABC面积SABC=34|AB|2
△APQ面积SAPQ=12|AP→||AQ→|sin60°=312|AB||AQ|
由SAPQ=13SABC得：312|AB||AQ|=312|AB|2
解得|AQ|=23|AC|
故AQ→=23AC→，选B。
变式4答案：B
解析：正六边形中，AC→=AB→+BC→，BC→=AF→，所以AC→=AB→+AF→=a+b，所以m=1，n=1，m+n=2，选B。
3.答案：C
解析：BD→=AD→−AB→=(2a+3b)−a=a+3b，选C。
变式探究
变式1答案：D
解析：P在线段AB上，由平面向量基本定理，当P与A或B重合时，x+y=1，当P在AB中间时，x+y=1，所以最大值为1，选D。
变式2答案：A
解析：由OA→+OB→+OC→=0→，知O是△ABC的重心，又O是外心，所以△ABC是正三角形，所以|OA→|=|OB→|=|OC→|=2，即外接圆半径为2，正三角形边长a=2Rsin60°=2×2×32=23，所以|BC→|=23，选A。
知识点50 平面向量的坐标表示
1.答案：A
解析：与a=(3,4)反向的单位向量为−a|a|=−(3,4)5=(−35,−45)，选A。
2.答案：C
解析：AB→=B−A=(−1,4)−(1,2)=(−2,2)，选C。
3.答案：(2,-1)
解析：平行四边形中，AB→=DC→，AB→=(1,2)，设D(x,y)，则DC→=(3−x,1−y)=(1,2)，所以3−x=11−y=2，解得x=2，y=−1，故D(2,-1)。
4.答案：(10,-15)
解析：设P(x,y)，因为P在线段AB延长线上，且|AP→|=43|PB→|，所以AP→=43PB→，即(x−2,y−3)=43(−x+4,−y−3)，得x−2=43(−x+4)y−3=43(−y−3)，解得x=10，y=−15，故P(10,-15)。
5.答案：A
解析：α⊥b，则1×x+2×1=0，解得x=-2，选A。
变式探究
6.答案：B.
解析：
根据向量等式c→=λa→+μb→，得到：
分量分量
3λ−2μ=−1 (x分量)2λ+μ=4 (y分量)
从第二式解出μ=4−2λ
代入第一式：3λ−2(4−2λ)=−1
化简得：7λ−8=−1⇒λ=1
代回得：μ=4−2×1=2
λ+μ=1+2=3故选B。
7.一题多变
变式1答案：D
解析：若A，B，C三点共线，则向量AB→与AC→共线。a=(1,2)与b=(m,3)共线，则1×3−2×m=0，解得m=32，选D。
变式2答案：C
解析：直线方向向量为n→=(−1,−1)，则斜率k=−1−1=1。过A(4,y)，B(2,−3)的直线斜率为y−(−3)4−2=y+32=1，解得y+3=2，y=−1，选C。
变式3答案：−23,1
解析：a=(x,1)∥b=(2,−3)，则x×(−3)−2×1=0，解得x=−23，故a=−23,1。
变式4答案：B
解析：由a⋅b=|a||b|知，a与b夹角为0°，即共线且同向。
a=(1,m−1)，b=(m,m+3)，共线则1×(m+3)−m×(m−1)=0，即m+3−m2+m=0，m2−2m−3=0，解得m=3或m=−1。
当m=3时，a=(1,2)，b=(3,6)=3a，同向；
当m=−1时，a=(1,−2)，b=(−1,2)=−a，反向，舍去。故m=3，选B。
变式5答案：25
解析：b+c=(x+4,3+y)，a=(1,2)∥(b+c)，则1×(3+y)−2×(x+4)=0，即y=2x+5。
b−c=(x−4,3−y)=(x−4,3−(2x+5))=(x−4,−2x−2)，
则|b−c|=(x−4)2+(−2x−2)2=(x−4)2+(−2x−2)2=x2−8x+16+4x2+8x+4=5x2+20，故|b−c|=5x2+20，因为x2≥0,当x=0时，最小值为20=25，正确。
向量
a
b
a+b
a−b
λa
坐标
x1,y1
x2,y2
x1+x2,y1+y2
x1−x2,y1−y2
λx1,λy1