陕西省多校2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份陕西省多校2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题（Word版附解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列结论中，正确的是（ ）
A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数
B．数列的项数一定是无限的
C．数列的通项公式的形式是唯一的
D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式
2．已知函数在处的导数为1，则（ ）
A．0B．C．1D．2
3．已知等比数列中，，是方程的两根，则（ ）
A．3B．64C．256D．±64
4．等差数列的前项和为，已知，，则的值等于
A．B．C．D．
5．曲线上点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知函数，为的导函数，则的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
7．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？（ ）
A．B．C．D．
8．两等差数列和，前n项和分别为，，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列求导运算正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则（ ）
A．函数在区间上单调递增B．函数在上单调递减
C．函数在处取得极小值D．函数在处取得极大值
11．是等比数列的前项和，若存在，使得，则（ ）
A．B．是数列的公比
C．D．可能为常数列
三、填空题
12．若函数在区间内单调递增，则的取值范围 .
13．在等比数列中，，，则的值为 ．
14．无穷数列满足：，，其前n项和记为．
给出下列四个结论：
①；
②数列单调递增；
③设数列的前n项和为，则存在，使得；
④若，则当时，一定有．
其中，所有正确结论的序号是 ．
四、解答题
15．已知等差数列{an}满足：a1＝2，且．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记Sn为数列的前n项和，求Sn
16．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若恒成立，求a的取值范围.
17．设数列的前n项和为，已知，．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设，求数列的前n项和为．
18．设函数，曲线在点处取得极值.
(1)求的值；
(2)求函数的极值点.
19．设，有以下三个条件：
①是2与的等差中项；②，；③为正项等比数列，，．在这三个条件中任选一个，补充在下列问题的横线上，再作答（如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分）．
若数列的前n项和为，且 ．
(1)求数列的通项公式；
(2)若是以1为首项，1为公差的等差数列，求数列的前n项和．
1．A
利用数列的定义判断A；举例说明判断BC；写出数列通项公式判断D作答.
【详解】对于A，由数列定义知，A正确；
对于B，数列只有5项，该数列项数有限，B错误；
对于C，数列的通项公式可以为，
也可以为，该数列通项公式不唯一，C错误；
对于D，该数列的通项公式可以为，D错误.
故选：A
2．B
根据导数的定义将式子变形可得答案.
【详解】因为函数在处的导数为1，
所以.
故选：B
3．B
先由题意得到，再由等比数列的性质，即可得出结果.
【详解】由题意得，，∴，
又∵，∴，∴.
故选：B．
4．C
由题意可得成等差数列，代入数据可得．
【详解】等差数列的前项和为,由题意可得成等差数列，
故，
代入数据可得，解得
故选C
5．B
根据导数的几何意义得到点处的切线的斜率k = 3，由直线方程的点斜式可得到切线方程.
【详解】∵，∴点处的切线的斜率k = 3，由直线方程的点斜式，得在点处的切线方程为.
故选：B.
6．B
首先求出函数的导函数，再判断的奇偶性，以及由特殊值，利用排除法判断即可.
【详解】因为的定义域为，且，，
又，
所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、D；
又，故排除C.
故选：B
7．D
【解析】设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a1，a2，a3，利用等比数列的前项和公式即可求解.
【详解】斗升，设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a1，a2，a3，
由题意可知a1，a2，a3构成公比为2的等比数列，且S3＝50，则＝50，
解得a1＝，所以牛主人应偿还粟的量为
故选：D
8．A
在为等差数列中，当，，，时，．所以结合此性质可得：，再根据题意得到答案．
【详解】解：在为等差数列中，当，，，时，．
所以，
又因为，
所以．
故选：A．
9．BD
根据函数的求导公式及复合函数的求导法则逐一判断即可.
【详解】对于A，因为，
所以，故错误；
对于B，因为，
所以，故正确；
对于C，因为，
所以，故错误；
对于D，因为，
所以，故正确.
故选：BD.
10．BC
借助图象的正负即可得原函数的单调性及极值点，逐项判断即可得.
【详解】由图可知，当时，，
当时，，
故在、上单调递增，在、上单调递减，
在、处取得极大值，在取得极小值
故A错误，B正确，C正确，D错误.
故选：BC.
11．ABC
设等比数列的公比为，当时，，结合题意可判断D选项；当时，结合等比数列的前项和公式可得，结合题意可得，进而判断A、B、C选项.
【详解】设等比数列的公比为.
当，显然是一次函数性质不是指数函数形式，故不满足，所以D错；
当，
所以，
即，，所以ABC对．
故选：ABC.
12．
由题意得出导函数在上恒成立，即在上恒成立，求得即可得解.
【详解】在上恒成立，
所以在上恒成立，
当，，
所以，
故答案为：.
13．
利用等比数列的性质即可求解.
【详解】因为，又数列等比数列，所以，
又，所以，所以，
即，所以.
故答案为：.
14．①②④
根据题意和基本不等式的应用即可判断①；利用作差法和数列的单调性即可判断②；由题意可得，即可判断③；利用放缩法和累加法得，即可判断④.
【详解】①：，
当且仅当即时等号成立；
又，所以，故①正确；
②：，得，由知，
所以，即数列单调递增，故②正确；
③：
，故③错误；
④：，
若，则，
由累加法，得，
当时，，若，则，故④正确.
故答案为：①②④.
15．（1）an＝2或an＝4n－2，（2）或
（1）由转化为用表示，解方程可得值，从而求得通项公式；（2）由（1）得到数列的通项公式，从而结合等差数列得到其前n项和
【详解】（1）设等差数列{an}的公差为d，依题意，化简得：d2－4d＝0，
解得：d＝0或d＝4．
当d＝0时，an＝2；
当d＝4时，，
从而得数列{an}的通项公式为an＝2或an＝4n－2．
（2）当d＝0时，，；
当d＝4时，，.
综上：或
16．(1)答案见解析
(2)
（1）求导，对进行分类讨论，由导数符号与函数单调性的关系即可得解；
（2）方法一：对分类讨论；方法二：参变分离，转换成不等式恒成立求参数，构造适当的函数，利用导数求最值即可得解.
【详解】（1）因为，，所以.
若，则恒成立，
此时的单调递增区间为，无单调递减区间.
若，则当时，，当时，，
此时的单调递增区间为，单调递减区间为.
综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）方法一：当时，，不符合恒成立.
当时，由（1）可知，.
因为恒成立，所以，解得，故a的取值范围为.
方法二：恒成立等价于恒成立.
令，则.
当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减，
则，故a的取值范围为.
17．(1)证明过程见详解
(2)
（1）根据与的关系可推出，进而即可证明数列是等比数列；
（2）结合（1）可得可得的通项公式，从而可求得，，，进而即可求得．
【详解】（1）因为，所以，整理得，所以，
所以是以为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1）可得，则，
所以，故，
当n=1时，，则，
则，
所以．
18．(1)
(2)极大值点为，极小值点为.
（1）求出函数得导函数，根据曲线在点（1，f（1））处取得极值可得，从而可求出a的值，再检验所得结果是否符合要求即可；
（2）根据导数的符号求出函数的单调区间，再根据极值的定义求出极值即可.
【详解】（1）函数的定义域为，导函数，
因为曲线在点处取得极值，
所以，所以，解得，
当时，，，
当时，，当时，，，
所以为函数的极值点，满足条件，
所以.
（2）由（1）可知，，
则，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
故的极大值点为，极小值点为.
19．(1)
(2)
(1)选①由条件可得，估计可求数列的通项公式；选②由条件结合求数列的通项公式；选③根据等比数列通项公式可求数列的通项公式；(2)由(1)可得，结合已知求数列的通项公式，利用错位相减法求其前项和.
【详解】（1）若选择①：因为是2与的等差中项，所以，
当时，解得．
当时，由，，
两式相减得，所以，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以数列的通项公式为．
若选择②，由，，则，，
两式相减得，
又因为，，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以数列的通项公式为．
若选择③，设正项等比数列的公比为，
则，
解得或（舍去）
所以数列的通项公式为．
（2）因为是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以．
由（1）知，所以．
所以①
在①的等式两边同乘以，得
②
由①②等式两边相减，得
，
所以数列的前n项和．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
B
C
B
B
D
A
BD
BC
题号
11









答案
ABC