湖南省长沙大学附属中学2024-2025学年高二下学期6月月考数学试卷（Word版附解析）

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这是一份湖南省长沙大学附属中学2024-2025学年高二下学期6月月考数学试卷（Word版附解析），文件包含湖南省长沙市长沙大学附属中学2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题原卷版docx、湖南省长沙市长沙大学附属中学2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题Word版含解析docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
2. 已知两个非零向量与的夹角为，我们把数量叫作向量与的叉乘的模，记作，即.若向量，，则（）
A. B. 10C. D. 2
3. 已知函数，则（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
4. 下图为抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，简称“解放碑”，位于重庆市渝中区，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑．如图：在解放碑的水平地面上的点A处测得其顶点P的仰角为45°、点B处测得其顶点P的仰角为30°，若米，且，则解放碑的高度为（）
A. 米B. 55米C. 米D. 米
5. 已知函数是定义在上的减函数，且为奇函数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
6. 若对任意正实数都有，则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
7. 如图，在扇形中，半径，圆心角，是上的动点（点不与、及的中点重合），矩形内接于扇形，且．，设矩形的面积与的关系为，则最大值为（）

A. B. C. D.
8. 已知函数，直线是曲线的一条切线，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
二、多选题
9. 在复平面内，复数对应点满足.点与关于轴对称.则复数为（）
A. B.
C. D.
10. 在棱长为正方体中，点是线段上的动点，则下列判断正确的是（）
A. 无论点在线段的什么位置，三棱锥的体积为定值
B. 无论点在线段的什么位置，都有
C. 当时，与异面
D. 若直线与平面所成的角为，则的最大值为
11. 通过等式（，）我们可以得到很多函数模型，例如将a视为自变量x，b视为常数，那么c就是a（即x）函数，记为y，则，也就是我们熟悉的幂函数．事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型．若令，（e是自然对数的底数），将a视为自变量x（，），则b为x的函数，记为，下列关于函数的叙述中正确的有（）
A.
B. ，
C. 若，且m，n均不等于1，，则
D. 若对任意，不等式恒成立，则实数m的值为0
三、填空题
12. 2024年10月21日，第52个梅森素数被发现，这也是迄今为止发现最大素数.集合以这52个梅森素数为元素，其非空真子集有________个.
13. 如图，四边形的顶点都在圆上，且经过圆的圆心，若圆的半径为，，四边形的面积为，则______．
14 设函数，若恰有个零点，.
则下述结论中:
①若恒成立，则的值有且仅有个；
②在上单调递增；
③存在和，使得对任意恒成立；
④“”是“方程在恰有五个解”的必要条件.
所有正确结论的编号是______________；
四、解答题
15. 已知函数．
（1）求的最小正周期和单调增区间；
（2）若函数在存在零点，求实数a的取值范围．
16. 已知复数，其中，虚数单位.
（1）若为纯虚数，求的值；
（2）定义，是否存在，使得? 若存在，求出；若不存在，说明理由.
17. 某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，为长方形薄板，沿折叠后，交于点，当凹多边形的面积最大时制冷效果最好．

（1）设米，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；
（2）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽?
18. 已知数列为等差数列，，且数列是公比为2的等比数列，.
（1）求，的通项公式；
（2）若数列满足，将中的项按原有顺序依次插入到数列中，使与之间插入2项，形成新数列，求此新数列前面20项的和.
19. 布洛卡点是三角形内部的一特殊的点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，它通过等角条件联系三角形边与顶点，其角度和位置揭示了三角形的对称性与比例特性，是经典几何学中兼具美学与实用价值的点．其定义如下：设P是内一点，若，则称点P为△ABC的布洛卡点，角θ为△ABC的布洛卡角．如图，在△ABC中，记它的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，点P为△ABC的布洛卡点，其布洛卡角为θ，请完成以下各题：
（1）若，且，求A和；
（2）若求值．