北京市第八十中学2023-2024学年高三上学期10月月考数学试卷

这是一份北京市第八十中学2023-2024学年高三上学期10月月考数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
1．设集合A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5}，则A∪B＝（ ）
A．{3}B．{1，2，3，4，5}
C．{1，2，3，3，4，5}D．{1，2}
2．已知向量，满足+＝（2，3），﹣＝（﹣2，1），则||2﹣||2＝（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
3．下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）
A．y＝﹣x+1B．y＝（x﹣1）2C．y＝|lnx|D．y＝x
4．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α
B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α
C．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α
D．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α
5．若a，b∈R+，则“a+b＝2”是“ab≤1”的（ ）
A．充分必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
6．已知角θ的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点M（3，4），则sin2θ的值为（ ）
A．B．C．D．
7．若函数f（x）满足f（x）﹣x＝2f（2﹣x），则f（3）＝（ ）
A．﹣1B．C．D．1
8．在Rt△ABC中，||＝||＝4，D是以BC为直径的圆上一点，则||的最大值为（ ）
A．12B．8C．5D．6
9．坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若AB＝25m，BC＝AD＝10m，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（ ）
A．102mB．112mC．117mD．125m
（多选）10．空旷的田野上两根电线杆之间的电线有相似的曲线形态．这些曲线在数学上称为悬链线．悬链线在工程上有广泛的应用．在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为f（x）＝aex+be﹣x（其中a，b为非零常数），则对于函数y＝f（x）以下结论正确的是（ ）
A．若a＝b，则y＝f（x）为偶函数
B．若a＝1，b＝2，则函数y＝f（x）﹣3的零点为0和ln2
C．若ab＝1，则函数y＝f（x）的最小值为2
D．若y＝f（x）为奇函数，且∃x∈（﹣∞，0）使e2x+e﹣2x+f（x）≤0成立，则a的最小值为
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）已知函数f（x）＝4x+lg2x，则f（）＝ ．
12．（5分）若向量＝（1，x），＝（2，1），且⊥，且||＝ ．
13．（5分）设函数f（x）＝﹣sin2x，若f（x+t）是偶函数，则t的一个可能值是 ．
14．（5分）已知λ∈R，函数，当λ＝1时，不等式f（x）＞0的解集是 ．若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是 ．
15．（5分）已知无穷项数列{an}满足：an+2＝an+an+1（n＝1，2，3，⋯），a1，a2为有理数，给出下列四个结论：
①若a3＞a2＞a1，则数列{an}单调递增；
②数列{an}可能为等比数列；
③若存在k0∈N*，k0≥3，，则对于任意n≤k0﹣2，总有anan+1≤0．
④若存在M＞0，对于任意n∈N*，总有|an|＜M，则an＝0．
其中全部正确结论的序号为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分。
16．（10分）在公差不为0的等差数列{an}中，a4＝5，且a2，a3，a6成等比数列．
（1）求{an}的通项公式和前n项和Sn；
（2）设，求数列{bn}的前n项和公式Tn．
17．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，M，N分别为棱PD，BC的中点，PA＝AB＝2．
（Ⅰ）求证：MN∥平面PAB；
（Ⅱ）求直线MN与平面PCD所成角的正弦值．
18．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（Ⅰ）求∠B的值；
（Ⅱ）给出以下三个条件：
条件①：a2﹣b2+c2+3c＝0；
条件②：a＝，b＝1；
条件③：S△ABC＝．
这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面的问题：
（ⅰ）求sinA的值；
（ⅱ）求∠ABC的角平分线BD的长．
19．（12分）已知函数f（x）＝lnx，g（x）＝（﹣ax）f（x）+2ax﹣（a∈R）．
（1）证明：f（x）＜x；
（2）求函数g（x）的单调区间．
20．（12分）已知函数f（x）＝ax﹣．
（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝x+b，求实数a，b的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，2）上存在单调增区间，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若f（x）在区间（0，2）上存在极大值，求实数a的取值范围（直接写出结果）．
21．（12分）已知数列{an}，{bn}的项数均为m（m＞2），且an，bn∈{1，2，⋯，m}，{an}，{bn}的前n项和分别为An，Bn，并规定A0＝B0＝0．对于k∈{0，1，2，⋯，m}，定义rk＝max{i|Bi≤Ak，i∈{0，1，2，⋯，m}}，其中，maxM表示数集M中最大的数．345123sdf
（1）若a1＝2，a2＝1，a3＝3，b1＝1，b2＝3，b3＝3，求r0，r1，r2，r3的值；
（2）若a1≥b1，且2rj≤rj+1+rj﹣1，j＝1，2，⋯，m﹣1，求rn；
（3）证明：存在p，q，s，t∈{0，1，2，⋯，m}，满足p＞q，s＞t，使得Ap+Bt＝Aq+Bs．
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
1．【答案】B
【分析】由A与B，求出两集合的并集即可．
【解答】解：∵A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5}，
∴A∪B＝{1，2，3，4，5}．
故选：B．
2．【答案】B
【分析】根据向量的坐标运算，向量的模公式，即可求解．
【解答】解：∵+＝（2，3），﹣＝（﹣2，1），
∴，，
∴||2﹣||2＝4﹣5＝﹣1．
故选：B．
3．【答案】D
【分析】由已知结合基本初等函数的单调性检验各选项即可判断．
【解答】解：y＝﹣x+1在（0，+∞）上单调递减，不符合题意；
y＝（x﹣1）2在（0，+∞）上不单调，不符合题意；
y＝|lnx|在（0，+∞）上不单调，不符合题意；
y＝x在（0，+∞）上单调递增，符合题意．
故选：D．
4．【答案】D
【分析】根据空间线面位置关系的性质与判定判断．
【解答】解：对于A，由n∥α可知存在直线a⊂α，使得a∥n，
故当m为α内与a垂直的直线时，显然m⊥n，m⊂α，故A错误；
对于B，设α∩β＝a，则当m为α内与a平行的直线时，m∥β，m⊂α，故B错误；
对于C，设α∩β＝a，则当m为β内与a平行的直线时，m∥α，故C错误；
对于D，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，故m⊥α，故D正确．
故选：D．
5．【答案】B
【分析】由题意，在a+b＝2的情况下利用基本不等式求最值，证出充分性成立，再结合充要条件定义算出答案．
【解答】解：根据题意a、b∈R+，当a+b＝2时，由得，即ab≤1，充分性成立；
反之，若ab≤1，可能a、b都是小于1的正数，不能得出a+b＝2成立，必要性不成立．
因此，“a+b＝2”是“ab≤1”的充分不必要条件．
故选：B．
6．【答案】C
【分析】先根据题意求出tanθ的值，再化简sin2θ为，代值计算即可．
【解答】解：由题意可知，
所以＝．
故选：C．
7．【答案】B
【分析】由题意得f（3）﹣3＝2f（﹣1），f（﹣1）+1＝2f（3），从而求解结论．
【解答】解：令x＝3得，f（3）﹣3＝2f（﹣1），
令x＝﹣1得，f（﹣1）+1＝2f（3），
联立方程解得，f（3）＝﹣，
故选：B．
8．【答案】A
【分析】建立直角坐标系，由D在BC为直径的圆上，可用三角函数表示D点的坐标，将所求向量用坐标表示，即可求解．
【解答】解：因为△ABC是直角三角形，且||＝||＝4，
所以∠C是直角，以BC中点O为原点，方向为x轴，过点O且垂直于BC的直线为y轴，建立直角坐标系，如下所示：
则点A坐标（﹣2，4），点B坐标（2，0），显然D在圆x2+y2＝4上，
设D的坐标为（2csθ，2sinθ），
那么＝（4，﹣4），＝（2csθ+2，2sinθ﹣4），
所以+＝（2csθ+6，2sinθ﹣8），
所以|+|＝＝，
因为3csθ﹣4sinθ＝5sin（θ+φ），其中tanφ＝﹣，
所以3csθ﹣4sinθ的最大值为5，
则的最大值为＝12．
即||的最大值为12．
故选：A．
9．【答案】C
【分析】先根据线面角的定义求得，从而依次求EO，EG，EB，EF，再把所有棱长相加即可得解．
【解答】解：如图，过E做EO⊥平面ABCD，垂足为O，过E分别做EG⊥BC，EM⊥AB，垂足分别为G，M，
连接OG，OM，
由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为∠EMO和∠EGO，
所以．
因为EO⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以EO⊥BC，
因为EG⊥BC，EO，EG⊂平面EOG，EO∩EG＝E，
所以BC⊥平面EOG，因为OG⊂平面EOG，所以BC⊥OG，
同理，OM⊥BM，又BM⊥BG，故四边形OMBG是矩形，
所以由BC＝10得OM＝5，所以，所以OG＝5，
所以在直角三角形EOG中，
在直角三角形EBG中，BG＝OM＝5，，
又因为EF＝AB﹣5﹣5＝25﹣5﹣5＝15，
所有棱长之和为2×25+2×10+15+4×8＝117m．
故选：C．
10．【答案】ABD
【分析】根据函数的奇偶性定义判断A即可；利用函数零点的定义及指对运算即可求得函数y＝f（x）﹣3的零点，从而判断B即可；根据ab＝1得，讨论a的符号从而确定函数值域，从而判断C即可；根据含参不等式能成立，利用指数函数的性质进行参变分离，结合基本不等式求得最值，即可得a的取值范围，从而判断D即可．
【解答】解：对于A，当a＝b时，f（x）＝aex+ae﹣x，函数定义域为R，所以f（﹣x）＝ae﹣x+aex＝f（x），则y＝f（x）为偶函数，故A正确；
对于B，若a＝1，b＝2，f（x）＝ex+2e﹣x，则函数y＝ex+2e﹣x﹣3＝0，整理得（ex）2﹣3ex+2＝0，
即（ex﹣1）（ex﹣2）＝0，解得x＝0，x＝ln2，所以函数y＝f（x）﹣3的零点为0和ln2，故B正确；
对于C，若ab＝1，则，当a＞0时，，当且仅当，即x＝﹣lna时等号成立；
当a＜0时，，当且仅当，即x＝﹣ln（﹣a）时等号成立；
所以f（x）∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），故C错误；
对于D，若y＝f（x）为奇函数，则f（x）+f（﹣x）＝0，所以aex+be﹣x+ae﹣x+bex＝（a+b）ex+（a+b）e﹣x＝0，
所以a+b＝0，则f（x）＝aex﹣ae﹣x，若∃x∈（﹣∞，0）使e2x+e﹣2x+f（x）≤0成立，则e2x+e﹣2x+aex﹣ae﹣x≤0，
若x∈（﹣∞，0），则x＜﹣x，ex＜e﹣x，所以ex﹣e﹣x＜0
即能成立，
又，当且仅当时，即时，等号成立，
所以，则a的最小值为，故D正确．
故选：ABD．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11．【答案】1．
【分析】利用指数与对数函数的运算性质即可得出结论．
【解答】解：∵函数f（x）＝4x+lg2x，
∴f（）＝+＝2﹣1＝1，
故答案为：1．
12．【答案】．
【分析】由向量垂直的坐标运算求解x值，再由向量模的计算公式求解．
【解答】解：由向量＝（1，x），＝（2，1），且⊥，
得1×2+x＝0，即x＝﹣2．
∴．
故答案为：．
13．【答案】见试题解答内容
【分析】由函数的解析式求出f（x+t）的解析式，根据题意和余弦函数的奇偶性，利用诱导公式求出t的所有取值的集合，再求出其中一个值即可．
【解答】解：∵f（x）＝﹣sin2x，∴f（x+t）＝﹣sin2（x+t）＝﹣sin（2x+2t），
∵f（x+t）是偶函数，∴2t＝，（k∈z），即t＝，（k∈z），
则t的一个可能值是．
故答案为：．
14．【答案】（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞），（﹣4，1]⋃（4，+∞）．
【分析】分x≥1和x＜1两种情况解不等式f（x）＞0，可求得其解集，在同一坐标系中作出y＝x﹣4和y＝x2+3x﹣4的图象，结合函数图象求解即可．
【解答】解：当λ＝1时，，
当x≥1时，由f（x）＞0，得x﹣4＞0，解得x＞4，
当x＜1时，由f（x）＞0，得x2+3x﹣4＞0，（x﹣1）（x+4）＜0，得x＜﹣4或x＞1（舍去），
综上，不等式f（x）＞0的解集是（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞），
在同一坐标系中作出y＝x﹣4和y＝x2+3x﹣4的图象，如图所示，
由图象可知当
当λ≤﹣4时，f（x）只有1个零点为4；
当﹣4＜λ≤1时，f（x）有2个零点为﹣4和4，
当1＜λ≤4时，f（x）有3个零点为﹣4，1和4；
当λ＞4时，f（x）有2个零点为﹣4和1．
故当﹣4＜λ≤1或λ＞4时，f（x）有2个零点，
即λ的取值范围是（﹣4，1]⋃（4，+∞），
故答案为：（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞），（﹣4，1]⋃（4，+∞）．
15．【答案】①③④．
【分析】通过数列的递推对选项进行分析即可．
【解答】解：对于①，若a3＞a2＞a1，则若a2＞a1＞0，设ak+1＞ak＞0，k∈N*，
则ak+2＝ak+1+ak＞ak+1，即数列{an}单调递增，①正确；
对于②，设an＝a1qn﹣1，a1≠0，q≠1，令a1qn﹣1+a1qn＝a1qn+1，
上式化简得q2﹣q﹣1＝0，Δ＝1+4＝5＞0，解方程为无理数，而a1和a2是有理数，
所以不成立，②不正确；
对于③，由得，若＝＝0，则对于任意n≤k0﹣2，总有anan+1＝0，
若≠0，不妨设＜0，＞0，则＝﹣＞0，由此可推当n≤k0﹣2，总有anan+1≤0，③正确；
对于④，若an不恒为0，则总有相邻的两项同号，设ak与ak+1同号，k∈N*，
不妨设两者皆为正，则ak+2＝ak+ak+1＞ak+1＞0，ak+3＝ak+1+ak+2＞ak+2＞0，
由此可推当n＞k，数列{an}单调递增，又an+1﹣an＜an+2﹣an+1，所以数列{an}是无界的，
同理可推，若ak与ak+1同为负，数列{an}也是无界的，
所以存在M＞0，对于任意n∈N*，总有|an|＜M，则an＝0，④正确．
故答案为：①③④．
三、解答题：本大题共6小题，共70分。
16．【答案】（1）an＝2n﹣3，；
（2）．
【分析】（1）利用已知条件和等比中项，求出数列的首项和公差，即可得出答案；
（2）利用裂项相消法，即可得出答案．
【解答】解：（1）在公差d不为零的等差数列{an}中，a4＝5，又a2，a3，a6成等比数列，
则，即，解得a1＝﹣1，d＝2，
则an＝a1+（n﹣1）d＝﹣1+2（n﹣1）＝2n﹣3，
；
（2）由（1）得an＝2n﹣3，则，
可得数列{bn}的前n项和．
17．【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）取PA的中点E，连接EB、EM，证明四边形MNBE是平行四边形．然后证明MN∥平面PAB．
（ II）如图建立空间直角坐标系．求出平面PCD的法向量，求出．利用空间向量的数量积求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）证明：在四棱锥P﹣ABCD中，
取PA的中点E，连接EB、EM，
因为 M是PD的中点，
所以 EM∥AD，且．
又因为 底面ABCD是正方形，N是BC的中点，
所以 BN∥AD，且．
所以 EMBN．
所以 四边形MNBE是平行四边形．
所以 MN∥EB．
由于 EB⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，
所以 MN∥平面PAB．
（ II）因为 底面ABCD是正方形，所以 AB⊥AD．
又因为 PA⊥平面ABCD．
所以以点A为坐标原点，AB、AD、AP分别为x、y、z轴，
如图建立空间直角坐标系．A（0，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），M（0，1，1），N（2，1，0）．＝（2，2，﹣2），＝（﹣2，0，0），
设平面PCD的法向量为．
有：即令y＝1，则z＝1，
所以.．
设直线MN与平面PCD所成角为θ．
有：＝＝＝．
所以 直线MN与平面PCD所成角的正弦值为．
18．【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）条件①③正确，BD＝．
【分析】（Ⅰ）利用辅助角公式，容易求出sin（）＝0，则易知B＝；
（Ⅱ）结合B＝，此时b应该最大，而条件②中b＝1，与已知矛盾，故条件①③正确，再结合面积公式、余弦定理以及三角形内角平分线的性质求解．
【解答】解：（Ⅰ）由得：
＝＝0，
结合B∈（0，π），得，故B＝；
（Ⅱ）结合（Ⅰ）得，即a2+c2﹣b2+ac＝0……（*），
因为，故b是最大边，故条件②不成立，即条件①③正确，
对于条件①：a2﹣b2+c2+3c＝0，与（*）式结合得a＝3，
对于条件③：，故ac＝15，所以c＝5，
所以，故b＝7，
所以，即，解得sinA＝，csA＝，
显然＝＝＝＝，
结合AC＝7，故，
在△ABD中，BD2＝AB2+AD2﹣2AB•AD•csA＝×＝，
故BD＝．
19．【答案】（1）证明过程见解析；
（2）当a≤0时，g（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增；
若0＜a＜e时，g（x）在（0，a），（e，+∞）上单调递增，在（a，e）上单调递减；
当a＝e时，g（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞e时，g（x）在（0，e），（a，+∞）上单调递增，在（e，a）上单调递减．
【分析】（1）由题意，将问题转化成求证lnx﹣x＜0，构造函数h（x）＝lnx﹣x，对函数h（x）进行求导，利用导数得到函数h（x）的单调性和最值，进而即可得证；
（2）对函数g（x）进行求导，分别讨论当a≤0，0＜a＜e，a＝e和a＞e这四种情况，进而即可求解．
【解答】解：（1）证明：已知f（x）＝lnx，函数定义域为（0，+∞），
要证f（x）＜x，
即证lnx﹣x＜0，
不妨设h（x）＝lnx﹣x，函数定义域为（0，+∞），
可得h′（x）＝﹣1＝，
当0＜x＜1时，h′（x）＞0，h（x）单调递增；
当x＞1时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
所以当x＝1时，函数h（x）取得最大值，最大值h（1）＝﹣1，
则f（x）＜x；
（2）已知g（x）＝（﹣ax）lnx+2ax﹣，函数定义域为（0，+∞），
可得g′（x）＝（x﹣a）lnx+（﹣ax）•+2x﹣x＝（x﹣a）（lnx﹣1），
令g′（x）＝0，
解得x＝a或x＝e，
若a≤0，
当0＜x＜e时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；
当x＞e时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；
若0＜a＜e，
当0＜x＜a时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；
当a＜x＜e时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；
当x＞e时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；
若a＝e，g′（x）≥0，g（x）单调递增；
若a＞e，
当0＜x＜e时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；
当e＜x＜a时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；
当x＞a时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
综上，当a≤0时，g（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增；
若0＜a＜e时，g（x）在（0，a），（e，+∞）上单调递增，在（a，e）上单调递减；
当a＝e时，g（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞e时，g（x）在（0，e），（a，+∞）上单调递增，在（e，a）上单调递减．
20．【答案】（Ⅰ）a＝1，b＝﹣1；
（Ⅱ）a∈（﹣，+∞）；
（Ⅲ）（﹣，﹣）．
【分析】（Ⅰ）利用导数的几何意义，可求得f′（0）＝a＝1，又f（0）＝﹣1＝b，从而可求得实数a，b的值；
（Ⅱ）依题意，得f′（x）＝+a＞0在（0，2）上有解⇔f′（x）在（0，2）上的最大值大于0，令h（x）＝f′（x）＝+a，求导分析，可求得h（x）max＝h（1）＝+a，于是可得实数a的取值范围；
（Ⅲ）由题意知f′（x）＝+a＝0在（0，2）上有变号零点，令f′（x）＝0，可得﹣a＝（0＜x＜2），构造函数t（x）＝（0＜x＜2），求导分析，求导其值域，从而可得实数a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）因为f′（x）＝a﹣＝+a，
又曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝x+b，
所以f′（0）＝a＝1，
又f（0）＝﹣1＝b，
所以a＝1，b＝﹣1；
（Ⅱ）因为函数f（x）在区间（0，2）上存在单调增区间，
所以f′（x）＝+a＞0在（0，2）上有解，即只需f′（x）在（0，2）上的最大值大于0即可．
令h（x）＝f′（x）＝+a，h′（x）＝，
当x∈（0，1）时，h′（x）＞0，h（x）为增函数，
当x∈（1，2）时，h′（x）＜0，h（x）为减函数，
所以，当x＝1时，h（x）取最大值+a，故只需+a＞0，即a＞﹣．
所以，若函数f（x）在区间（0，2）上存在单调增区间，实数a的取值范围是（﹣，+∞）．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知f′（x）＝+a，
因为f（x）在区间（0，2）上存在极大值，所以f′（x）＝+a＝0在（0，2）上有变号零点，
由f′（x）＝+a＝0，得﹣a＝（0＜x＜2），
令t（x）＝（0＜x＜2），
则t′（x）＝，
当x∈（0，1）时，t′（x）＞0，t（x）为增函数，
当x∈（1，2）时，t′（x）＜0，t（x）为减函数，
所以，当x＝1时，t（x）取最大值，
又x→0时，t（x）→0，x→2时，t（x）→，
所以﹣a∈（，），
a∈（﹣，﹣）．
21．【答案】（1）r0＝0，r1＝1，r2＝2，r3＝3；
（2）rn＝n，n∈N；
（3）证明见详解．
【分析】（1）先求A0，A1，A2，A3，B0，B1，B2，B3，根据题意分析求解；
（2）根据题意题意分析可得ri+1﹣ri≥1，利用反证可得ri+1﹣ri＝1，在结合等差数列运算求解；
（3）讨论Am，Bm的大小，根据题意结合反证法分析证明．
【解答】解：（1）数列{an}，{bn}的项数均为m（m＞2），
且an，bn∈{1，2，⋯，m}，{an}，{bn}的前n项和分别为An，Bn，
规定A0＝B0＝0．对于k∈{0，1，2，⋯，m}，定义rk＝max{i|Bi≤Ak，i∈{0，1，2，⋯，m}}，
其中，maxM表示数集M中最大的数，
a1＝2，a2＝1，a3＝3，b1＝1，b2＝3，b3＝3，
由题意可知：A0＝0，A1＝2，A2＝3，A3＝6，B0＝0，B1＝1，B2＝3，B3＝6，
当k＝0时，则B0＝A0＝0，Bi＞A0，i＝1，2，3，故r0＝0；
当k＝1时，则B0＜A1，B1＜A1，Bi＞A1，i＝2，3，故r1＝1；
当k＝2时，则Bi≤A2，i＝0，1，2，B3＞A2，故r2＝2；
当k＝3时，则Bi≤A3，i＝0，1，2，3，故r3＝3；
综上所述：r0＝0，r1＝1，r2＝2，r3＝3．
（2）a1≥b1，且2rj≤rj+1+rj﹣1，j＝1，2，⋯，m﹣1，
由题意可知：rn≤m，且rn∈N，
∵an≥1，bn≥1，则An≥a1＝1，Bn≥b1＝1，当且仅当n＝1时，等号成立，
∴r0＝0，r1＝1，
又∵2ri≤ri﹣1+ri+1，∴ri+1﹣ri≥ri﹣ri﹣1，∴rm﹣rm﹣1≥rm﹣1﹣rm﹣2≥…≥r1﹣r0＝1，
可得ri+1﹣ri≥1，
反证：假设满足rn+1﹣rn＞1的最小正整数为1≤j≤m﹣1，
当i≥j时，则ri+1﹣ri≥2；当i≤j﹣1时，则ri+1﹣ri＝1，
则rm＝（rm﹣rm﹣1）+（rm﹣1﹣rm﹣2）+…+（r1﹣r）0+r0≥2（m﹣j）+j＝2m﹣j，
又∵1≤j≤m﹣1，∴rm≥2m﹣j≥2m﹣（m﹣1）＝m+1＞m，
假设不成立，∴rn+1﹣rn＝1，
∴数列{rn}是以首项为1，公差为1的等差数列，∴rn＝0+1×n＝n，n∈N．
（3）证明：（ⅰ）若Am≥Bm，构建，
由题意可得：Sn≥0，且Sn为整数，
反证，假设存在正整数K，使得SK≥m，
则，可得，
这与相矛盾，∴对任意1≤n≤m，n∈N，均有Sn≤m﹣1．
①若存在正整数N，使得，∴，
可取r＝p＝0，q＝N，s＝rN，使得Ap+Bs＝Aq+Br；
②若不存在正整数N，使得SN＝0，
∵Sn∈{1，2m，…，m﹣1}，且1≤n≤m，
∴必存在1≤X＜Y≤m，使得SX＝SY，
即，可得，
可取p＝X，s＝rY，q＝Y，r＝rX，使得Ap+Bs＝Aq+Br；
（ⅱ）若Am＜Bm，构建，由题意可得：Sn≤0，且Sn为整数，
反证，假设存在正整数K，使得SK≤﹣m，
则，可得，
这与相矛盾，故对任意1≤n≤m，n∈N，均有Sn≥1﹣m．
①若存在正整数N，使得，即，
可取r＝p＝0，q＝N，s＝rN，使得Ap+Bs＝Aq+Br；
②若不存在正整数N，使得SN＝0，
因为Sn∈{﹣1，﹣2，…，1﹣m}，且1≤n≤m，
所以必存在1≤X＜Y≤m，使得SX＝SY，
即，可得，
可取p＝X，s＝rY，q＝Y，r＝rX，使得Ap+Bs＝Aq+Br；
综上所述：存在p，q，s，t∈{0，1，2，⋯，m}，满足p＞q，s＞t，使得Ap+Bt＝Aq+Bs．