甘肃省张掖市2024-2025学年高一下学期6月月考数学试卷

这是一份甘肃省张掖市2024-2025学年高一下学期6月月考数学试卷，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2  i2
z
z 
复数i
（ i 为虚数单位），则 z

的共轭复数的模（）
A 5B. 25C. 4D. 16
→
→→→→
已知向量a, b 满足 a  1, b  2 ，向量 a 与b 的夹角为60 ，则 4a  b  （ ）
3
A. 12B. 4C. 2
D. 2
设l ， m 是两条不同的直线，α， β，γ是三个不同的平面，下列说法正确的是（）
若l / /α， m / /α，则l // mB. 若l / /α， l //β，则α/ /β
C. 若l α， m α，则l // mD. 若αγ， βγ，则α/ /β
3
6
在三棱锥 D  ABC 中， AD  2 ， BC  2，E，F 分别是 AB ， CD 的中点， EF ，则直线
AD 与 BC 所成的角的余弦值为（）
3
3
3
3
3
6
3
6
已知正方体 ABCD﹣A1 B1C1 D1 棱长为2 ，则点C 到平面 BDD1B1 的距离为（）
2
1B.
C. 2
D. 2
2
3
某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对 650 名学生进行抽样，先将 650 名学生进行编号，
001，002，…，649，650.从中抽取 50 个样本，下图提供随机数表的第 4 行到第 6 行，若从表中第 5 行第
6 列开始向右读取数据，则得到的第 6 个样本编号是（）
A. 623B. 328C. 072D. 457
用 斜 二 测 画 法 画 出 水 平 放 置 的 平 面 图 形 △OAB 的 直 观 图 为 如 图 所 示 的 VO AB ， 已 知
OD  DB  DA  AB  2 ，则△OAB 的面积为（）
32 21 18 34 29
78 64 54 07 32
52 42 06 44 38
12 23 43 56 77
35 78 90 56 42
84 42 12 53 31
34 57 86 07 36
25 30 07 32 86
23 45 78 89 07
23 68 96 08 04
32 56 78 08 43
67 89 53 55 77
34 89 94 83 75
22 53 55 78 32
45 77 89 23 45
6
4
2
8D. 4
3
3
ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a, b, c ，若(sin B  sin C)2  sin2 (B  C)  3sin B sin C ，且
a  2 ，则ABC 的面积的最大值是
A.3
2
B.
3
C. 2
D. 4
3
二、多选题
→
已知平面向量 a  1, 2 ， b  2, x ，则（）
→→
A. 当 x  2 时， a  b  1, 4
a ⊥b
C. 若 →，则 x  1
x ∞, 4 4,1
已知函数 f ( x)  2 cs2  2x  π  
B. 若 a ∥b ，则 x  1
D. 若 a 与b 的夹角为钝角，则
3 sin  4x  π  ，则下列判断正确的是（ ）
6 3 

A. f (x) 的周期为πB.
C. f (x) 的图象关于直线 x  π 对称D.
4
f (x) 为偶函数
f (x) 的值域为[1, 3]
如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列命题中，正确的有（ ）
BM / / 平面 DCMNB. CN / / 平面 BCMF
C. 平面 BDM / / 平面 AFND. 平面 BDE / / 平面 NCF
三、填空题
某射击运动员在一次训练中 10 次射击成绩（单位：环）如下： 5，5，6，6，7，7，8，9，9，9，这组数据的第 60 百分位数为．
已知角α为第二象限角， sinα 3 ，角β为第四象限角， csβ 5
513
，则tan α β 的值为
．
在正方体 ABCD  A1B1C1D1 中，截面 A1BD 与底面 ABCD 所成的二面角 A1  BD  A 的正切值为
.
四、解答题
随着现代社会物质生活水平的提高，中学生的零花钱越来越多，消费水平也越来越高，因此滋生了一些不良的攀比现象.某学校为帮助学生培养正确的消费观念，对该校学生每周零花钱的数额进行了随机调查，现将统计数据按0, 20 ， 20, 40 ，…， 120,140 分组后绘成如图所示的频率分布直方图，已知
a  3b .
求频率分布直方图中 a ， b 的值；
估计该校学生每周零花钱的第 55 百分位数；
若按照各组频率的比例采用分层随机抽样的方法从每周零花钱在60,120 内的人中抽取 11 人，求
100,120 内抽取的人数.
记V ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，已知sinC 2 cs B ， a2  b2  c2 2ab
（1）求 B；
3
（2）若V ABC 的面积为3 ，求 c．
如图，已知四棱锥 S  ABCD 中，底面 ABCD 是正方形， E 为侧棱SC的中点.
求证： SA ∥平面 EDB ；
已知 F 为棱 AB 上的点，若 EF ∥平面 SAD ，求证： F 是 AB 的中点.
如图，在四棱锥 P  ABCD 中，底面 ABCD 是菱形， PA  平面 ABCD ， E, F 分别是棱 BC, AP 的中点．
证明： PC  BD ；
证明： EF // 平面 PCD ．
如图，三棱锥 P  ABC 中， PC, AC, BC 两两垂直， BC  PC  1， AC  2 ， E, F , G 分别是
AB, AC, AP 的中点.
证明：平面GFE // 平面 PCB ；
求二面角 B  AP  C 的正切值；
求直线 PF 与平面 PAB 所成角的正弦值.
甘肃省张掖市 2024-2025 学年高一下学期 6 月月考数学试卷
一、单选题
2  i2
复数
5
i
i
虚数单位），则 z 的共轭复数的模 z  （）
B. 25C. 4D. 16
【答案】A
【解析】
z 
（ 为
【分析】由题可得 z  4  3i ，进而即得.
2  i23  4ii(3  4i)
【详解】因为 z  4  3i ，
(4)2  (3)2
iii2
z
所以
 z 
 5 .
故选：A．
→
→→→→
已知向量a, b 满足 a
 1, b
 2 ，向量 a 与b 的夹角为60
，则 4a  b
 （ ）
3
A. 12B. 4C. 2
D. 2
【答案】C
【解析】
(4a  b )
→
→
2
→→→
3
【分析】利用向量数量积公式得到 a  b  1 ，从而得到 4a  b

 2.
→→→ →→ →∘
【详解】因为 a  1, b  2 ，向量 a 与b 的夹角为60 ．所以 a  b  a b cs60
 1，
(4a  b )
→
→
2
16 a | 
→
2
8
a b
→
 b |
→
→
2
16  8  4
→→
3
所以 4a  b



 2．
故选：C．
设l ， m 是两条不同的直线，α， β，γ是三个不同的平面，下列说法正确的是（）
若l / /α， m / /α，则l // mB. 若l / /α， l //β，则α/ /β
C. 若l α， m α，则l // mD. 若αγ， βγ，则α/ /β
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系和平面与平面的位置关系依次判断选项即可.
【详解】对选项 A，若l / /α， m / /α，则l 与m 的位置关系是平行，相交和异面，故 A 错误.
对选项 B，若l / /α， l //β，则α与β的位置关系是平行和相交，故 B 错误.
对选项 C，若l α， m α，则根据线面垂直的性质得l 与m 的位置关系是平行，故 C 正确.
6
对选项 D，若αγ， βγ，则α与β的位置关系是平行和相交，故 D 错误.
故选：C
3
在三棱锥 D  ABC 中， AD  2 ， BC  2
AD 与 BC 所成的角的余弦值为（）
，E，F 分别是 AB ， CD 的中点， EF ，则直线
3
3
3
3
3
6
3
6
【答案】A
【解析】
【分析】先作出辅助线，得到FNE 或其补角为线 AD 与 BC 所成的角，求出 EN 3, FN  1，结合
6
EF ，利用余弦定理求出余弦值.
【详解】取 AC 的中点 N ，连接 FN , EN ，因为 E，F 分别是 AB ， CD 的中点，
所以 NF / / AD, EN / / BC ，故FNE 或其补角为直线 AD 与 BC 所成的角，
EN  1 BC 3, FN  1 AD  1 ，
22
6
又 EF ，
3
FN 2  EN 2  EF 21 3  6
2 1 3
故cs FNE  ，
2FN  EN3
故直线 AD 与 BC 所成的角的余弦值为3 .
3
故选：A
已知正方体 ABCD﹣A1 B1C1 D1 棱长为2 ，则点C 到平面 BDD1B1 的距离为（）
2
1B.
C. 2
D. 2
2
3
【答案】B
【解析】
【分析】作出辅助线，证明出 AC⊥平面 BDD1B1 ，找到点C 到平面 BDD1B1 的距离即 CE 的长，求出答案.
【详解】连接 AC 交 BD 于点 E，则因为四边形 ABCD 为正方体，所以 AC⊥BD，且 E 为 AC 中点，因为
BB1 ⊥底面 ABCD， AC  平面 ABCD，所以 BB1 ⊥ AC ，因为 BB1  BD  B ，所以 AC⊥平面
2
2
BDD1B1 ，所以 CE 的长即为点C 到平面 BDD1B1 的距离，因为正方体 ABCD﹣A1 B1C1 D1 棱长为 2，所以由勾
4  4
股定理可得： AC 
 2
，显然CE .
故选：B
某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对 650 名学生进行抽样，先将 650 名学生进行编号，
001，002，…，649，650.从中抽取 50 个样本，下图提供随机数表的第 4 行到第 6 行，若从表中第 5 行第
6 列开始向右读取数据，则得到的第 6 个样本编号是（）
A. 623B. 328C. 072D. 457
【答案】A
32 21 18 34 29
78 64 54 07 32
52 42 06 44 38
12 23 43 56 77
35 78 90 56 42
84 42 12 53 31
34 57 86 07 36
25 30 07 32 86
23 45 78 89 07
23 68 96 08 04
32 56 78 08 43
67 89 53 55 77
34 89 94 83 75
22 53 55 78 32
45 77 89 23 45
【分析】按照随机数表提供的数据，三位一组的读数，并取 001 到 650 内的数，重复的只取一次即可
【详解】从第 5 行第 6 列开始向右读取数据，第一个数为 253，第二个数是 313，
第三个数是 457，下一个数是 860，不符合要求，
下一个数是 736，不符合要求，下一个是 253，重复，
第四个是 007，第五个是 328，第六个数是 623，，故 A 正确.故选：A.
用 斜 二 测 画 法 画 出 水 平 放 置 的 平 面 图 形 △OAB 的 直 观 图 为 如 图 所 示 的 aO AB ， 已 知
OD  DB  DA  AB  2 ，则△OAB 的面积为（）
6
4
2
8D. 4
3
3
【答案】A
【解析】
【分析】根据直观图和原图的面积关系，即可求解
【详解】因为OD  DB  DA  AB  2 ，
所以aO AB 是直角三角形且OBA  90 ，可得OB  2 3 ，
3
所以aO AB 的面积 S  1 OB AB  2，
2
6
则△OAB 的面积 S  2 2S  4．
故选：A
ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a, b, c ，若(sin B  sin C)2  sin2 (B  C)  3sin B sin C ，且
a  2 ，则ABC 的面积的最大值是
A.3
2
B.
3
C. 2
D. 4
3
【答案】B
【分析】由sinB  sinC 2  sin2  B  C   3sinBsinC ， 根据三角形内角和定理， 结合诱导公式可得
sin2B  sin2C  sin2 A  sinBsinC ， 再由正弦定理可得 a2  b2  c2  bc ， 从而由余弦定理求得
csA  1 ，再利用基本不等式可得bc  4 ，由三角形面积公式可得结果.
2
【详解】m sin  B  C   sinA ，且sinB  sinC 2  sin2  B  C   3sinBsinC ，
sin2B  sin2C  sin2 A  sinBsinC ，
由正弦定理可得 a2  b2  c2  bc ，
b2  c2  a21
由余弦定理可得csA  ，
2bc2
sinA 3 ，
2
又m a  2, 4  b2  c2  bc  2bc  bc  bc ，即bc  4 ，
 S 1 bc sinA  1  4 3 3 ，
ABC222
3
即ABC 最大面积为
，故选 B.
【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理以及基本不等式的应用，属于难题.对余弦定理一定要熟记两种
b2  c2  a2
形式：（1） a2  b2  c2  2bccsA ；（2） csA ，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.
2bc
另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30 , 45 , 60 等特殊角的三角函数值，以便在
解题中直接应用.
二、多选题
→
已知平面向量 a  1, 2 ， b  2, x ，则（）
→→
A. 当 x  2 时， a  b  1, 4
a ⊥b
C. 若 →，则 x  1
x ∞, 4 4,1
B. 若 a ∥b ，则 x  1
D. 若 a 与b 的夹角为钝角，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据向量加法坐标公式计算可判断 A；根据向量平行的坐标公式计算即可判断 B；根据向量垂直坐标公式计算即可判断 C；根据向量数量积坐标公式计算即可判断 D.
a
【详解】对 A，当 x  2 时， b  2, 2 ，所以 →  b  1, 4 ，故 A 正确；
a ∥b
对 B，若 →，则 x  2 2  0 ，解得 x  4 ，故 B 错误；
a ⊥b
对 C，若 →，则12  2x  0 ，解得 x  1 ，故 C 正确；
a
对 D，若 a 与b 的夹角为钝角，则 →  b  2  2x  0 且 a 与b 不共线，解得 x  1且 x  4 ，即 x ∞, 4 4,1 ，故 D 正确，
故选：ACD
已知函数 f ( x)  2 cs2  2x  π  3 sin  4x  π  ，则下列判断正确的是（ ）
6 3 

A. f (x) 的周期为πB.
C. f (x) 的图象关于直线 x  π 对称D.
4
f (x) 为偶函数
f (x) 的值域为[1, 3]
【答案】BCD
【解析】
【分析】 f ( x)  1  cs 4x  π  3 sin  4x  π   1  2 sin  4x  π  π   1  2 cs 4x ，根据三角函
3 
3 
36 

数的性质判断即可得解.
【详解】 f ( x)  1  cs 4x  π  3 sin  4x  π   1  2 sin  4x  π  π   1  2 cs 4x ，
3 
3 
36 

 f (x) 为偶函数，周期为 2π  π ，故 A 错误，B 正确．
42
令4x  kπ(k  Z) ，得 x  kπ (k  Z) ，
4
当 k  1 时， x  π ，故 C 正确．
4
m 2 cs 4x [2, 2] ，
 f (x) 的值域为[1, 3] ，故 D 正确．综上，BCD 正确．
故选：BCD
如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列命题中，正确的有（ ）
BM / / 平面 DCMNB. CN / / 平面 BCMF
C. 平面 BDM / / 平面 AFND. 平面 BDE / / 平面 NCF
【答案】CD
【解析】
【分析】将展开图还原为立体图，即可根据线面关系，结合线面平行以及面面平行的判断求解.
【详解】展开图可以折成如图①所示的正方体．
在正方体中，连接 AN ，如图②所示．
易知 BM 与平面 DCMN 有公共点 M , CN 与平面 BCMF 有公共点C ，所以 AB 错误；如图③所示，连接 NF , BE, BD, DM , CF ，
由于 BM / / AN , AN  平面 AFN , BM  平面 AFN ,所以 BM / / 平面 AFN ，
同理可得 DM / / 平面 AFN ， BM ∩ DM  M , BM , DM  平面 BDM ,
则平面 BDM / / 平面 AFN ，
同理可证平面 BDE / / 平面 NCF ，所以 CD 正确．故选：CD
三、填空题
某射击运动员在一次训练中 10 次射击成绩（单位：环）如下： 5，5，6，6，7，7，8，9，9，9，这
组数据的第 60 百分位数为．
15
【答案】7.5##
2
【解析】
【分析】由百分位数的定义即可得解.
【详解】由题意60% 10  6 ，所以这组数据的第 60 百分位数为 7  8  7.5 .
2
故答案为：7.5.
已知角α为第二象限角， sinα 3 ，角β为第四象限角， csβ 5
513
，则tan α β 的值为
．
63
【答案】
16
【解析】
【分析】结合角α、β所在象限与同角三角函数基本关系可得tanα， tanβ，再利用两角和的正切公式计
算即可得.
【详解】由角α为第二象限角，则csα 
1  sin2 α 
  4 ，
1  9
25
5
由角β为第四象限角，则sinβ 
故tanα  3 ， tanβ  12 ，
1 cs2 β 
  12 ，
1 25
169
13
45
则tan α β  tanα tanβ
 3  12
 45  63 .
1 tanα tanβ
1   3    12 16
4  5 
 
63
故答案为：.
16
在正方体 ABCD  A1B1C1D1 中，截面 A1BD 与底面 ABCD 所成的二面角 A1  BD  A 的正切值为
.
2
【答案】
【解析】
【分析】
先找二面角 A1  BD  A 的平面角，在△A1OA 中， A1OA 即为二面角 A1  BD  A 的平面角.
【详解】连接 AC 交 BD 与点O 如图所示，
因为 AA1  BD, AC  BD ，
所以A1OA 即为二面角 A1  BD  A 的平面角，
在△A1OA 中， AA1
 a, AO 
2 a ，
2
2
所以二面角 A1  BD  A 的正切值为
2
故答案为：
【点睛】方法点睛：本题考查二面角的求法，常用的方法有：
直接法：利用定义法找出二面角的平面角，放入三角形中求出相应的三角函数值；
向量法：建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用向量夹角公式计算可得出二面角的大小．
四、解答题
随着现代社会物质生活水平的提高，中学生的零花钱越来越多，消费水平也越来越高，因此滋生了一些不良的攀比现象.某学校为帮助学生培养正确的消费观念，对该校学生每周零花钱的数额进行了随机调查，现将统计数据按0, 20 ， 20, 40 ，…， 120,140 分组后绘成如图所示的频率分布直方图，已知
a  3b .
求频率分布直方图中 a ， b 的值；
估计该校学生每周零花钱的第 55 百分位数；
若按照各组频率的比例采用分层随机抽样的方法从每周零花钱在60,120 内的人中抽取 11 人，求
100,120 内抽取的人数.
【答案】（1） a  0.015 ， b  0.005
（2）70 元（3）2 人
【解析】
【分析】（1）根据频率之和为 1，结合已知可得；
先判断第 55 百分位数所在区间，然后可得；
先求各组频率，根据频率比例即可求得抽取人数.
【小问 1 详解】
a  0.0125  0.0075  2b  2  0.0025 20  1，即 a  2b  0.025
又 a  3b ，所以 a  0.015 ， b  0.005 .
【小问 2 详解】
前 3 组的频率和为0.0025  0.005  0.0125 20  0.4 ，
前 4 组的频率和为0.0025  0.005  0.0125  0.015 20  0.7 ，
∴第 55 百分位数位于第 4 组60,80 内.
∴估计第 55 百分位数为60  0.55  0.4  20  70 元.
0.3
【小问 3 详解】
60,80 ， 80,100 ， 100,120 这三组的频率分别为0.015 20  0.3 ， 0.0075 20  0.15 ，
0.005 20  0.1 ，比例为6 : 3 : 2 ，
则从100,120 内抽取的人数分别为 2 11  2 .
11
记V ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，已知sinC 2 cs B ， a2  b2  c2 2ab
（1）求 B；
3
（2）若V ABC 的面积为3 ，求 c．
【答案】（1） B  π
3
2
（2） 2
【解析】
【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cs C, sin C ，最后结合已知sin C 2 cs B 得cs B 的值
即可；
（2）首先求出 A, B,C ，然后由正弦定理可将 a, b 均用含有c 的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.
【小问 1 详解】
由余弦定理有 a2  b2  c2  2ab cs C ，对比已知 a2  b2  c2 2ab ，
2ab
2
a2  b2  c2
可得cs C ，
2ab2ab2
因为C 0, π ，所以sin C  0 ，
1 cs2 C
从而sin C 

，
1 
2 
2

 2 
2
2
又因为sin C 
2 cs B ，即cs B  1 ，
2
注意到 B 0, π ，
所以 B  π .
3
【小问 2 详解】
由（1）可得 B  π ， cs C 2 ， C 0, π ，从而C  π ， A  π  π  π  5π ，
324
3412
2
3
2
6 2
 5π  ππ 1
而sin A  sin  12   sin     ，
 46 
22224
a
由正弦定理有sin 5π
b
sin π
c
sin π ，
1234
从而 a 
6 2 
2c 
3 1 c, b 
3  2c 
6 c ，
4222
由三角形面积公式可知， V ABC 的面积可表示为
S 1 ab sin C  1 

3 1 c 
6 c 
2  3 
3 c2 ，
a ABC
222228
3
由已知V ABC 的面积为3 ，可得 3 
8
3 c2  3  3 ，
2
所以c  2.
如图，已知四棱锥 S  ABCD 中，底面 ABCD 是正方形， E 为侧棱SC的中点.
求证： SA ∥平面 EDB ；
已知 F 为棱 AB 上的点，若 EF ∥平面 SAD ，求证： F 是 AB 的中点.
【答案】（1）证明见详解
（2）证明见详解
【解析】
【分析】（1）设 AC ∩ BD  O ，再证明 SA ∥ EO ，结合线面平行的判定定理分析证明；
（2）根据题意可证平面 SAD ∥平面 EOF ，结合面面平行的性质定理分析证明.
【小问 1 详解】
设 AC ∩ BD  O ，连接 AC, OE, OF ，
因为 ABCD 是平行四边形，可知O 为 AC, BD 的中点，
又因为 E 为侧棱SC的中点，则 SA ∥ EO ，
且 SA  平面 EDB ， EO  平面 EDB ，故 SA ∥平面 EDB .
【小问 2 详解】
由（1）可知： SA ∥ EO ，且 SA  平面 SAD ， EO  平面 SAD ，所以 EO ∥平面 SAD ，
又因为 EF ∥平面 SAD ，且 EO  EF  E ， EO, EF  平面 EOF ，
所以平面 SAD ∥平面 EOF ，
且平面 SAD  平面 ABCD  AD ，平面 EOF ∩ 平面 ABCD  OF ，可得 AD ∥ OF ，又因为O 为 BD 的中点，所以 F 为 AB 的中点.
如图，在四棱锥 P  ABCD 中，底面 ABCD 是菱形， PA  平面 ABCD ， E, F 分别是棱 BC, AP 的中点．
证明： PC  BD ；
证明： EF // 平面 PCD ．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）连接 AC, BD 交于点 O ，由已知证明 BD ⊥平面 PAC ，又 PC  平面 PAC ，即可证明
BD  PC ；
（2）连接OE, OF ，证明出平面 EFO// 平面 PCD ，结合面面平行的性质即可证明．
【小问 1 详解】
连接 AC, BD 交于点O ，由四边形 ABCD 是菱形得 AC ⊥BD ，因为 PA  平面 ABCD ， BD  平面 ABCD ，
所以 PA  BD ，
因为 PA  BD ， AC ⊥BD ， PA ∩ AC  A ， PA, AC  平面 PAC ，所以 BD ⊥平面 PAC ，又 PC  平面 PAC ，
所以 BD  PC ．
【小问 2 详解】连接OE, OF ，
因为四边形 ABCD 是菱形，所以点O 为 AC, BD 中点，又 E, F 分别是棱 BC, AP 的中点，
所以 FO//PC, OE //CD ，
因为 PC  平面 PCD ， FO  平面 PCD ，
所以 FO// 平面 PCD ，同理可得 EO// 平面 PCD ，因为 EO, FO  平面 EFO ，且 EO  FO  O ，
所以平面 EFO// 平面 PCD ，又 EF  平面 EFO ，所以 EF // 平面 PCD ．
如图，三棱锥 P  ABC 中， PC, AC, BC 两两垂直， BC  PC  1， AC  2 ， E, F , G 分别是
AB, AC, AP 的中点.
证明：平面GFE // 平面 PCB ；
求二面角 B  AP  C 的正切值；
求直线 PF 与平面 PAB 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） 5 ；（3） 2
26
【解析】
【分析】
由三角形中位线性质和线面平行判定定理可证得 EF // 平面 PCB ， GF // 平面 PCB ，由面面平行判定定理可证得结论；
过点C 作CH  PA ，由线面垂直的判定与性质定理可分别证得 BC  PA ， BH  PA ，可知所求二
面角的平面角为BHC ，由长度关系可求得tan BHC ，从而得到结果；
设 PB 的中点为 K ，在平面 AKC 内作 FM  AK ，由线面垂直的判定定理可证得 PB  平面
AKC ；由面面垂直的判定与性质定理可证得 FM  平面 PAB ，根据线面角的定义可知MPF 即为所求线面角，根据长度关系可求得sin MPF ，即为所求结果.
【详解】（1）m E, F , G 分别为 AB, AC, AP 的中点 EF //BC ， GF //CP
m EF  平面 PCB ， GF  平面 PCB ， BC, CP  平面 PCB
 EF // 平面 PCB ， GF // 平面 PCB
又 EF I GF  F ， EF , GF  平面GFE平面GFE // 平面 PCB
过点C 作CH  PA ，垂足为 H ，连接 HB
m BC  PC ， BC  AC ， PC  AC  C ， PC, AC  平面 PAC
 BC  平面 PAC ，又 PA  平面 PAC BC  PA
又 PA  CH ， CH  BC  C ， CH , BC  平面 BCH PA  平面 BCH
m BH  平面 BCH BH  PA
BHC 即为二面角 B  AP  C 的平面角
2 12 5tan BHC  BC 15
m AC  PC  AP  CH
CH 
5
5
CH2 52
5
即二面角 B  AP  C 的正切值是 5
2
设 PB 的中点为 K ，连接 KC, AK
在平面 AKC 内，过点 F 作 FM  AK ，垂足为 M
mPCB 等腰直角三角形 KC  PB
又 AC  PC ， AC  BC 且 PC  BC  C ， PC, BC  平面 PCB
 AC  平面 PCB ，又 PB  平面 PCB AC  PB
又 PB  KC ， AC ∩ KC  C ， AC, KC  平面 AKC
m PB  平面 PAB平面 AKC  平面 PAB
 PB  平面 AKC
m平面 AKC ∩ 平面 PAB  AK ， FM  AK ， FM  平面 AKC
FM  平面 PAB
连接 PM ，则MPF 是直线 PF 与平面 PAB 所成的角
11
又 PF 
2 ， AK 
 3 2
4  1
2
2
m FM  AK ， KC  AC
AMF ~ ACK
 MF  AF
CKAK
2
2
AF  CK11
 MF 
1
2
MF3
AK3 23
2
sin MPF 
PF26
即直线 PF 与平面 PAB 所成角的正弦值为 2
6
【点睛】本题考查立体几何中面面平行关系的证明、二面角、直线与平面所成角的求解问题；涉及到线面平行与面面平行的判定与性质定理、线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的判定与性质定理的应用等知识；求解角度问题的关键是能够通过垂直关系得到二面角的平面角或直线与平面所成角.