广西南宁市第三十六中学2024−2025学年高二下学期段考 数学试卷（含解析）

这是一份广西南宁市第三十六中学2024−2025学年高二下学期段考 数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知函数，则（ ）
A．B．
C．D．
2．若为圆的弦的中点，则直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
3．直三棱柱中，，，则与所成角为 （ ）
A．B．C．D．
4．已知可导函数的部分图象如图所示，为函数的导函数，下列结论不一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知随机变量的分布列为
则（ ）
A．B．C．D．
6．高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉，并且每一-排铁钉数目都比上一排多一个，一排中各个铁钉恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央．从入口处放入一个直径略小于两颗铁钉间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球．理论上，小球落入2号容器的概率是多少（ ）
A．B．C．D．
7．若实数数列：，，7成等差数列，则圆锥曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．君子六艺包括礼、乐、射、御、书、数，这些技能不仅是周朝贵族教育的重要组成部分，也对后世的教育体系产生了深远影响.某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，一天连排六节，每艺一节，则“礼”与“乐”之间最多间隔一艺的不同排课方法总数有（ ）
A．432种B．486种C．504种D．540种
二、多选题
9．袋子里有大小和形状完全相同的5个小球，其中红球2个，蓝球3个，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回．记“第一次摸出蓝球”为事件，“第二次摸出红球”为事件，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．摸球两次，恰有一个是红球的概率为
10．设函数，则（ ）
A．有三个零点
B．是的极小值点
C．的图象关于点中心对称
D．当时，
11．设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，过的中点作轴的平行线交抛物线于点，则（ ）
A．B．
C．的面积为D．
三、填空题
12．已知的展开式中存在常数项，请写出一个符合条件的n的值： ．
13．记为数列的前n项和，若，求 ．
14．设函数，若，，则的大小关系是 ．
四、解答题
15．记为等差数列的前项和．已知．
（1）求的通项公式；
（2）记集合，将中的元素从小到大依次排列，得到新数列，求的前20项和．
16．在平面四边形中,，，，，
将沿AC翻折至，且满足.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值.
17．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，，讨论的零点个数.
18．在一次军事演习中，某炮兵部队有甲、乙、丙三门火炮对敌方目标M进行射击，现设计了以下规则：每次让一门火炮对M射击一次，如果没有击中M就换另一门火炮进行射击，如果击中M或甲、乙、丙都射击过一次就停止射击．已知甲、乙、丙每次射击击中M的概率分别为，，，且每次射击相互独立．
(1)若按甲、乙、丙的顺序进行射击，且，，，求M被击中的概率；
(2)若安排乙第二个射击，且，要使射击总次数的数学期望较小，应该安排哪一门火炮第一个射击？
19．已知点，，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)直线与曲线交于，两点，直线，的斜率之和为0，且，求的面积.
参考答案
1．【答案】C
【详解】因为，
所以.
故选C.
2．【答案】C
【详解】由题意知直线的斜率存在，且
∴，
∵，∴，
直线的方程为，即，
故选C.
3．【答案】C
【详解】根据题意，以为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，令，
则，，，，所以，，
设与所成角为，则，所以与所成角为.
故选C.
4．【答案】B
【详解】由导数的几何意义可知，，由图可知，，所以，故A成立；
由图可知，，但不确定与的大小关系，故B不一定成立；
由图可知，，故C成立；
由图可知，函数在区间上单调递增，且增长速度越来越快，所以，故D成立.
故选B.
5．【答案】B
【详解】由分布列性质知，，
解得，则，
则．
故选B.
6．【答案】B
【详解】设事件表示“小球落入2号容器”，
若要小球落入2号容器，则需要在通过的四层中有三层向左，一层向右，
所以．
故选B．
7．【答案】D
【详解】解：由数列：，，7成等差数列得，，∴，
从而，，则曲线方程为：，
∴，
∴，
∴.
故选D
8．【答案】A
【详解】当“礼”与“乐”相邻时，有种；
当“礼”与“乐”中间插一艺时，有种；
所以“礼”与“乐”之间最多间隔一艺的不同排课方法总数有种，
故选A
9．【答案】AC
【详解】依题意可得，故A正确；
，故B不正确；
所以，故C正确；
第一次摸出蓝球，第二次摸出红球的概率为，
第一次摸出红球，第二次摸出蓝球的概率为，
所以摸球两次，恰有一个是红球为事件，故D不正确.
故选AC
10．【答案】BC
【详解】对于A，令，解得或，所以有两个零点，故A 选项错误；
对于B，由，
令，解得或，
当或时，，即在和上单调递增，
当时，，即在单调递减，
所以是的极小值点，故B选项正确；
对于C，因为，则的图象关于点中心对称，故C选项正确；
对于D，当时，单调递减，则当时，单调递减，
又当时，，所以，故D选项错误；
故选BC.
11．【答案】AD
【详解】解：对于A，直线过点，
所以抛物线的焦点，
所以，，，故A正确；
对于B，由A可知抛物线的方程为，
设，，
由，消去并化简得，
解得，，
所以，故B错误；
对于C，直线，即，
到直线的距离为，
所以三角形的面积为，故C错误；
对于D，设的中点为，
由上可知，
故，
即，
所以，
所以，故D正确.
故选AD.
12．【答案】3（答案不唯一，3的正整数倍即可）
【详解】的展开式的通项公式为，
要想展开式中存在常数项，则要有解，即，为3的正整数倍即可
故答案为3（答案不唯一，3的正整数倍即可）.
13．【答案】64
【详解】由有，当时，得，
当时，，
所以数列是以2为公比，1为首项的等比数列，
所以，所以.
14．【答案】
【详解】因为，所以函数在处的切线斜率为负
函数的图象，如下图所示
由图可知，，即
15．【答案】（1）；
（2）487
【详解】（1）设公差为，
由题意得，
解得，
故；
（2），
，
故的前20项为，
故的前20项和为
.
16．【答案】（1）证明见解析
（2）
【详解】（1），.
又平面，平面，
平面.
（2）以点A为坐标原点，垂直于AB的直线为x轴，AB所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
由，，.
，则，
故，
设平面的一个法向量为，
则，取.
设平面的一个法向量为，
则，故可取，
设二面角的平面角为，
则，故，
所以二面角的正弦值为.
17．【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析
【详解】（1）的定义域为R，.
若，令，得或，令，得；
若，令，得或，令，得.
综上，当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在，上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，，
令，则，
令，
则.
当和时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以的极小值为，的极大值为，
画出函数的大致图象，如图，
由图可知，
当或时，函数有1个零点；
当或时，函数有2个零点；
当时，函数有3个零点.
18．【答案】(1)
(2)甲先射击
【详解】（1）设事件A表示“M被击中”，
则．
（2）设射击的总次数为X，则X的所有可能取值为1，2，3．
若按甲、乙、丙的顺序射击，
则，，，
所以．
若按丙、乙、甲的顺序射击，
同理得．
因为
，
又因为，，所以，
所以要使射击总次数的数学期望较小，应该让甲先射击．
19．【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）设，由题意有：，
化简得：，又，
故所求动点的轨迹方程为：.
（2）
设直线的倾斜角为，由，得，
得，故，，即，，
联立，解得或2（舍去），故，
联立，解得或2（舍去），故，
又，，
，
故.
0
2
4