江西南昌第二中学2024~2025学年高一下册月考（二）数学试卷[附解析]

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1. 向量，且，则实数（ ）
A. 1B. -1C. -4D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据两向量平行的坐标表示定理来求解的值.
【详解】已知，，且.
根据两向量平行的坐标表示定理可得：.
即，移项可得.
故选：D.
2. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由及，解出与即可求解.
【详解】因为，且，
所以，因为，所以，，
所以.
故选：A.
3. 给出下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则的方向相同或相反；④ 若，，则. 其中错误的说法有（ ）个
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量是既有大小又有方向的量，但零向量的方向是任意的，且零向量与任意向量是共线的，所以在概念辨析时要充分考虑零向量是否也满足，从而可作出判断.
【详解】对于①，若，则，故①错误；
对于②，若，由于方向不确定是相同或相反，则或是不一定正确的，故②错误；
对于③，若，且，因为零向量的方向是任意的，则的方向不一定相同或相反；只有当时，若，则的方向相同或相反；故③错误；
对于④，若，，由于当，就不能保证，只有当时，才一定有，故④错误；
故选：D.
4. 在中，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题得，代入已知条件化简即得解.
【详解】由题得
所以,
所以.
故选：B
【点睛】方法点睛：解三角形时，遇到,要联想到和角的正切公式求解.
5. 在三角形中，已知，，点满足，则向量在向量方向上的投影为（ ）
A. B. C. -D. -
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件可得，点为的重心，可得，先计算在向量方向上的投影，进而可得向量在向量方向上的投影，即可求解.
【详解】由有，
所以，得，即，
如图设的中点为，则，
由，得，得，
所以，
所以，
向量在向量方向上的投影为：
，
因为，所以，
所以向量在向量方向上的投影为，
故选：B.
6. 已知函数f(x)=sinx+acsx的图象的一条对称轴是x=,则函数g(x)=asinx+csx的最大值是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】f(x)=sinx+acsx=sin(x+)（cs=）,
∵x=为函数f(x)图象的一条对称轴,
∴π+=kπ+(k∈Z),
又cs>0,
∴取=-,
则cs=,
∴=.
∵g(x)=sin(x+θ)（csθ=）
∴g(x)max==.故选B.
7. 如图所示，有一圆形图案，小红准备在扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）涂上颜色，已知厘米，厘米，扇形环面区域面积为100平方厘米，圆心角为弧度．记扇环的周长为厘米，的最小值为（ ）
A. 最小值20厘米B. 最小值为40厘米
C. 最小值为60厘米D. 最小值为80厘米
【答案】B
【解析】
【分析】根据弧长公式求出关于的函数表达式，根据均值不等式可求得的最小值.
【详解】依题意可得弧长，弧长，
所以扇环的周长的长度，
因为扇形的面积公式可得，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以扇环的周长的最小值为40米.
故选：B.
8. 函数的部分图像如图所示，若方程在上有两个不同的实数解，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据图像，利用对称性、余弦函数的性质以及一次函数进行求解.
【详解】由图可知：，又，
∴，又因为，
所以，解得，
由对称性可得：，
由题意得：，,
所以，故A，B，D错误.
故选：C.
二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，，则正确的有（ ）
A. B. 与方向相反单位向量是
C. 与的夹角为D. 与平行
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，直接求出，判断答案即可；对于B，先求出与同向的单位向量，再求得方向相反的单位向量即可判断；对于C，直接求出夹角的余弦值即可判断；对于D，由是否符合共线的坐标表示即可判断.
【详解】对于A，由，，则，
故选项A正确；
对于B，与同向的单位向量，
则与方向相反的单位向量是，故选项B错误；
对于C，设与的夹角为，则，
再由，则，故选项C正确；
对于D，由，
所以与不平行，故选项D错误.
故选：AC.
10. 下列式子化简正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，由诱导公式和逆用两角和的余弦公式可得结果；对于B，由诱导公式和逆用二倍角的正弦公式可得结果；
对于C，由辅助角公式可得结果；对于D，逆用两角和的正切公式可得结果.
【详解】对于A，由诱导公式可知，逆用两角和的余弦公式可得
，
故A错误；
对于B，由诱导公式可知，逆用二倍角的正弦公式可得
，故B正确；
对于C，由辅助角公式可知，
故C正确；
对于D，逆用两角和的正切公式可得，故D正确.
故选：BCD.
11. 已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在区间上单调，下列结论正确的是（ ）
A. ，其中
B.
C. 当函数在区间上单调递增时，则
D. 的最大值为7
【答案】AD
【解析】
【分析】利用已知可得，，可判断A；，，计算可判断B；由已知可得，结合，，计算可判断CD.
【详解】因为为图象的对称轴，所以，
所以，①，故A正确；
又为的零点，所以，
所以，②，
①+②，可得，
所以，，，因为，所以，故B错误；
当函数在区间上单调递增，则，③，
函数的最小正周期，所以，所以，
所以，由③-②，可得，
所以，所以为奇数，故C错误；
又，所以的最大值为7，故D正确.
故选：AD.
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12. 已知，且，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出，由，可得，再根据结合数量积的运算律即可得解.
【详解】由，得，
因为，所以，
则.
故答案为：.
13. 函数的定义域是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角函数的性质结合函数定义域列式求解即可.
【详解】要使函数有意义，
则，即，
可得，
所以函数的定义域为.
故答案为：
14. 已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形，则的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】设,用表示出的长度,进而用三角函数表示出,结合辅助角公式即可求得最大值.
【详解】设，扇形的半径为1，
则，，
，所以，
所以，
所以
，
因为，所以，
所以当，即时, 取得最大值.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：利用三角函数表示线段长，利用三角恒等变换求得最值是常用方法.
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在平行四边形中，点为中点，点在线段上，满足设.
（1）用向量表示向量；
（2）若，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用平面向量基本定理结合题设条件化简计算即可；
（2）先用向量表示出，再利用向量数量积的运算律求其模长即可.
【小问1详解】
因点为中点，点在线段上，满足
，，
故；
【小问2详解】
由题意，则，
，
所以
，
所以.
16. 已知向量，，函数．
（1）求的单调递减区间；
（2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位得到的图象，求在上的值域．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示，结合二倍角公式和辅助角公式可得，则利用正弦函数的单调递减区间即可求得答案；
（2）由图象变换得到解析式，再利用整体法求值域.
【小问1详解】
因为向量，，函数，
所以
，
令，，
解得，，
所以的单调递减区间为，．
【小问2详解】
由（1）知，
函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位，
则，
当时，，，
则．
所以在的值域为.
17. 已知单位向量，，夹角为，，，且与的夹角为．
（1）若与所成的角为锐角，求实数的取值范围；
（2）若向量为在上的投影向量，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知，先求出m，根据向量夹角是锐角列不等式，由此求得实数m的取值范围；
（2）求出，则可求出，即可求得．
【小问1详解】
因为单位向量，，夹角为，，，
则，
又，，
所以，解得，
所以，，
则由题可知，解得．
所以实数的取值范围为．
【小问2详解】
由（1）知，，
向量为在上的投影向量，
则，且，
则，
所以．
18. 已知设函数，．
（1）求函数的最小正周期．
（2）当时，方程有两个不等的实根，求的取值范围；
（3）若方程在上的解为，求．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】(1)根据倍角公式、降幂公式和辅助角公式化简，利用周期公式求解即可；
(2)由(1)可知，，令，根据方程有两个不等的实根，则需函数在上的图象与有两个交点，求解即可.
(3) 令，则函数变形为，，从而等价于，根据函数的图象与性质，可知与的两交点的横坐标，满足，则，代入，求解即可.
【小问1详解】
由题意可知，
，
所以函数的最小正周期.
【小问2详解】
令，
当时，令，则，
且在区间上单调递增，在区间上单调递减；
若使得方程有两个不等的实根，
则需函数与有两个交点，
即，，函数与有两个交点.
所以，即，
所以的取值范围为
【小问3详解】
，令，则，
所以，，
又因时，图象关于对称，且，
时，图象关于对称，且，
所以等价于，，
设为与的两交点的横坐标，则，
因为方程在上的解为，
所以，
即，即
19. 如图，设是平面内相交成的两条射线，分别为同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系.在仿射坐标系中，若，则记.
（1）在仿射坐标系中，若，求；
（2）在仿射坐标系中，若，且与的夹角为，求；
（3）如图所示，在仿射坐标系中，分别在轴，轴正半轴上，分别为中点，求的最大值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据条件，利用题设定义及数量积定义，即可求解；
（2）由，由表示出和，再由已知用表示出，因为与的夹角为，然后由，即可得到；
（3）由题意，设出坐标，表示出，由，将表示成，在中依据余弦定理可得，代入得，在中，用正弦定理，再设，可得，代入，通过三角恒等化简可得，进而得到的最大值.
【小问1详解】
由题知，又，
所以.
【小问2详解】
由题知，又，
则，，
又与的夹角为，则，解得.
【小问3详解】
依题意设，
因为，
又为BC中点，则，
为BD中点，则，
所以，，
因为，则
，
在中，由余弦定理得，所以，代入上式得，
，
在中，由正弦定理，
设，则，
所以
，其中，
则