江苏南京、镇江、徐州联盟校2024~2025学年高二下册5月学情调研数学试卷[附解析]

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注意事项：
1.考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3.将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
参考公式：，.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 一个盒子里装有大小相同的4个黑球和3个白球，从中不放回地取出3个球，则黑球个数的数学期望是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知的分布列如下表所示，设，则（ ）
A. B. C. D.
3. 为了研究某种商品的广告投入和收益之间的相关关系，某研究小组收集了5组样本数据如表所示，得到线性回归方程为，则当广告投入为10万元时，收益的预测值为（ ）万元．
A. 2.48B. 2.58C. 2.68D. 2.88
4. 将5本不同的书分给3个同学，每人至少一本，则不同的分法共有（ ）种.
A. 54B. 60C. 120D. 150
5. 已知，则的值为（ ）
A. 64B. C. 63D.
6. 如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，也叫赵爽弦图，现用5种不同颜色给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有多少种（ ）
A. 180B. 240C. 360D. 420
7. 不透明口袋中有个相同的黑色小球和红色､白色､蓝色的小球各1个，从中任取4个小球，表示当时取出黑球的数目，表示当时取出黑球的数目，则下列结论中成立的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图所示，函数及其导函数的图象有且仅有一个公共点，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最大值为
B. 函数的最小值为
C. 函数的最大值为
D. 函数的最小值为
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 如图所示，在样本数据中，根据最小二乘法求得线性回归方程为，去掉点后，下列说法正确的是（ ）
A 相关系数变大B. 残差平方和变大
C. 回归系数变大D. 回归截距变大
10. 已知随机事件，的概率分别为，，且，，，则（ ）
A. 事件与事件相互对立B. 事件与事件相互独立
C. D.
11. 已知函数，若，则下列选项中不正确是（ ）
A. B.
C. 若，则D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若，则二项式展开式中常数项为________.（结果用数字作答）
13. 已知某同学做抛硬币实验，若他连续抛掷一枚质地均匀的硬币次，要使正面至少出现一次的概率超过0.99，则至少需要抛掷硬币________次.
14. 已知函数满足，，分别是函数极大、极小值点，则________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数，为实数.
（1）若函数在处的切线经过点，求的值；
（2）若有极小值，且极小值大于2，求的取值范围.
16. 2025年5月6日凌晨，我国斯诺克球员赵心童以业余选手身份参赛，连过九轮，最终取得25年斯诺克世界锦标赛的冠军，成为了我国乃至亚洲在这一赛事上的第一人，这必将在青少年中掀起一股新的台球热.某调研机构为了解青少年对台球的喜爱程度进行问卷调查（评价结果仅有“喜爱”、“不喜爱”），从所有参与评价的对象中抽取100人进行调查，部分数据如表所示（单位：人）：
（1）请将列联表补充完整，试根据小概率值的独立性检验，能否认为“对台球运动的喜爱与性别有关”？
（2）若将频率视为概率，从所有“喜欢”的青少年中随机选取30人，记被选中的人中恰有个男生的概率为，当取何值时，取得最大值.
附：，，
17. 为庆祝五一国际劳动节，某科技企业开展人工智能知识竞赛活动，竞赛试题有甲、乙、丙三类，每类题有若干道，各类试题的每题分值及选手小李答题情况如下：甲类题答对一题得10分，小李能答对甲类题的概率为，乙类题答对一题得20分，小李能答对乙类题的概率为、丙类题答对一题得30分，小李能答对丙类题的概率为，各小题回答正确得到相应分值，否则得0分.竞赛分三轮答题依次进行，竞赛结束各轮得分之和即为选手最终得分。竞赛规则为：第一轮先回答一道甲类题，若正确进入第二轮答题，若错误继续回答另一道甲类题，该题回答正确，同样进入第二轮答题，否则退出比赛。第二轮在乙类题中选择一道作答，若正确进入第三轮答题，否则退出比赛，第三轮在丙类题中选择一道作答.
（1）求小李答题次数恰好为2次的概率；
（2）求小李最终得分数学期望.
18. 某学校有两家餐厅，王同学每天中午会在两家餐厅中选择一家用餐，如果前一天选择了餐厅则后一天继续选择餐厅的概率为，前一天选择餐厅则后一天选择餐厅的概率为，如此往复．已知他第1天选择餐厅的概率为，第2天选择餐厅的概率为．
（1）求王同学第天恰好有两天在餐厅用餐概率；
（2）求王同学第天选择餐厅用餐的概率．
19. 若存在一个实数，使得对于函数定义域内的任意，都有，则称有下界，且是的一个下界.
（1）求函数的下界的取值范围：
（2）若1是函数的一个下界，求的取值集合；
（3）若是函数的一个下界，求证：的最大值为0.1
2
3
4
/万元
1
2
3
4
5
/万元
0.50
0.80
1.00
1.20
1.50
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合计
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40
50
女生
30
合计
100