河南信阳信阳高级中学2024~2025学年高二下册5月测试（二）数学试卷[附解析]

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数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则
A．B．C．D．
2．设，为同一个随机试验中的两个事件，若，，，则
A．B．C．D．
3．已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，，，则的值为
A．8B．10C．9D．6
4．通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到列联表，并由计算得：，参照附表，则下列结论正确的是
附：
A．根据小概率值的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关
B．根据小概率值的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001
C．根据小概率值的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关
D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，我们认为爱好跳绳与性别无关
5．已知函数在处取得极大值6，则
A．B．8C．D．12
6．若，则
A．256B．127C．128D．129
7．已知一件工艺品由外层一个封闭的大正方体，内层一个正四面体构成，已知外层正方体的棱长为2，在该大正方体内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体可在大正方体内任意转动，则a的最大值为
A．B．C．D．
8．已知过抛物线焦点的直线与该抛物线交于两点，若，则的最大值为
A．2B．3C．4D．6
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分.
9．下列说法正确的是
A．若随机变量满足：，则相互独立
B．已知随机变量，若，则.
C．若的展开式中二项式系数的和为64，则系数最大的项为第4项
D．一组数据的经验回归方程为，则当时，残差为1
10．某文化传播公司拟派包含A，B在内的5名员工同一时间去往甲、乙、丙等3个不同的地方参观学习，每个地方至少要派遣1名员工，则下列说法正确的是
A．若甲地只安排1名员工参观学习，则不同的派遣方案有70种
B．若A不去乙地，则不同的派遣方案有100种
C．若A，B去往不同的地方，则不同的派遣方案有72种
D．若去往甲地的人数不得少于丙地，则不同的派遣方案有110种
11．已知函数的定义域，满足，，，，，则下列说法正确的是
A．B．是等差数列
C．D．数列的前50项和
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知某市高三年级某次模拟考试中数学试卷的满分为150分，阅卷结果显示，全市100000名学生的数学成绩近似服从正态分布，则这次考试数学成绩超过140分的人数约为 .（附：若随机变量服从，则，3）
13．已知圆的方程为，直线的方程为，直线被圆截得的弦中长度为整数的共有 条.
14．某公司举行抽奖活动，在箱子里装有个红球和4个黑球，这些小球除颜色外完全相同.在一次抽奖过程中，某员工从中一次性抽取两个小球，抽出两个小球颜色均为红色视为中奖，其余情况均未中奖.假设在有放回地连续3次抽奖中恰好中奖一次的概率为，则当取到最大值时的值为 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）①若恒成立，求实数的取值集合；
②证明：.
16．如图，在四棱台中，底面为正方形，为的中点，．
（1）求证：；
（2）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
17．2024年10月30日，我国神舟十九号载人飞船顺利升空，并与中国空间站成功对接．为弘扬航天精神，某大学举办了一次“逐梦星辰大海——航天杯”知识竞赛．竞赛分为初赛和决赛，初赛规则为：每位参赛者依次回答5道题，连续答错2道题或5道题都答完，则比赛结束．假定大学生张某答对这5道题的概率依次为，且各题是否答对互不影响．
（1）若至少连续答对4道题，可得到一张直升卡，直接进入决赛，求张某得到直升卡的概率；
（2）记张某初赛结束时已答题的个数为，求的分布列及数学期望．
18．对于数列且，则称数列为的“四分差数列”．已知数列为数列的“四分差数列”．
（1）若，求的值．
（2）设．
①求的通项公式；
②若数列满足，且的前n项和为，证明：．
19．已知植圆的离心率为，且过点．
（1）求福圆的方程；
（2）若直线与交于不同两点，且满足为坐标原点，则：
①的面积是否为定值？
②椭圆上是否存在点（异于点$P、Q$），满足，如果存在，请判断的形状；如果不存在，请说明理由．α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828