甘肃兰州第一中学2023~2024学年高二下册期末学业质量检测数学试卷[附解析]

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一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列各关系不属于相关关系的是（ ）
A.产品的成本与生产数量B.球的表面积与体积
C.家庭的支出与收入D.人的年龄与体重
2.已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为（ ）
A.0B.1C.0.3D.
3.已知函数在处有极值，则（ ）
A.B.C.D.
4.已知二面角，其中平面的一个法向量，平面的一个法向量，则二面角的大小可能为( )
A.B.C.或D.
5.根据历年气象统计资料，某地四月份某日刮东风的概率为，下雨的概率为，既刮东风又下雨的概率为，则在下雨条件下刮东风的概率为（ ）
A.B.C.D.
6.某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中的产量 （吨）与相应的生产能耗 （吨）的几组对应数据如表所示：
根据表中数据得出关于的线性回归方程为，若生产7吨产品，预计相应的生产能耗为（ ）
吨吨C.5.5吨D.9.5吨
7.甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用七局四胜制，先赢四局者获胜，没有平局、甲每局赢的概率为，已知前两局甲输了，则甲最后获胜的概率为（ ）
A.B.C.D.
8.对于三次函数给出定义:设是函数导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面探究结果，计算（ ）
A 1010B.2020C.2023D.2024
二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）
9.已知在体能测试中，某校学生的成绩服从正态分布，其中60分为及格线，则下列结论中正确的有（ ）（附：随机变量，则
A.该校学生成绩的均值为70B.该校学生成绩的标准差为4
C.该校学生成绩的标准差为16D.该校学生成绩及格率超过95%
10.设离散型随机变量X的分布列如下表，若离散型随机变量Y满足，则下列结果正确的是（ ）
A.B.，
C.，D.，
11.在长方体中，，，动点在体对角线上（含端点），则下列结论正确的有（ ）
A.当为中点时，为锐角
B.存在点，使得平面
C.的最小值
D.顶点到平面的最大距离为
12.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，则下列结论正确的是（ ）
A.B.
C.数列是等比数列D.的数学期望
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知直线的方向向量为，平面的法向量为若，则实数的值为___________.
14 已知随机变量服从二项分布，若，，则_______.
15.在我国古代数学名著《九章算术》中，四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．已知在鳖臑中，平面ABC，．M为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为______．
16.赌博有陷阱．某种赌博每局规则是：赌客先在标记有，，，，的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量和分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则________（元）．
四、解答题（本大题共5小题，每小题14分，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.已知函数
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）求曲线过点的切线方程.
18.某商场为提高服务质量，随机调查了位男顾客和位女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或者不满意的评价，得到下面部分列联表：
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）完成题目中的列联表，并通过计算判断能否有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异?
附:
19.某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，调查得该地一建设银行连续五年的储蓄存款（年底余额），为了研究计算的方便，记年为，年为依次下去，得到下表：
（1）求关于的线性回归方程；
（2）用所求回归方程预测到年年底，该地储蓄存款额可达多少?
附：对于线性回归方程，其中.
20.如图，在中，，，，可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角直二面角.动点在线段上.
（1）当为的中点时，求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求与平面所成角的正弦值的最大值.
21.已知函数.
（1）若有两个零点，的取值范围；
（2）若方程有两个实根、，且，证明：.
3
4
5
6
2.5
3
4
4.5
X
0
1
2
3
4
P
0.4
0.1
0.2
0.2
满意
不满意
合计
男顾客
10
女顾客
15
合计
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
1
2
3
4
5
储蓄存款（千亿元）
5
6
7
8
10