苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义暑假作业02认识概率(知识梳理+5大题型+拓展突破)(原卷版+解析)

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暑假作业02 认识概率
知识点01 确定事件与随机事件：
（1）确定事:事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
（2）随机事件:在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1；
②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0；
③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．
知识点02 可能性的大小：
随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：
知识点03 概率的意义：
（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率，会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p．
（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．
（3）概率取值范围：0≤p≤1．
（4）必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0．
（4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．
知识点04 利用频率估计概率
（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
题型一 确定事件与随机事件
1．下列事件中是随机事件的是（ ）
A．煮熟的种子会发芽B．路过红绿灯路口遇到红灯
C．昨天是星期一，今天是星期二D．将3个人分成两组，有2人分在一组
2．连续三次抛掷一枚硬币都是正面朝上，则第四次抛掷，结果正面朝上是 事件（选填“不可能”、“必然”、“随机”）．
3．世界杯小组赛分成八个小组，每小组4个队，小组进行单循环（每个队都与该小组的其他队比赛一场）比赛，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，积分最高的2个队进入16强，请问：
(1)每小组共比赛多少场？
(2)在小组比赛中，现有一队得到6分，该队出线是确定性事件还是随机事件？
题型二 可能性的大小
1．下列事件，是必然事件的是（ ）
A．通常加热到，水沸腾
B．经过有信号灯的路口，遇到红灯
C．掷一次骰子，向上一面点数是6
D．射击运动员射击一次，命中靶心
2．估计下列俗语描述的事件发生的可能性大小：
①瞎猫碰到死耗子；②煮熟的鸭子飞了；③种瓜得瓜
将这些俗语的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为 ．
3．判断下列随机事件是否属于等可能事件，若属于，有几种等可能的结果？
(1)从6件正品和2件次品中，随机抽取3件的质量情况；
(2)一次射击命中的环数；
(3)一枚硬币投抛一次．
题型三 求某事件的频率
1．学习了用频率估计概率一节后，小聪随机抛掷一枚质地均匀的骰子，随着抛掷次数的增多，落下后，“朝上的一面的点数是6”的频率最可能接近（ ）
A．B．C．D．
2．我们把一个样本的40个数据分成4组，其中第1、2、3组的频数分别为6、12、14，则第4组的频率为 ．
3．某次数学测验中，一道题满分3分，老师评分只给整数，即得分只能为0分，1分，2分，3分．李老师为了了解学生得分情况和试题的难易情况，对初三（1）班所有学生的试题进行了分析整理，并绘制了两幅尚不完整的统计图，如图所示．
解答下列问题：
（1）m= ，n= ，并补全条形统计图；
（2）在初三（1）班随机抽取一名学生的成绩，求抽中的成绩为得分众数的概率；
（3）根据右侧“小知识”，通过计算判断这道题对于该班级来说，属于哪一类难度的试题？
题型四 由频率估计概率
1．不透明的盒子里装有分别标记了数字1，2，3，4，5，6的6个小球，这6个小球除了标记的数字不同之外无其他差别，小华进行某种重复摸球试验，从不透明的盒子中随机摸出一个小球，记录小球上的数字后放回袋中，如图是小华统计的试验结果，根据以上信息，小华进行的摸球试验可能是（ ）
A．摸出标记数字为偶数的小球B．摸出标记数字为5的小球
C．摸出标记数字比2大的小球D．摸出标记数字能被3整除的小球
2．某种树苗移植的成活情况记录如下：
估计该树苗移植成活的概率为 （结果精确到0.01）．
3．某批乒乓球的质量检验结果如下表：
(1)填写表中的空格；
(2)这批乒乓球优等品概率的估计值是多少？（结果保留小数点后一位）
题型五 用频率估计概率的综合应用
1．在一个不透明的盒子里装着10个大小相同且质地均匀的白球和黑球．小杰想估计其中的白球数量．做了以下实验，从袋中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．得到如表所示的数据．请估算盒子里白球的个数有（ ）个
A．无法估计B．8个C．6个D．2个
2．袋子中有大小、形状相同的红球、白球、黄球共40个，王光通过多次摸球试验后，发现摸到红球、白球、黄球的频率依次为20%，35%，45%，则红球、白球、黄球分别约有 个， 个， 个．
3．某玩具公司承接了第19届杭州亚运会吉祥物公仔的生产任务，现对一批公仔进行抽检，其结果统计如下，请根据表中数据，回答问题：
(1)从这批公仔中任意抽取1只公仔是优等品的概率的估计值是_________；（精确到0．01）
(2)若该公司这一批次生产了10000只公仔，求这批公仔中优等品大约有多少只？
1．下列事件属于随机事件的是（ ）
A．常压下，温度降到以下，自来水会结冰B．随意打开一本书，书的页码是奇数
C．任意一个五边形的外角和等于D．如果，那么
2．下列说法正确的是（ ）
A．生活中，为了强调某件事情一定会发生，有人会说“这件事百分之二百会发生”，这句话是正确的；
B．为了了解一批炮弹的杀伤力，采用普查的调查方式比较合适；
C．“任意画一个平行四边形，它是轴对称图形”是不可能事件；
D．“同时抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为13”是确定事件；
3．若实数、满足，则下列事件是随机事件的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，或，
4．下列事件：
①如果a、b都是实数，那么；
②没有空气，动物也能长期生存下去；
③直径平分弦一定垂直于弦；
④不管k为何值，直线一定过点；
⑤某一天内电话收到的呼叫次数为0．
其中，属于确定事件的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不许将球倒出来数的情况下，为了估计白球数，则刚向其中放入了4个黑球，搅匀后从中随意摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复这一过程，若摸球100次，其中20次摸到黑球，则盒中大约有白球（ ）
A．12个B．16个C．20个D．24个
6．有4根小棒，长度分别是1，6，7，8，从中任取3根，能围成三角形的可能性比不能围成三角形的可能性( )．（填“大”或“小”）
7．我们将2022年2月2日用一组数字“20220202”表示，这组数字中“2”出现的频率是 ．
8．“头盔是生命之盔”质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表：
如果从该工厂生产出来的头盔中任取一个，则该头盔是合格的概率为 ．（精确到0.01）
9．在一个不透明的袋子中装有个红球、个白球和个黑球，这些球除颜色外都相同．从中任意摸出个球，摸到 色的球的可能性最大．(填“红”、“白”或“黑”)
10．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其它完全相同．小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在20%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是 ．
11．世界杯决赛分成8个小组，每小组4个队，小组进行单循环（每个队都与该小组的其他队比赛一场）比赛，选出2个队进入16强，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．
(1)求每小组共比赛多少场？
(2)在小组比赛中，现有一队得到6分，该队出线是一个确定事件，还是不确定事件？
12．判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不确定事件，哪些是不可能事件？
事件1：三条边对应相等的两个三角形全等
事件2：三个角对应相等的两个三角形全等
事件3：有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
事件4：有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
事件5：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
13．在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
(1)请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到0.1）；
(2)试估计袋子中有黑球 个；
(3)若学习小组通过试验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以在袋子中增加相同的白球 个或减少黑球 个．
14．数学课上，师生进行了摸球试验：一只不透明的袋子中装有编号分别为1、2、3、…、的小球（除编号外完全相同）：
活动一：当时，从中随机摸出一个球记录编号后放回袋中并摇匀，再随机摸出一个球记录下编号后放回袋中并摇匀，重复上述操作，若事件：“记录的编号中出现两个相同的编号”是必然事件，则最少需摸______次．
活动二：当时，从中随机摸出一个球记录编号后放回袋中并摇匀，再随机摸出一个球记录下编号后放回袋中并摇匀，重复上述操作．
（1）若事件：“记录的编号中出现两个相同的编号”是必然事件，则最少需摸______次．
（2）若事件：“记录的编号中出现三个相同的编号”是必然事件，则最少需摸______次．
活动三：在这只装有编号分别为1、2、3、…、的小球（除编号外完全相同）的不透明的袋子中，从中随机摸出一个球记录编号后放回袋中并摇匀，再随机摸出一个球记录下编号后放回袋中并摇匀，重复上述操作，若事件：“记录的编号中出现4个相同的编号”是必然事件至少需要摸100次，则袋中有多少个小球？
15．为了提高学生阅读能力，某校倡议八年级学生利用双休日加强课外阅读，为了解同学们阅读的情况，学校随机抽查了部分同学周末阅读时间，并且得到数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题：
(1)本次调查的学生有________人；请将条形统计图补充完整；
(2)扇形统计图中，求出“1.5小时”部分所对的扇形圆心角度数；
(3)若该校八年级共有500人，现从中随机抽取一名学生，你认为“抽到周末阅读时间为1.5小时的学生”与“抽到周末阅读时间不高于1小时的学生”的可能性哪个大？________．（直接写出结果）
1．（2023·江苏扬州·中考真题）某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下：
这种绿豆发芽的概率的估计值为 （精确到0.01）．
2．（2023·江苏徐州·中考真题）下列事件中的必然事件是（ ）
A．地球绕着太阳转B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．天空出现三个太阳D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
3．（2022·江苏泰州·中考真题）如图，一张圆桌共有3个座位，甲、乙，丙3人随机坐到这3个座位上，则甲和乙相邻的概率为( )
A．B．C．D．
4．（2020·江苏扬州·中考真题）大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的苏康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为2cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为 ．
5．（2019·江苏盐城·中考真题）某公司其有名销售人员，为了解该公司销售人员某季度商品销售情况，随机抽取部分销售人员该季度的销售数量，并把所得数据整理后绘制成如下统计图表进行分析．
频率分布表
请根据以上信息，解决下列问题：
（1）频数分布表中，________、________：
（2）补全频数分布直方图；
（3）如果该季度销量不低于件的销售人员将被评为“优秀员工”，试估计该季度被评为“优秀员工”的人数．
移植数量（棵）
20
40
100
200
400
1000
移植成活的数量（棵）
15
33
78
158
321
801
移植成活的频率
0.750
0.825
0.780
0.790
0.801
0.801
抽取的乒
乓球数
优等品的
个数
优等品的
频率
摸球的次数m
20
40
60
80
120
160
200
摸到白球的次数n
15
33
49
63
97
126
160
摸到白球的频率
0.75
0.83
0.82
0.79
0.81
0.79
0.8
抽取的公仔数
10
100
1000
2000
3000
5000
优等品的频数
9
96
951
1900
2856
4750
优等品的频率
0.9
0.96
0.951
0.95
0.952
0.95
抽查的头盔数n
100
200
300
500
800
1000
3000
合格的头盔数m
95
194
289
479
769
960
2880
合格头盔的频率
0.950
0.945
0.962
0.958
0.961
0.960
0960
摸球的次数n
1000
2000
3000
5000
8000
10000
摸到黑球的次数m
650
1180
1890
3100
4820
6013
摸到黑球的频率
0.65
0.59
0.63
0.62
0.6025
0.6013
每批粒数n
2
5
10
50
100
500
1000
1500
2000
3000
发芽的频数m
2
4
9
44
92
463
928
1396
1866
2794
发芽的频率（精确到0.001）
1.000
0.800
0.900
0.880
0.920
0.926
0.928
0.931
0.933
0.931
组别
销售数量（件）
频数
频率
A
B
C
D
E
合计