苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义第06练矩形、菱形、正方形(暑假分层作业)(原卷版+解析)

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（一）矩形
矩形是特殊的平行四边形，从运动变化的观点来看，当平行四边形的一个内角变为90°时，其它的边、角位置也都随之变化。因此矩形的性质是在平行四边形的基础上扩充的。
1.矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（通常也叫做长方形）
2.矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角。
3．矩形性质定理2：矩形的对角线相等。
4.矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形。
说明：因为四边形的内角和等于360度，已知有三个角都是直角，那么第四个角必定是直角。
5.矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。
说明：要判定四边形是矩形的方法是：
方法一：先证明出是平行四边形，再证出有一个直角（这是用定义证明）
方法二：先证明出是平行四边形，再证出对角线相等（这是判定定理1）
方法三：只需证出三个角都是直角。（这是判定定理2）
（二）菱形
菱形也是特殊的平行四边形，当平行四边形的两个邻边发生变化时，即当两个邻边相等时，平行四边形变成了菱形。
1.菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2.菱形的性质1：菱形的四条边相等。
3.菱形的性质2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
4.菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形。
5.菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
说明：要判定四边形是菱形的方法是：
方法一：先证出四边形是平行四边形，再证出有一组邻边相等。（这就是定义证明）。
方法二：先证出四边形是平行四边形，再证出对角线互相垂直。（这是判定定理2）
方法三：只需证出四边都相等。（这是判定定理1）
（三）正方形
正方形是特殊的平行四边形，当邻边和内角同时运动时，又能使平行四边形的一个内角为直角且邻边相等，这样就形成了正方形。
1.正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2.正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等。
3.正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
4.正方形判定定理互：两条对角线互相垂直的矩形是正方形。
5.正方形判定定理2：两条对角线相等的菱形是正方形。
注意：要判定四边形是正方形的方法有
方法一：第一步证出有一组邻边相等； 第二步证出有一个角是直角；第三步证出是平行四边形。（这是用定义证明）
方法二：第一步证出对角线互相垂直；第二步证出是矩形。（这是判定定理1）
方法三：第一步证出对角线相等；第二步证出是菱形。（这是判定定理2
1．如图，在矩形纸片ABCD中，，，折叠纸片使边DC落在对角线DB上，折痕为DE，则的面积为（ ）
A．3B．6C．9D．18
2．一组对边平行，且对角线相等的四边形是( )
A．等腰梯形B．矩形
C．正方形D．等腰梯形或矩形
3．如图，已知四边形ABCD的对角线互相垂直，若适当添加一个条件，就能判定该四边形是菱形．那么这个条件可以是（ ）
A．BA＝BCB．AC＝BD
C．AB∥CDD．AC、BD互相平分
4．如图，在矩形中，对角线、交于点，，以下说法错误的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是（ ）
A．128B．64C．32D．144
6．如图，O为菱形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，若AC＝6，BD＝8，则线段OE的长为（ ）
A．3B．C．5D．6
7．两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图所示的方式交叉叠放，AB＝AF，AE＝BC．AE与BC交于点G，AD与CF交于点H，且∠AGB＝30°，AB＝2，则四边形AGCH的周长为（ ）
A．4B．8C．D．16
8．如图，点为矩形的对称中心，点从点出发沿向点运动，移动到点停止，延长交于点，则四边形形状的变化依次为（ ）
A．平行四边形菱形平行四边形矩形B．平行四边形正方形平行四边形矩形
C．平行四边形正方形菱形矩形D．平行四边形菱形正方形矩形
9．如图，将两条宽度均为2的纸条相交成角叠放，则重合部分构成的四边形的面积为______．
10．如图，正方形ABCD的面积为5，正方形CEFG的面积为2，点G在线段CD上，且B、C、E三点在一条直线上，联结AC、AE，则△ACE的面积是_____．
11．如图，在矩形中，若，，则的长为________．
12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝8，AC＝6，OE∥AB，交BC于点E，则OE的长为______．
13．如图，P是菱形ABCD的对角线AC上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F．
(1)若∠BAD＝60°，PE＝1，求AE的长．
(2)若∠BAD＝90°，判断四边形AEPF的形状，并说明理由．
14．如图，在四边形ABCD中，，E为BC的中点，，．
(1)求证：四边形ABED是菱形；
(2)过点E作于点F，若，，求EF的长．
15．如图，点E在平行四边形ABCD的对角线AC上，连BE并延长到F，使BE＝EF，连DF．
(1)求证：DF∥AC
(2)若BF＝2AB且CD与EF的交点G正好是CD的中点，请连接CF、DE，判断四边形CEDF的形状，并证明．
16．如图，平行四边形中，对角线、相交于点， BE∥AC交的延长线于点，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求四边形的面积．
17．如图1，点E是正方形ABCD的边BC上的任意一点（不与B、C重合），EF⊥AE与正方形的外角∠DCG的角平分线交于点F．
(1)求证：AE＝EF
(2)将图1放在平面直角坐标系中，如图2，连DF、BF，BF与AE交于点H，若正方形ABCD的边长为4，则四边形ABFD的面积是否随E点位置的变化而变化？若不变，请求出四边形ABFD的面积．
(3)在（2）的条件下，若S△BCF＝4，求四边形AHFD的面积．