河北省邯郸市汉光中学2024—2025学年上学期九年级第一次月考数学试卷+

这是一份河北省邯郸市汉光中学2024—2025学年上学期九年级第一次月考数学试卷+，共13页。试卷主要包含了二次函数y＝2，解方程，若A等内容，欢迎下载使用。
1．下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A．B．
C．y＝2x2﹣1D．
2．将一元二次方程2x2+1＝5x化为一般形式后，常数项为1，则一次项系数是（ ）
A．﹣5B．5C．2D．﹣2
3．二次函数y＝2（x+1）2+3的最小值是（ ）
A．﹣1B．1C．2D．3
4．解方程（x+1）2＝3（1+x）的最佳方法是（ ）
A．直接开平方法B．配方法
C．公式法D．因式分解法
5．抛物线y＝3x2+2x﹣1与y轴的交点坐标是（ ）
A．（0，1）B．（0，﹣1）C．（﹣1，0）D．（，0）
6．若关于x的方程x2﹣kx﹣3＝0的一个根是x＝3，则k的值是（ ）
A．﹣2B．2C．D．
7．在手拉手学校联谊活动中，参加活动的每个同学都要给其他同学发一条励志短信，总共发了110条，设参加活动的同学有x个，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．B．
C．x（x+1）＝110D．x（x﹣1）＝110
8．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，可知方程ax2+bx+c＝0的一个根为x＝5，则方程的另一个根为（ ）
A．x＝﹣1B．x＝0
C．x＝1D．x＝2
9．将二次函数y＝2x2的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ）
A．y＝2（x+2）2+3B．y＝2（x+2）2﹣3
C．y＝2（x﹣2）2﹣3D．y＝2（x﹣2）2+3
10．若A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝2（x﹣1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
11．若二次函数y＝ax2的图象经过点A（3，﹣6），则该图象必经过点（ ）
A．（﹣3，6）B．（﹣3，﹣6）C．（6，﹣3）D．（6，3）
12．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．且k≠1D．且k≠1
13．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（ ）
A．B．C．D．
14．已知，二次函数y＝ax2+bx+c图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＞0；
④2a﹣b﹣c＞0；
⑤a+b≥m（am+b）（其中，m为任意实数）．
．2
A个B．3个C．4个D．5个
15．已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
①抛物线开口向下；②抛物线的对称轴为直线x＝﹣1；③m的值为0；④图象不经过第三象限．
上述结论中正确的是（ ）
A．①④B．②④C．③④D．②③
16．如图，现要在抛物线y＝x（4﹣x）上找点P（a，b），针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，甲：若b＝5，则点P的个数为0；乙：若b＝4，则点P的个数为1；丙：若b＝3，则点P的个数为1．
下列判断正确的是（ ）
A．乙错，丙对B．甲和乙都错
C．乙对，丙错D．甲错，丙对
二．填空题（共3小题，每空3分，共9分）
17．抛物线y＝1﹣3x2的顶点是 ．
18．二次函数y1＝ax2+bx+c的图象与一次函数y2＝kx+b的图象如图所示，当y2＞y1时，根据图象写出x的取值范围 ．
19．如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y＝a（x﹣m）2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标最大值为 ．
三．解答题（共7小题，共73分）
20．解下列方程（共8分，每题4分）
①﹣3x2﹣4x+4＝0 ②2x2﹣5x+3＝0（用配方法）
21．（10分）已知：二次函数y＝x2+bx+3的图象经过点（3，0）．
（1）求b的值；
（2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
22．（10分）已知二次函数的图象如图所示．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）观察图象，当﹣2＜x＜1时，y的取值范围为 ；
（3）若将该二次函数图象向上平移m个单位长度后恰好过点（﹣2，0），求m的值．
23．（11分）如图，坐标平面上有一透明片，透明片上有一抛物线L：y＝2+（7﹣x）2．
（1）写出L的对称轴和y的最小值；
（2）点P为透明片上一点，P的坐标为（9，6）．平移透明片，平移后，P的对应点为P′，抛物线L的对应抛物线为L′，其表达式恰为y＝x2﹣6x+7，求PP′移动的最短路程．
24．（11分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t s．
（1）BP＝ cm，BQ＝ cm；
（2）t为何值时△PBQ的面积为32cm2？
（3）t为何值时△PBQ的面积最大？最大面积是多少？
25．（11分）一所大学在刚进入校门的广场处修建了一个喷泉，在水池中央垂直于地面处安装了柱子，在柱子顶端A处安装了一个喷头向外喷水．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图是该喷泉其中一股水流的平面示意图．以柱子底部为坐标原点，以水平面为x轴，过原点且垂直于x轴的直线为y轴建立平面直角坐标系．已知柱子在水面以上OA的高度为1.25m，为使水流形状较为漂亮，要求水流在距离柱子1m处达到距水平面最高，且最高为2.25m．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若不计其他因素，当喷泉池的半径为2.8米时，喷出的水流是否会落到池外？
26．（12分）如图，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点B、A，抛物线y＝a（x﹣2）2+k经过点A、B，其顶点为C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）求△ABC的面积．
（3）点P为直线AB上方抛物线上的任意一点，过点P作PD∥y轴交直线AB于点D，求线段PD的最大值及此时点P的坐标．
2024-2025学年汉光中学九年级（上）第一次月考数学试卷
一．选择题（共16小题，1-6每题3分，7-16每题2分，共38分））
1．下列各式中，y是x的二次函数的是（ C ）
A．B．
C．y＝2x2﹣1D．
2．将一元二次方程2x2+1＝5x化为一般形式后，常数项为1，则一次项系数是（ A ）
A．﹣5B．5C．2D．﹣2
3．二次函数y＝2（x+1）2+3的最小值是（ D ）
A．﹣1B．1C．2D．3
4．解方程（x+1）2＝3（1+x）的最佳方法是（ D ）
A．直接开平方法B．配方法
C．公式法D．因式分解法
5．抛物线y＝3x2+2x﹣1与y轴的交点坐标是（ B ）
A．（0，1）B．（0，﹣1）C．（﹣1，0）D．（，0）
6．若关于x的方程x2﹣kx﹣3＝0的一个根是x＝3，则k的值是（ B ）
A．﹣2B．2C．D．
7．在手拉手学校联谊活动中，参加活动的每个同学都要给其他同学发一条励志短信，总共发了110条，设参加活动的同学有x个，根据题意，下面列出的方程正确的是（ D ）
A．B．
C．x（x+1）＝110D．x（x﹣1）＝110
8．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，可知方程ax2+bx+c＝0的一个根为x＝5，则方程的另一个根为（ A ）
A．x＝﹣1B．x＝0
C．x＝1D．x＝2
9．将二次函数y＝2x2的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ C ）
A．y＝2（x+2）2+3B．y＝2（x+2）2﹣3
C．y＝2（x﹣2）2﹣3D．y＝2（x﹣2）2+3
10．若A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝2（x﹣1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ B ）
11．若二次函数y＝ax2的图象经过点A（3，﹣6），则该图象必经过点（ B ）
A．（﹣3，6）B．（﹣3，﹣6）C．（6，﹣3）D．（6，3）
12．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ D ）
A．B．C．且k≠1D．且k≠1
13．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（ A ）
A．B．C．D．
14．已知，二次函数y＝ax2+bx+c图象如图所示，则下列结论正确的是（ B ）
①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＞0；
④2a﹣b﹣c＞0；
⑤a+b≥m（am+b）（其中，m为任意实数）．
．2
A个B．3个C．4个D．5个
15．已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
①抛物线开口向下；②抛物线的对称轴为直线x＝﹣1；③m的值为0；④图象不经过第三象限．
上述结论中正确的是（ C ）
A．①④B．②④C．③④D．②③
16．如图，现要在抛物线y＝x（4﹣x）上找点P（a，b），针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，甲：若b＝5，则点P的个数为0；乙：若b＝4，则点P的个数为1；丙：若b＝3，则点P的个数为1．
下列判断正确的是（ C ）
A．乙错，丙对B．甲和乙都错
C．乙对，丙错D．甲错，丙对
二．填空题（共3小题，每空3分，共9分）
17．抛物线y＝1﹣3x2的顶点是 （0，1） ．
18．二次函数y1＝ax2+bx+c的图象与一次函数y2＝kx+b的图象如图所示，当y2＞y1时，根据图象写出x的取值范围 ﹣2＜x＜1 ．
19．如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y＝a（x﹣m）2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标最大值为 8 ．
三．解答题（共7小题，共73分）
20．解下列方程（共8分，每题4分）
①﹣3x2﹣4x+4＝0 ②2x2﹣5x+3＝0（用配方法）
【解答】解：①﹣3x2﹣4x+4＝0， ②2x2﹣5x+3＝0，
3x2+4x﹣4＝0， 2（x2﹣x+）﹣+3＝0，
（3x﹣2）（x+2）＝0， 2（x﹣）2＝，
∴3x﹣2＝0，x+2＝0， （x﹣）2＝，
解得x1＝，x2＝﹣2； 解得x﹣＝±，
∴x1＝+＝，x2＝﹣+＝1．
21．（10分）已知：二次函数y＝x2+bx+3的图象经过点（3，0）．
（1）求b的值；
（2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+3的图象经过点（3，0），
∴32+3b+3＝0，∴b＝﹣4；
（2）∵b＝﹣4，∴二次函数解析式为y＝x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣1＝（x﹣2）2﹣1，
∴二次函数的顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x＝2．
22．（10分）已知二次函数的图象如图所示．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）观察图象，当﹣2＜x＜1时，y的取值范围为 ﹣4≤y＜0 ；
（3）若将该二次函数图象向上平移m个单位长度后恰好过点（﹣2，0），求m的值．
【解答】解：（1）根据图象可知，二次函数的顶点为（﹣1，﹣4），
设二次函数的表达式为y＝a（x+1）2﹣4，且图象过点（1，0），
∴0＝a×（1+1）2﹣4，
解得：a＝1，
∴二次函数的表达式为y＝（x+1）2﹣4，
（2）由（1）得：二次函数的表达式为y＝（x+1）2﹣4，
∴当x＝﹣1时，y有最小值﹣4，
当x＝1或x＝﹣2时，y＝0，
∴当﹣2＜x＜1时，y的取值范围为﹣4≤y＜0，
故答案为：﹣4≤y＜0，
（3）由题意得：平移后的解析式为y＝（x+1）2﹣4+m，
∵过点（﹣2，0），∴0＝（﹣2+1）2﹣4+m，解得：m＝3．
23．（11分）如图，坐标平面上有一透明片，透明片上有一抛物线L：y＝2+（7﹣x）2．
（1）写出L的对称轴和y的最小值；
（2）点P为透明片上一点，P的坐标为（9，6）．平移透明片，平移后，P的对应点为P′，抛物线L的对应抛物线为L′，其表达式恰为y＝x2﹣6x+7，求PP′移动的最短路程．
【解答】解：（1）∵抛物线L：y＝2+（7﹣x）2，
∴L的对称轴为：直线x＝7，y的最小值为2；
（2）∵平移后的抛物线L′的解析式为y＝x2﹣6x+7＝（x﹣3）2﹣2，原抛物线L：y＝（x﹣7）2+2，
∴是向左平移4个单位，再向下平移4个单位，
∵P的坐标为（9，6），
∴平移后的点P′（5，2），
∴PP′移动的最短路程＝＝＝4，
∴PP′移动的最短路程为4．
24．（11分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t s．
（1）BP＝ （12﹣2t） cm，BQ＝ 4t cm；
（2）t为何值时△PBQ的面积为32cm2？
（3）t为何值时△PBQ的面积最大？最大面积是多少？
【解答】解：（2）△PBQ的面积S＝
＝（12﹣2t）×4t
＝﹣4t2+24t＝32，
解得：t＝2或4，
即当t＝2秒或4秒时，△PBQ的面积是32cm2；
（3）S＝﹣4t2+24t
＝﹣4（t﹣3）2+36，
所以当t为3时△PBQ的面积最大，最大面积是36cm2．
25．（11分）一所大学在刚进入校门的广场处修建了一个喷泉，在水池中央垂直于地面处安装了柱子，在柱子顶端A处安装了一个喷头向外喷水．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图是该喷泉其中一股水流的平面示意图．以柱子底部为坐标原点，以水平面为x轴，过原点且垂直于x轴的直线为y轴建立平面直角坐标系．已知柱子在水面以上OA的高度为1.25m，为使水流形状较为漂亮，要求水流在距离柱子1m处达到距水平面最高，且最高为2.25m．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若不计其他因素，当喷泉池的半径为2.8米时，喷出的水流是否会落到池外？
【解答】解：（1）由题意，∵顶点为（1，2.25），
∴可设解析式为y＝a（x﹣1）2+2.25．
又∵过点（0，1.25），∴解得a＝﹣1．
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+2.25．
（2）由（1）抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+2.25，
令y＝0，∴0＝﹣（x﹣1）2+2.25．
∴x＝2.5或x＝﹣0.5（舍去）．
∵2.5＜2.8，∴当喷泉池的半径为2.8米时，喷出的水流不会落到池外．
26．（12分）如图，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点B、A，抛物线y＝a（x﹣2）2+k经过点A、B，其顶点为C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）求△ABC的面积．
（3）点P为直线AB上方抛物线上的任意一点，过点P作PD∥y轴交直线AB于点D，求线段PD的最大值及此时点P的坐标．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣3，
当y＝0时，x＝3，
∴A（0，﹣3），B（3，0），
由题意得：，解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+1＝﹣x2+4x﹣3；
（2）由抛物线的顶点式得：C（2，1），
设AC的解析式为：y＝bx﹣3，
则2b﹣3＝1，
解得：b＝2，
∴AC的解析式为：y＝2x﹣3，
当y＝0时，2x﹣3＝0，
解得：x＝1.5，
∴△ABC的面积为：（3﹣1.5）×（1+3）＝3；
（3）设AB的解析式为：y＝mx﹣3，
则：0＝3m﹣3，
解得：m＝1，
∴AB的解析式为：y＝x﹣3，
∴点P为直线AB上方抛物线上的任意一点，过点P作PD∥y轴，
设点P（x，﹣x2+4x﹣3），（0＜x＜3）
则D（x，x﹣3），
∴PD＝﹣x2+4x﹣3﹣（x﹣3）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣1.5）2+2.25，
∴当x＝1.5时，PD有最大值，为2.25，
此时P（1.5，0.75）．x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
3
0
﹣1
m
3
…
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
3
0
﹣1
m
3
…