（暑假班-基础班）2025年人教A版高二数学暑假讲义第17讲 椭圆及其标准方程+课后巩固练习+随堂检测（2份，原卷版+教师版）

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1.了解椭圆的实际背景．
2.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义及标准方程.
知识点1 椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
注：在椭圆的定义中必须要注意以下两个问题
(1)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．
(2)常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆．
①若，M的轨迹为线段；
②若，M的轨迹无图形
知识点2 椭圆的标准方程
注：（1）椭圆标准方程的推导
以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，如图所示，此时，椭圆的焦点分别为F1(－c,0)和F2(c,0)．
根据椭圆的定义，设M与焦点F1，F2的距离的和等于2a.由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}．因为|MF1|＝eq \r(x＋c2＋y2)，|MF2|＝eq \r(x－c2＋y2)，
所以eq \r(x＋c2＋y2)＋eq \r(x－c2＋y2)＝2a.①
为了化简方程①，我们将其左边一个根式移到右边，得eq \r(x＋c2＋y2)＝2a－eq \r(x－c2＋y2).②
对方程②两边平方，得(x＋c)2＋y2＝4a2 －4aeq \r(x－c2＋y2)＋(x－c)2＋y2，
整理，得a2－cx＝aeq \r(x－c2＋y2)，③
对方程③两边平方，得a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2，
整理，得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，④
将方程④两边同除以a2(a2－c2)，得eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,a2－c2)＝1，⑤
由椭圆的定义可知2a>2c>0 ，即a>c>0，
所以a2－c2>0.令b＝eq \r(a2－c2)，那么方程⑤就是eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)．⑥
我们将方程⑥称为焦点在x轴上的椭圆方程．
如图，如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别是(0，－c)，(0，c)，a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？
答：eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)．
（2）椭圆的标准方程的特征
①几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴或y轴上．
②代数特征：方程右边为1，左边是关于eq \f(x,a)与eq \f(y,b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,a)与\f(x,b)))的平方和，并且分母为不相等的正值．
③给出椭圆方程(，,),判断该方程所表示的椭圆的焦点位置的方法是:椭圆的焦点在轴上⇔标准方程中项的分母较大;椭圆的焦点在轴上⇔标准方程中项的分母较大,这是判断椭圆焦点所在坐标轴的重要方法.可简记作:焦点位置看大小,焦点跟着大的跑.（x2项和y2项谁的分母大，焦点就在谁的轴上．）
知识点3 椭圆的焦点三角形
椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理．
以椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则
(1)椭圆的定义：|PF1|＋|PF2|＝2a.
(2)余弦定理：4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cs θ.
(3)面积公式：S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|·sin θ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，为bc.
重要结论：S△PF1F2=
推导过程：由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cs θ得
由三角形的面积公式可得
S△PF1F2==
注：S△PF1F2===（是三角形内切圆的半径）
(4)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
(5)在椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)中,F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意的一点，当点P在短轴端点时，最大.
1、确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面
(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；
(2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．
2、椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.
(2)直线过左焦点与椭圆相交于A、B两点，则的周长为4a，即（直线过右焦点亦同）.
（3）涉及焦点三角形面积时，可把|PF1|·|PF2|看作一个整体，运用|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求解．
3、解决与椭圆有关的轨迹问题的三种方法
(1)直接法：直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M|p(M)}直接翻译成x，y的形式，即F(x，y)＝0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)＝0.
(2)定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．
(3)相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．
考点一：椭圆定义及辨析
例1．平面内有一个动点M及两定点A，B．设p：为定值，q：点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．那么（ ）
A．p是q的充分不必要条件 B．p是q的必要不充分条件
C．p是q的充要条件 D．p既不是q的充分条件，又不是q的必要条件
【答案】B
【分析】根据为定值，且定值大于时轨迹才是椭圆，从而得到答案.
【详解】当为定值时，若定值大于时，点M轨迹是椭圆，若定值等于，点M轨迹是线段，若定值小于，则轨迹不存在；当点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆时，必为定值；
所以，但，故p为q的必要不充分条件．故选：B
变式1．已知动点满足（为大于零的常数）﹐则动点的轨迹是（ ）
A．线段 B．圆 C．椭圆 D．直线
【答案】C
【分析】根据题意，结合椭圆的定义即可得到结果.
【详解】的几何意义为点与点间的距离，同理的几何意义为点与点间的距离，且又由为大于零的常数，可知，当且仅当，即时取等，故，即动点到点与到点的距离之和为定值，且大于，所以动点的轨迹为椭圆，故选：C.
考点二：椭圆定义的应用
例2．设表示的是椭圆；，则p是成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据椭圆方程的特征以及充分条件必要条件的概念可得结果.
【详解】若表示的是椭圆，则且，即成立；反例：当时，表示的是圆，即不成立；即p是成立的充分不必要条件，故选：A.
变式1．已知条件：，条件：表示一个椭圆，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据曲线方程，结合充分、必要性的定义判断题设条件间的关系.
【详解】由，若，则表示一个圆，充分性不成立；而表示一个椭圆，则成立，必要性成立.所以是的必要不充分条件.故选：B
变式2．方程表示椭圆的充要条件是__________．
【答案】答案不唯一
【分析】两个分母为不相等的正值时，所给方程表示椭圆.
【详解】方程表示椭圆,则必有解之得或
故答案为：,（答案不唯一，其他等价情况也对）
考点三：求椭圆的标准方程
例3．若椭圆过点，则椭圆方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把已知两点坐标代入求出后即得．
【详解】由已知，解得，所以椭圆方程为．故选：A.
变式1．过点且与有相同焦点的椭圆方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知方程求出焦点即为所求椭圆焦点，设出所求椭圆方程，代入，解方程组即可.
【详解】由知，焦点为，，即，.设所求椭圆方程为，则，解得，故所求椭圆方程为.故选：A.
变式2．已知椭圆的左、右焦点分别为，M为C上一点，若的中点为，且的周长为，则C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据的周长可得，由的中点坐标求得M坐标，代入椭圆方程可得关系式，解方程可得的值，即可求得答案
【详解】因为的周长为，所以，则，又,的中点为 ，所以M的坐标为，故，则，结合，，解得，所以椭圆C的标准方程为，故选：A
考点四：根据椭圆方程求相关量
例4．椭圆的焦距为4，则的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】D
【分析】先把椭圆化为标准形式，分焦点在，轴上两种情况进行分类讨论，能求出的值．
【详解】由椭圆化为标准形式得：，且椭圆的焦距，
当椭圆焦点在轴上时，，，则由，所以，
此时方程为：不是椭圆，所以不满足题意，当椭圆焦点在轴上时，，，
，解得，此时方程为：，满足题意，综上所述，的值为．
故选：D．
变式1．曲线与的关系是（ ）
A．有相等的焦距，相同的焦点 B．有不等的焦距，相同的焦点
C．有不等的焦距，不同的焦点 D．有相等的焦距，不同的焦点
【答案】D
【分析】根据椭圆标准方程的特点及焦距的定义即可求解.
【详解】由题意可知，椭圆的焦点在轴上，且，所以，焦距为，焦点坐标为，椭圆的焦点在轴上，且，所以，焦距为，焦点坐标为，所以两椭圆有相等的焦距，不同的焦点.故选：D.
考点五：求椭圆上点的坐标
例5．已知，是椭圆的两个焦点，那么在C上满足的点有________个．
【答案】2
【分析】根据题设及向量数量积的坐标表示求得轨迹方程为圆，结合椭圆性质判断轨迹圆与椭圆的交点个数.
【详解】不妨设，，，则，所以轨迹方程为，以原点为圆心，为半径的圆，而椭圆中，，故轨迹与椭圆交于短轴顶点，所以在C上满足的点有2个.故答案为：2
变式1．已知椭圆的焦点为F1，F2，第一象限的点为椭圆上的动点，当为直角三角形时，点的横坐标是_________ .
【答案】或.
【分析】分类讨论与两种情况，利用圆的性质可得点的轨迹方程，联立椭圆方程解之即可解.
【详解】因为椭圆，所以，则，不妨设，如图，因为为椭圆上的动点，所以，又因为为直角三角形，点在第一象限，所以当时，易知，即点的横坐标是；当时，由圆的性质可知，点落在以为直径的圆在第一象限的弧上，此时圆心为，半径为，故点的轨迹方程为，
联立，解得或（舍去），即点的横坐标是；综上：点的横坐标是或；故答案为：或.
.
考点六：椭圆的焦点三角形问题
求焦点三角形的内角或边长
例6．已知椭圆的左，右两焦点为和，P为椭圆上一点，且，则（ ）
A．8 B．12 C．16 D．64
【答案】A
【分析】根据题干数据先分析出为直角三角形，然后根据椭圆定义和勾股定理计算.
【详解】
由题意得，，于是，即为△的外心，以为直径的圆经过，于是，记，根据椭圆定义和勾股定理：，
于是.故选：A
变式1．已知椭圆的两焦点为，，为椭圆上一点且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设.利用椭圆的定义和勾股定理整体代换，求出和，即可求解.
【详解】设.因为椭圆的两焦点为，，为椭圆上一点且，
所以，所以，所以.故选：B
变式2．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据椭圆方程求得，由椭圆的定义，得，求得，所以，在中，再由余弦定理列出方程，求得，即可求解．
【详解】解：由题意，椭圆方程，可得，所以焦点，
又由椭圆的定义，可得，因为，所以，在中，由余弦定理可得,所以，解得，又由，所以.故选:C．
求焦点三角形的周长
例7．已知点为椭圆上一点，椭圆的两个焦点分别为，，则的周长是（ ）
A．20 B．36 C．64 D．100
【答案】B
【分析】根据给定的椭圆方程，求出长短半轴长、半焦距即可作答.
【详解】椭圆的长半轴长，短半轴知，半焦距，依题意，的周长为.故选：B
变式1．已知的顶点在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（ ）
A．12 B． C．16 D．10
【答案】C
【分析】利用椭圆的定义求解即可.
【详解】设椭圆的另外一个焦点为，如图，

则的周长为，故选：C.
变式2.椭圆的一个焦点是F，过原点O作直线(不经过焦点)与椭圆相交于A，B两点，则的周长的最小值是（ ）
A．14 B．15 C．18 D．20
【答案】C
【分析】不妨取为左焦点，为右焦点，连接，，则为平行四边形，的周长大于等于，计算得到答案.
【详解】如图所示：不妨取为左焦点，为右焦点，连接，，
则为平行四边形，的周长为，
当，为椭圆上下顶点时等号成立.故选：C
求焦点三角形的面积
例8．已知椭圆的左右焦点分别为，，点是椭圆上一点，且是直角三角形，的面积等于（ ）
A．3 B． C．3或 D．3或
【答案】C
【分析】根据椭圆定义和勾股定理，结合三角形面积公式即可求解．
【详解】由于是椭圆上一点，∴，两边平方可得，
即，因为是直角三角形，当时，，
∴根据勾股定理可得，综上可解得，∴的面积等于；
当时，，∴根据勾股定理可得，结合
,计算可得,∴的面积等于；
当时，，∴根据勾股定理可得，结合
,计算可得,∴的面积等于.
故选:.
变式1．已知椭圆的方程为，若点在第二象限，且，则的面积（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 为椭圆的左焦点，为椭圆的右焦点，，，由椭圆的定义可知，在中由余弦定理可得，从而可得，再利用计算即可.
【详解】解：设 为椭圆的左焦点，为椭圆的右焦点，，，
由椭圆的定义可知，又因为，在中由余弦定理可得：
，所以，所以，
所以，所以.故选：B.
焦点三角形的内切圆问题
例9．已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则的内切圆的半径（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】根据椭圆方程求出、、的值，即可得到、、的值，从而求出的面积，再利用等面积法求出内切圆的半径.
【详解】解：椭圆中，，，则，∴，，∴．
∵，，∴，∵，，解得．故选：C．
变式1．设椭圆的左右焦点分别为，直线l过且与C交于A，B两点，则内切圆半径的最大值为( )
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】根据等面积法表示出内切圆半径r的表达式，在利用韦达定理求的最大值即可.
【详解】由题知a＝2，c＝1，设，，设△内切圆半径为r，
则，∴，即，∴.
设的方程为：，代入椭圆方程可得：(，
∵，∴，∴，
设则，时，该表达式对应的函数是减函数，∴时，取得最大值3，∴最大值为.故选：C.
与焦点三角形有关的最值问题
例10．已知椭圆上的动点到右焦点距离的最大值为，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据椭圆的性质可得椭圆上的点到右焦点距离最大值为，即可求出，再根据，即可得解；
【详解】根据椭圆的性质，椭圆上的点到右焦点距离最大值为，即 ，又，所以，
由，所以；故选：A
变式1．已知点P为椭圆上动点，分别是椭圆C的焦点，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】D
【分析】由椭圆的定义可得，结合，即可求解.
【详解】由椭圆，可得，所以，又由椭圆的定义可得，因为，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为.
故选：D.
考点七：与椭圆有关的轨迹问题
例11．点M与定点的距离和它到定直线的距离的比为，则点M的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据轨迹方程的求解方法列方程求解.
【详解】设，因为点M与定点的距离和它到定直线的距离的比为，
所以，即，整理得，故选:C.
变式1．在平面直角坐标系中，已知定点、，直线与直线的斜率之积为，则动点P的轨迹方程为（ ）
A． B． C．D．
【答案】B
【分析】设动点P的坐标为，依题意得到方程，整理即得轨迹方程；
【详解】解：设动点P的坐标为，则由条件得．即．
所以动点P的轨迹C的方程为．故选：B．
例12．已知的周长为20，且顶点，则顶点的轨迹方程是（ ）
B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件及椭圆定义求椭圆的标准方程.
【详解】错解：∵△ABC的周长为20，顶点，∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，
∵12＞8，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆，
∵a＝6，c＝4，∴b2＝20，∴椭圆的方程是故选：D.
错因：忽略了A、B、C三点不共线这一隐含条件.
正解：∵△ABC的周长为20，顶点，∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，
∵12＞8，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆，∵a＝6，c＝4，∴b2＝20，
∴椭圆的方程是故选：B.
变式1．已知P是圆上任一点，，线段PA的垂直平分线l和半径CP交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹方程为___________.
【答案】
【分析】根据给定条件，结合图形的几何性质探求点Q满足的关系等式，再借助椭圆的定义求出方程作答.
【详解】圆的圆心，半径，点Q在线段PA的中垂线l上，如图，
有，则，因此点Q的轨迹是以A，C为焦点，实轴长的椭圆，则虚半轴长，所以点Q的轨迹方程为.故答案为：
变式2.在中，已知，若，且满足，则顶点的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用正弦定理化角为边，从而可得，再结合题意可得点的轨迹是以为焦点的椭圆的左半部分，即可得解.
【详解】解：在中，因为，所以，又，则，所以，即，由于，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆的左半部分，由，所以顶点的轨迹方程是.故选：A.
一、单选题
1．已知椭圆的焦点在轴上，若椭圆的焦距为，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】A
【分析】将椭圆方程化为标准式，即可得到，，从而求出，即可得解.
【详解】椭圆即，焦点在轴上，所以，，所以，
又椭圆的焦距为，所以，解得.故选：A
2．若已知椭圆，长轴在轴上，若焦距为4，则等于（ ）
A．4 B．5 C．7 D．8
【答案】A
【分析】根据题意直接列式求解即可.
【详解】由题意可得：，解得.故选：A.
3．“是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】把方程化为，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由题意，方程，可化为标，
当时，方程表示焦点在上的椭圆，即充分性成立；
若方程表示焦点在上的椭圆，则满足，即必要性成立，
所以时方程表示焦点在上的椭圆的充要条件.
故选：A.
4．已知点，是椭圆上关于原点对称的两点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】C
【分析】先证明四边形是平行四边形，再利用椭圆的定义求出即得解.
【详解】因为,所以四边形是平行四边形.所以.由椭圆的定义得.所以.故选：C

5．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，A是C上一点，，则的最大值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．11
【答案】A
【分析】根据椭圆的定义可得，利用可求的最大值.
【详解】
设椭圆的半焦距为，则，，如图，连接，则，
而，当且仅当共线且在中间时等号成立，故的最大值为.
故选：A.
6．如果椭圆上一点到此椭圆一个焦点的距离为2，是的中点，是坐标原点，则的长为（ ）
A．6 B．10 C．8 D．12
【答案】C
【分析】由椭圆定义可得，再利用中位线的性质即可求解．
【详解】如图，连接，，，

由椭圆方程可得：，则，由椭圆定义可得，所以，
因为是的中点，是的中点，则由中位线可得：.故答案为：C.
7．已知分别为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，则的最大值为（ ）
A．64 B．16 C．8 D．4
【答案】B
【分析】由，根据三角形的三边关系有求解.
【详解】解：，因为椭圆上的点满足，当点为的延长线与的交点时，取得最大值，最大值为．所以的最大值为16．故选：B．
8．已知点F1，F2是椭圆的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．2
【答案】C
【分析】设，由坐标表示，由向量模的平方结合椭圆的范围得最小值．
【详解】椭圆的左右焦点.设，则，，
∴，又，则.
∴∵点P在椭圆上，∴，
∴当时，取最小值2．
故选：C．
二、填空题
9．已知圆的圆心为，点是圆上的动点，点，线段的垂直平分线交于点.则点的轨迹的方程为_______；
【答案】
【分析】由垂直平分线的性质结合椭圆的定义得出点的轨迹的方程.
【详解】由题意知，线段的垂直平分线交于点，所以，
∴，∴点在以、为焦点，长轴长为4的椭圆上，，，，∴点的轨迹的方程为．故答案为：
10．已知为椭圆上一动点，记原点为，若，则点的轨迹方程为______．
【答案】
【分析】先设点，再由应用相关点法求轨迹方程即可.
【详解】设点，由得点，而点为椭圆上的任意一点，
所以，整理得，所以点的轨迹方程是.故答案为：
11．已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆在第一象限内的一点，若，则______．
【答案】
【分析】由椭圆方程可得的值，利用勾股定理和椭圆定义可构造方程求得，根据可求得结果.
【详解】由椭圆方程得：，，，；设，由椭圆定义知：，，，即，解得：或；为椭圆在第一象限内的点，，即，，；.故答案为：0.5.
12．已知椭圆与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，点F是椭圆的一个焦点，若△ABF是等腰三角形，则的值为________.
【答案】
【分析】根据椭圆的对称性，结合等腰三角形的性质进行求解即可.
【详解】由题意可知：，因为，所以，因为△ABF是等腰三角形，
所以由椭圆的性质可知F是椭圆的下焦点，所以，故答案为：
三、解答题
13．P是椭圆上一点，，是椭圆的左、右两个焦点，且．
(1)求的最大值和最小值；
(2)求的面积．
【答案】(1)最小值，最大值(2)
【分析】（1）设，用表示，再结合的取值范围分析求解；
（2）根据椭圆的定义结合余弦定理、面积公式运算求解.
【详解】（1）设，椭圆的半焦距为，则，可得，
则，
因为，则，可得，同理可得，
所以，，
当时，取到最小值；当时，取到最大值.
（2）因为，在中，由余弦定理可得
，即，
整理得，所以的面积
，即. .
椭圆及其标准方程 随堂检测
1.设定点，，动点P满足条件，则点P的轨迹是（ ）
A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段
【答案】A
【分析】根据椭圆的定义可判断动点的轨迹.
【详解】因为，，所以，所以，所以点P的轨迹是以，为焦点的椭圆.故选：A.
2.“”是方程“表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条
【答案】B
【分析】根据椭圆的标准方程可得，解不等式组得出且，再利用必要不充分条件定义即可求解.
【详解】若方程表示椭圆，则有因此且，故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件．故选：B
3.若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（ ）
A．B．椭圆的焦距为
C．若椭圆的焦点在轴上，则D．若椭圆的焦点在轴上，则
【答案】C
【分析】利用椭圆方程与椭圆位置特征逐项分析、计算即可判断作答.
【详解】因方程表示椭圆，则有，，且，即，A错误；
焦点在轴上时，，解得，D错误，C正确；
焦点在轴上时，则，焦点在轴上时，，B错误.
故选：C.
4.设分别为椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为（ ）
A．12 B．24 C． D．
【答案】D
【分析】将三角形周长整理并结合椭圆的定义，即可求得答案.
【详解】由题意可得，对于椭圆有长半轴长，又过的直线交椭圆于A、B两点，
故的周长，故选：D
5.椭圆的焦点为，点P在此椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么的值为（ ）
A． B．4 C．7 D．
【答案】C
【分析】根据线段PF1的中点M在y轴上，推出轴，由此可设P(3，b)，代入椭圆方程求出，再根据两点间的距离公式求出和可得解.
【详解】由＝1可知，，所以，所以F1(－3,0)，F2(3,0)，
∵线段PF1的中点M在y轴上，且原点为线段的中点，所以，所以轴，
∴可设P(3,m)，把P(3,m)代入椭圆＝1，得.∴|PF1|＝，
|PF2|＝.∴.故选：C
6.已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（ ）
A．6 B．12 C． D．
【答案】C
【分析】设，，由椭圆定义得，由余弦定理求出，从而利用三角形面积公式求出答案.
【详解】由椭圆，得，，.

设，，∴，在中，由余弦定理可得：
，可得，得，
故.故选：C.
8.已知点P为椭圆C：上一点，点，分别为椭圆C的左､右焦点，若，则的内切圆半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先求和的值，再求的面积，再利用三角形内切圆的半径表示面积，即可求解.
【详解】因为，且，所以，，，，则等腰三角形底边上的高，所以,设的内切圆半径为，则，所以.故选：B
9.已知椭圆的左、右焦点为，且过点则椭圆标准方程为___________．
【答案】
【分析】待定系数法求椭圆的标准方程.
【详解】由题知：，①又椭圆经过点，所以，②又，③
联立解得：，故椭圆的标准方程为：.
故答案为：.
10.已知F为椭圆的右焦点，P为C上的一点，若，则点P的坐标为________.
【答案】
【分析】由椭圆方程知：椭圆上的点与距离范围为，结合已知即可确定P的坐标.
【详解】由题设，，则，，所以椭圆上点与距离范围为，又，
所以是椭圆的右顶点，即P的坐标为.故答案为：
11.已知点P是椭圆上的一点，和分别为左右焦点，焦距为6，且过.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若动直线l过与椭圆交于A、B两点，求的周长.
【答案】(1)；(2)20
【分析】（1）根据焦距可求，根据所过点可求，进而得到方程；
（2）利用椭圆的定义可得的周长为，代入可得答案.
【详解】（1）设焦距为，由，得，又椭圆过，∴，
得，∴椭圆的标准方程为；
（2）动直线l过与椭圆交于A、B两点，∴，，
∴，∴的周长为20.

焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
图 形
焦点坐标
(－c,0)，(c,0)
(0，－c)，(0，c)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2