湖南省长沙市2025届高三数学上学期月考二试卷含解析

这是一份湖南省长沙市2025届高三数学上学期月考二试卷含解析，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由对数单调性解集合中不等式，再求集合交集即可.
【详解】由可得，故，
又因为，
所以.
故选：D
2. 已知为虚数单位，，则的共轭复数（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据除法运算可得，再根据共轭复数的概念分析判断.
【详解】因，则，
所以的共轭复数.
故选：A.
3. 已知曲线在点处的切线与轴相交于点，则实数（ ）
A. -2B. -1C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】先求出切线方程，再将点代入求解.
【详解】解：因为，
所以，则，
所以在点处的切线方程为，
又因为切线与轴相交于点，
所以，解得，
故选：A
4 已知向量，，且实数，若A，B，C三点共线．则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】由三点共线转化为两个向量共线，即共线，由向量共线的坐标表示计算．
【详解】，，
因为A，B，C三点共线，所以，
则，解得或，
，.
故选：D.
5. 已知过坐标原点的直线与焦点为的抛物线在第一象限交于点，与的准线交于点，若，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意求出点坐标，然后代入斜率公式求解即得
【详解】因为抛物线，
所以抛物线的准线方程为，
故点的横坐标为.
因为，所以点的横坐标，
所以点的纵坐标.又焦点的坐标为，
所以直线的斜率为.
故选：A.
6. 已知函数与直线在第一象限的交点横坐标从小到大依次分别为，则（ ）
A. B. 0C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】先运用辅助角公式将函数化为，再通过解方程，解出，最后计算即可.
【详解】，设，
若，则，，
即或，
所以，因此，
所以.
故选：D.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是辅助角公式的运用，二是换元思想的运用.
7. 定义：为实数x，y中较小的数，已知，其中a，b均为正实数，则h的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用基本不等式得到，比较与的大小即可求出h的最大值
【详解】∵a，b均为正实数
∴，当且仅当，即时，等号成立
∵当即时，，故，
当时，
综上所述，的最大值为
故选：C
8. 若不等式有且仅有三个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设，作出的图象为，则结合图象，要不等式有且仅有三个整数解，取讨论它们的大小，即可得到的范围.
【详解】设，
，由，得，
当x∈0,1时，f'x0，单调递增，且，
作出的图象为，
由，x∈0,+∞，
当x∈0,1时，，即，
当x∈1,+∞时，，即，
因为，
，所以，
而，
即，
则结合图象，要不等式有且仅有三个整数解，
只需
即，
所以实数a的取值范围是.
故选：A.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）
9. 记等差数列的前项和为，公差为，若，，则（ ）
A. B. 的最小值为
C. D. 使的的最小值为11
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用等差数列通项公式即前项和公式列方程组，即可判断AC；求出，结合二次函数性质即可判断B；解，即可判断D.
【详解】对于AC，由题意可得，解得，故A正确，C错误；
对于B，，
所以，当时，取到最小值，故B正确；
对于D，令，即，解得或，
因为，所以使的的最小值为11，故D正确.
故选：ABD
10. 若随机变量，，则（ ）
A. B.
C. D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用正态分布的性质逐项判断即可.
【详解】对于A，随机变量满足正态分布，且，
故，故A正确；
对于B，当时，
此时，故B错误；
对于C，
，故C正确；
对于D，，故单调递增，
故，即，
解得，故D正确.
故选：ACD
11. 如图，在锐二面角的半平面内有一个四边形，点在上，，，和的面积均为，点到平面的距离为，点到平面的距离为，则（ ）

A.
B. 直线与所成的角为
C. 直线与平面所成的角为
D. 二面角的大小为
【答案】ABD
【解析】
【分析】先根据已知条件确定四边形的几何特征，得出四边形是平行四边形，且、都与垂直，再利用面面平行的性质证明，利用为平行四边形证明，再利用线线角、线面角、二面角定义逐一判断B、C、D选项即可.
【详解】
在四边形中，设与相较于点，
过向作垂线，垂足为，过向作垂线，垂足为
因为和的面积均为，，所以，
与中，，，
，所以，所以，
又因为，所以；
在中，，，，
在中，同理可证，又因为，
所以、分别与、重合，
所以四边形是平行四边形，且、都与垂直；

延长交于，过作的垂线，垂足为，
过作的垂线，垂足为，连接、，
，平面，平面，所以平面，
又因为，同理可证平面，又，
所以平面平面，
又因为平面，又因为平面，所以；
因为，，，所以，所以，
又因为点到平面的距离为，点到平面的距离为，
所以，因为，所以，
因为，所以，所以,
又，所以四边形为平行四边形，所以，
即，且，，故A正确；
根据题意，直线与所成的角为，
在中，，，，
所以，所以，故B正确；
链接，根据题意有，直线与平面所成的角为，
在中，，，所以，
，所以C错误；
因为平面，平面，所以，，
平面，平面，，
所以平面，平面，所以，
又因为，且二面角为锐二面角，
所以二面角的平面角为，
在中，，，所以，
所以，故D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：
本题关键在于：
①先根据已知条件确定四边形的几何特征，得出四边形是平行四边形，且、都与垂直；
②利用面面平行的性质证明.
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12. 设双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为，若，则的离心率为_________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据的两个关系，再由，求解离心率.
【详解】根据双曲线的两条渐近线的倾斜角为，
则，又，所以，
所以,故.
故答案为：.
13. 已知正三棱柱中，，动点在侧面内，且．若点的轨迹长为，则该正三棱柱的体积为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题涉及到正三棱柱的体积计算以及向量垂直的相关知识.首先需要根据向量垂直的条件求出点的轨迹，再根据轨迹长求出正三棱柱的棱长，最后根据棱柱体积公式计算体积.
详解】
过作yAC,以为原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.设，则.
设，，.
则，.
因为，所以，即.
配方得，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的四分之一圆.
已知点的轨迹长为，因为轨迹是四分之一圆，半圆的弧长公式为（，为半径）.
这里，，解得a=2.
正三棱柱的体积公式为（为底面三角形面积，为高）.
底面正三角形的边长，则，高.
所以正三棱柱的体积.
故答案为：.
14. 记不超过的最大整数为．若函数既有最大值也有最小值，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意取，则，将问题转化在区间上既有最大值也有最小值，然后分，，，四种情况讨论即可求出结果.
详解】取，则，
所以函数既有最大值也有最小值，即在区间上既有最大值也有最小值，
当时，在区间上单调递增，只有最小值，无最大值，不合题意，
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
又，则，此时只有最小值，没有最大值，不合题意，
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
又，则，此时有最大值为，最小值为，
当时，在区间上单调递减，只有最大值，无最小值，不合题意，
综上所述，实数的取值范围是，
故答案为：.
【点睛】关键点点晴：通过令，得到，从而将问题转化成在区间上既有最大值也有最小值来解决.
四、解答题（本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失．设每次分裂成一个新细胞的概率为，分裂成两个新细胞的概率为；新细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞分裂相互独立．设有一个初始的细胞，从第一个周期开始分裂．
（1）当时，求个周期结束后细胞数量为个的概率；
（2）设个周期结束后，细胞的数量为，求的分布列和数学期望．
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）个周期结束后细胞数量为个,分以下三种情况，第一个周期分裂为个细胞，后面两个周期均保持为个细胞，第二个周期分裂为个细胞，后面一个周期保持为个细胞，前两个周期都保持为个细胞，第三个周期分裂为个细胞，依次计算即可得出结果；
（2）求出的取值及不同取值对应的概率，进而列出分布列，利用期望公式求出期望.
【小问1详解】
由题意可知，当时， 个周期结束后细胞数量为个,
则设第个周期分裂为个细胞，之后一直保持为个细胞，
第一个周期分裂为个细胞，后面两个周期均保持为个细胞，
故,
第二个周期分裂为个细胞，后面一个周期保持为个细胞，
故,
前两个周期都保持为个细胞，第三个周期分裂为个细胞，
故，
综上可知，.
【小问2详解】
个周期结束后，的取值可能为,
其中,
，
，，
所以分布列为
.
16. 如图，是半球的直径，是底面半圆弧上的两个三等分点，是半球面上一点，且．

（1）证明：平面：
（2）若点在底面圆内的射影恰在上，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，可证为的中点且，可得，又，由线面垂直的判定可证；
（2）以点为坐标原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，用向量法可求解.
【小问1详解】
连接，因为是底面半圆弧上的两个三等分点，
所以有，又因为，
所以都为正三角形，
所以，四边形是菱形，
记与的交点为，为和的中点，
因为，
所以三角形为正三角形，
所以，所以，
因为是半球面上一点，是半球的直径，所以，
因为，平面，
所以平面．
【小问2详解】
因为点在底面圆内的射影恰在上，
由（1）知为的中点，为正三角形，所以，
所以底面，
因为四边形是菱形，所以，
即两两互相垂直，
以点为坐标原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，所以，
取，则，
设直线与平面的所成角为，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值为．
17. 已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）当时，，求的取值范围．
【答案】（1）极小值为，无极大值.
（2）
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.
（2）求出函数的二阶导数，就、、分类讨论后可得参数的取值范围.
【小问1详解】
当时，，
故，
因为在上为增函数，
故在上为增函数，而，
故当时，，当时，，
故在处取极小值且极小值为，无极大值.
【小问2详解】
，
设，
则，
当时，，故在上为增函数，
故，即，
所以在上为增函数，故.
当时，当时，，
故在上为减函数，故在上，
即在上f'x