山东省济宁市2025届高三数学上学期10月月考试题含解析

这是一份山东省济宁市2025届高三数学上学期10月月考试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合或x>2，，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据并集的结果，列出不等式，求解即可得出答案.
【详解】因为，所以，解得．
所以，实数的取值范围是.
故选：D.
2. “或”是“幂函数在上是减函数”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据幂函数的定义和性质可求参数的值，从而可判断两者之间的关系
【详解】因为是幂函数且在上是减函数，
故，故，
故“或”是“幂函数在上是减函数”的必要不充分条件，
故选：B.
3. 函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用函数单调性的变形式即可判断函数单调性，然后根据分段函数的性质即可求解.
【详解】因为对任意，都有成立，
可得在上是单调递减的，
则，解得.
故选：A
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用和差公式、二倍角公式及平方关系化简，再把正弦余弦转化为正切即可求解.
【详解】
.
故选：.
5. 函数y＝lg的大致图象为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出函数y＝lg的定义域,可排除A，C,再代入x＝9,求出y值,结合选项得出答案.
【详解】函数y＝lg的定义域为{x|x≠－1}，由此排除A，C.当x＝9时，y＝lg＝－1＜0.由此排除B.
故选:D.
【点睛】本题考查函数的图象,考查函数的性质,考查学生的识图能力,属于基础题.
6. 当时，函数取得最大值，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可知，即可解得，再根据f'x即可解出．
【详解】因为函数定义域为0,+∞，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在0,1上递增，在1,+∞上递减，时取最大值，满足题意，即有．
故选：B.
7. 已知函数，则使有零点的一个充分条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先判断，此时可得的单调性，依题意可得，令，结合函数的单调性及零点存在性定理得到存在使得，从而得到有零点的充要条件为，即可判断.
【详解】因为，
当时，，所以，没有零点，故A错误；
当时与在上单调递增，所以在上单调递增，
，要使有零点，则需，
即，令，则在上单调递减，
且，，，
所以存使得，
所以有零点的充要条件为，
所以使有零点的一个充分条件是.
故选：D
8. 已知函数，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用导数判断函数的单调性，然后结合的单调性，即可得到结果.
【详解】因为且，所以，
令且，则，
当时，，故函数单调递增，
当时，，故函数单调递减；
所以，
所以在上单调递增，
令，则，
所以在上单调递减，，
即，则，即.
故选：D
二、多选题
9. 设函数，则（ ）
A. 当时，有三个零点
B. 当时，是极大值点
C. 存在a，b，使得为曲线的对称轴
D. 存在a，使得点为曲线的对称中心
【答案】AD
【解析】
【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.
【详解】A选项，，由于，
故时，故在上单调递增，
时，，单调递减，
则在处取到极大值，在处取到极小值，
由，，则，
根据零点存在定理在上有一个零点，
又，，则，
则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确；
B选项，，时，，单调递减，
时，单调递增，
此时在处取到极小值，B选项错误；
C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，
即存在这样的使得，
即，
根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，
于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误；
D选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的，使得为的对称中心，
则，事实上，
，
于是
即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
，，，
由，于是该三次函数的对称中心为，
由题意也是对称中心，故，
即存在使得是的对称中心，D选项正确.
故选：AD
【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心
10. 若正实数a，b满足，则下列说法错误的是（ ）
A. 有最小值B. 有最大值
C. 有最小值4D. 有最小值
【答案】AD
【解析】
【分析】求得最值判断选项A；求得最大值判断选项B；求得最小值判断选项C；求得最小值判断选项D.
【详解】选项A：由（当且仅当时等号成立），
得，故有最大值.判断错误；
选项B：
（当且仅当时等号成立），
则，则有最大值判断正确；
选项C：（当且仅当时等号成立），
故有最小值4，判断正确；
选项D：（当且仅当时等号成立），
所以有最小值.判断错误.
故选：AD.
11. 函数，关于x的方程，则下列正确的是（ ）
A. 函数的值域为R
B. 函数的单调减区间为
C. 当时，则方程有4个不相等的实数根
D. 若方程有3个不相等的实数根，则m的取值范围是
【答案】BD
【解析】
【分析】先分析函数的单调性和函数值情况并作出函数的图象，对于A和B，由分析以及图象即可得解；由对于C和D，由方程得解为与，再根据条件树形结合依次分析两解对应的根的情况即可得解.
【详解】①当时，，
则在单调递减，且渐近线为轴和，恒有.
②当时，，，
当，在0,1单调递增；当，在1,+∞单调递减，
故，且恒有，综上①②可知，，
综上，作出函数大致图象，如下图：
对于A，由上可知函数的值域为，故A错误；
对于B，函数的单调减区间为，故B正确；
对于C，当时，则方程，解得或，
由，得或，有两个实数根；
由图象可知，由得此时有不相等的实数根，且均不为，也不为，
所以当时，则方程有6个不相等的实数根，故C错误；
对于D，若关于x的方程有3个不相等的实数根，
即方程与方程共有3个不相等的实数根，
又因为已有两个不等的实数根，
则方程有且仅有1个根，且不为.
所以与有且仅有1个公共点，
由图象可知，满足题意，即m的取值范围是，故D正确.
故选：BD.
【点睛】思路点睛：先研究函数的单调性以及函数值的分布情况，接着作出函数的图象，数形结合使得问题更直观，进而即可进一步研究函数的性质情况：研究方程的根的个数问题，可先解方程得与，再根据条件依次分析两解对应的根的情况并树形结合即可得解.
三、填空题
12. 设正实数满足，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据对数的运算法则与性质化简即可得解.
【详解】由，得．
所以．
故答案为：
13. 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则__________.
【答案】4048
【解析】
【分析】根据题中为奇函数，为偶函数，从而可得出为周期为4的函数，从而可求解.
【详解】由题意得为奇函数，所以，即，所以函数关于点中心对称，
由为偶函数，所以可得为偶函数，则，所以函数关于直线对称，
所以，从而得，所以函数为周期为4的函数，
因为，所以，则，
因为关于直线对称，所以，
又因为关于点对称，所以，
又因为，又因为，所以，
所以.
故答案为：4048.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据函数的奇偶性得到函数的周期，再求出一个周期内的值，最后求和即可.
14. 已知函数若存在实数满足，且，则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出每一段函数的值域，然后由题意得到，根据，可将化简为，构造函数，利用导数求最值即可.
【详解】结合解析式可知当时，；当时，.
因为，所以.
令，得，则，
故.
令，则，
令得；令得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
当时，，
因为，所以.
所以的取值范围为.
故答案为：
四、解答题
15. 函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B．
（Ⅰ）求集合A，B；
（Ⅱ）若集合A，B满足，求实数a的取值范围．
【答案】（Ⅰ）， ；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】（Ⅰ）由一元二次不等式的求解方法可求得A集合，由指数函数的值域可求得集合B；
（Ⅱ）由，得， 根据集合的子集关系可得实数a的取值范围．
【详解】（Ⅰ）A=，
B=．
（Ⅱ）∵，∴，
显然，， ∴或，
∴或，即a的取值范围是．
【点睛】本题考查集合的表示和化简，集合的交集运算，集合间的子集关系，属于中档题.
16. 已知，
（1）求和的值
（2）若，，求的大小．
【答案】（1），；
（2）
【解析】
【分析】（1）结合二倍角公式，商数关系即可化简求得，以及求值；
（2）条件等式由诱导公式可得，即可由和差公式求得，结合范围即可.
【小问1详解】
，
；
【小问2详解】
，
，
∵，∴.
17. 已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；
（2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可.
【小问1详解】
当时，则，，
可得，，
即切点坐标为，切线斜率，
所以切线方程为，即.
【小问2详解】
解法一：因为的定义域为R，且，
若，则对任意x∈R恒成立，
可知在R上单调递增，无极值，不合题意；
若，令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则有极小值，无极大值，
由题意可得：，即，
构建，则，
可知0,+∞内单调递增，且，
不等式等价于，解得，
所以a的取值范围为1,+∞；
解法二：因为的定义域为R，且，
若有极小值，则有零点，
令，可得，
可知与有交点，则，
若，令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则有极小值，无极大值，符合题意，
由题意可得：，即，
构建，
因为则在0,+∞内单调递增，
可知在0,+∞内单调递增，且，
不等式等价于，解得，
所以a的取值范围为1,+∞.
18. 如图，在扇形中，，半径.在弧上取一点C，向半径、分别作垂线，与线段、分别相交于D、E，得到一个四边形.
（1）设，将四边形的面积S表示成x的函数；
（2）求四边形的面积S的最大值.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用直角三角形面积公式得到，然后利用二倍角公式，辅助角法化简求解.
（2）由（1）知：，利用正弦函数的性质求解.
详解】（1），
，
，
，
，要得到四边形则.
（2）由（1）知：，
因为
所以，
所以当，即时，四边形的面积S的最大值为.
【点睛】本题主要考查三角函数的平面几何中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
19. 已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，，求a的取值范围；
（3）设，证明：．
【答案】（1）f(x)的减区间为，增区间为.
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）求出，讨论其符号后可得的单调性.
（2）设，求出，先讨论时题设中的不等式不成立，再就结合放缩法讨论符号，最后就结合放缩法讨论的范围后可得参数的取值范围.
（3）由（2）可得对任意的恒成立，从而可得对任意的恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.
【小问1详解】
当时，，则，
当时，，当时，，
故的减区间为，增区间为.
【小问2详解】
设，则，
又，设，
则，
若，则，
因为为连续不间断函数，
故存在，使得，总有，
故在为增函数，故，
故在为增函数，故，与题设矛盾.
若，则，
下证：对任意，总有成立，
证明：设，故，
故在上为减函数，故即成立.
由上述不等式有，
故总成立，即在上为减函数，
所以.
当时，有，
所以在上为减函数，所以.
综上，.
【小问3详解】
取，则，总有成立，
令，则，
故即对任意的恒成立.
所以对任意的，有，
整理得到：，
故
，
故不等式成立.
【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.