2026届新高考数学一轮复习核心知识点讲义

这是一份2026届新高考数学一轮复习核心知识点讲义，共51页。学案主要包含了常用结论展示，温馨提示等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc8065" 第1章 集合与常用逻辑用语、相等关系与不等关系
\l "_Tc8339" 1.1 集合 PAGEREF _Tc8339 \h 3
\l "_Tc20765" 1.2 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词 PAGEREF _Tc20765 \h 3
\l "_Tc2604" 1.3 等式的性质与不等式的性质、基本不等式 PAGEREF _Tc2604 \h 4
\l "_Tc3366" 1.4 二次函数与一元二次方程、不等式 PAGEREF _Tc3366 \h 5
\l "_Tc3892" 第2章 函数
\l "_Tc26568" 2.1 函数的概念及其表示 PAGEREF _Tc26568 \h 5
\l "_Tc8812" 2.2 函数的单调性与最大(小)值 PAGEREF _Tc8812 \h 6
\l "_Tc4465" 2.3 函数的奇偶性与周期性 PAGEREF _Tc4465 \h 6
\l "_Tc14625" 2.4 幂函数 PAGEREF _Tc14625 \h 7
\l "_Tc11889" 2.5 指数与指数函数 PAGEREF _Tc11889 \h 7
\l "_Tc8102" 2.6 对数与对数函数 PAGEREF _Tc8102 \h 8
\l "_Tc19482" 2.7 函数的图象 PAGEREF _Tc19482 \h 9
\l "_Tc24788" 2.8 函数与方程 PAGEREF _Tc24788 \h 11
\l "_Tc27882" 第3章 一元函数的导数及其应用
\l "_Tc2460" 3.1 导数的概念、意义及运算 PAGEREF _Tc2460 \h 11
\l "_Tc22947" 3.2 利用导数研究函数的单调性 PAGEREF _Tc22947 \h 12
\l "_Tc5555" 3.3 利用导数研究函数的极值、最值 PAGEREF _Tc5555 \h 12
\l "_Tc12602" 第4章 三角函数与解三角形
4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念10
\l "_Tc6876" 4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式 PAGEREF _Tc6876 \h 15
\l "_Tc19628" 4.3 三角函数的图象与性质 PAGEREF _Tc19628 \h 15
\l "_Tc19628" 4.4 三角恒等变换 PAGEREF _Tc19628 \h 15
\l "_Tc22863" 4.5 函数y=Asin(ωx+φ) PAGEREF _Tc22863 \h 17
\l "_Tc30358" 4.6 解三角形 PAGEREF _Tc30358 \h 18
\l "_Tc15429" 第5章 数列
\l "_Tc21627" 5.1 数列的概念 PAGEREF _Tc21627 \h 19
\l "_Tc25361" 5.2 等差数列及其前n项和 PAGEREF _Tc25361 \h 20
\l "_Tc25956" 5.3 等比数列及其前n项和 PAGEREF _Tc25956 \h 21
\l "_Tc27506" 5.4 数列求和 PAGEREF _Tc27506 \h 22
\l "_Tc30750" 第6章 平面向量、复数
\l "_Tc2437" 6.1 平面向量的概念及线性运算 PAGEREF _Tc2437 \h 23
\l "_Tc97" 6.2 平面向量基本定理及向量的坐标表示 PAGEREF _Tc97 \h 25
\l "_Tc22660" 6.3 平面向量的数量积与平面向量的应用 PAGEREF _Tc22660 \h 26
\l "_Tc6743" 6.4 数系的扩充与复数的引入 PAGEREF _Tc6743 \h 27
\l "_Tc31151" 第7章 立体几何 PAGEREF _Tc31151 \h 29
\l "_Tc2109" 7.1 基本立体图形、直观图、表面积和体积 PAGEREF _Tc2109 \h 29
\l "_Tc14157" 7.2 空间点、直线、平面之间的位置关系 PAGEREF _Tc14157 \h 33
\l "_Tc16324" 7.3 空间直线、平面的平行 PAGEREF _Tc16324 \h 35
\l "_Tc8439" 7.4 空间直线、平面的垂直 PAGEREF _Tc8439 \h 35
\l "_Tc3059" 7.5 空间向量及其运算 PAGEREF _Tc3059 \h 38
\l "_Tc3424" 7.6 立体几何中的向量方法 PAGEREF _Tc3424 \h 40
\l "_Tc11243" 第8章 解析几何 PAGEREF _Tc11243 \h 41
\l "_Tc2476" 8.1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 PAGEREF _Tc2476 \h 41
\l "_Tc14409" 8.2 直线的交点坐标与距离公式 PAGEREF _Tc14409 \h 42
\l "_Tc692" 8.3 圆的方程 PAGEREF _Tc692 \h 42
\l "_Tc24099" 8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系 PAGEREF _Tc24099 \h 43
\l "_Tc30727" 8.5 椭圆 PAGEREF _Tc30727 \h 43
\l "_Tc6593" 8.6 双曲线 PAGEREF _Tc6593 \h 44
\l "_Tc20651" 8.7 抛物线 PAGEREF _Tc20651 \h 44
\l "_Tc25571" 8.8 直线与圆锥曲线 PAGEREF _Tc25571 \h 45
\l "_Tc18502" 第9章 计数原理 PAGEREF _Tc18502 \h 46
\l "_Tc22334" 9.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 PAGEREF _Tc22334 \h 46
\l "_Tc2714" 9.2 排列与组合 PAGEREF _Tc2714 \h 47
\l "_Tc32483" 9.3 二项式定理 PAGEREF _Tc32483 \h 47
\l "_Tc28035" 第10章 统计与统计案例 PAGEREF _Tc28035 \h 48
\l "_Tc1596" 10.1 随机抽样 PAGEREF _Tc1596 \h 48
\l "_Tc27498" 10.2 用样本估计总体 PAGEREF _Tc27498 \h 49
\l "_Tc25606" 10.3 成对数据的统计分析 PAGEREF _Tc25606 \h 50
\l "_Tc13281" 第11章 概率 PAGEREF _Tc13281 \h 51
\l "_Tc25722" 11.1 随机事件与概率、事件的相互独立性 PAGEREF _Tc25722 \h 51
\l "_Tc32000" 11.2 古典概型、条件概率与全概率公式 PAGEREF _Tc32000 \h 52
\l "_Tc21469" 11.3 离散型随机变量及其分布列 PAGEREF _Tc21469 \h 53
\l "_Tc25478" 11.4 离散型随机变量的数字特征 PAGEREF _Tc25478 \h 53
\l "_Tc13108" 11.5 二项分布与超几何分布 PAGEREF _Tc13108 \h 54
\l "_Tc8652" 11.6 正态分布 PAGEREF _Tc8652 \h 55
第1章 集合与常用逻辑用语、相等关系与不等关系
1.1 集合
(1)集合元素的三个特征性质:确定性、无序性、互异性.
(2)元素与集合的两种关系:属于，记为∈；不属于，记为∉.
(3)集合的三种表示方法:列举法、描述法、图示法.
(4)五个特定的常见数集记法:
2.集合间的基本关系
3.集合的基本运算
4.集合的运算性质
(1)并集的性质:A∪⌀=A；A∪A=A；A∪B=B∪A；A∪B=A⇔ B⊆A .
(2)交集的性质:A∩⌀=⌀；A∩A=A；A∩B=B∩A；A∩B=A⇔A⊆B.
(3)补集的性质:A∪(CUA)=U；A∩(CUA)=⌀；CU(CUA)=A；
CU(A∪B)=(CUA)∩(CUB)；CU(A∩B)=(CUA)∪(CUB).
【常用结论展示】
1.若有限集合A中有n(n∈N*，n≥1)个元素，则A有2n个子集，有2n-1个真子集，有2n-2个非空真子集.
1.2 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词
1.命题
2.充分条件、必要条件、充要条件
设与p对应的集合为A={x|p(x)}，与q对应的集合为B={x|q(x)}，则有如下结论:
3.全称量词和存在量词
4.全称量词命题和存在量词命题
5.全称量词命题与存在量词命题的否定
1.3 等式的性质与不等式的性质、基本不等式
1.两个实数比较大小的法则
2.等式的基本性质
3.不等式的基本性质
4.基本不等式
对于任意的正实数a，b，ab≤a+b2，当且仅当a=b时，等号成立.a+b2叫做正数a，b的算术平均数，ab叫做正数a，b的几何平均数.
1.4 二次函数与一元二次方程、不等式
1.一元二次不等式
我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为一元二次不等式，其一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c0或(x-a)(x-b)0 ⇔f(x1)-f(x2)x1-x2>0.
(2)函数f(x)在区间I上单调递减，x1，x2∈I，且x1≠x2⇔(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]1，且n∈N*)
(1)n为奇数时，nan=a.(2)n为偶数时，nan= |a| =a,a≥0,-a,a0，r，s∈Q).(2)(ar)s= ars (a>0，r，s∈Q).(3)(ab)r= arbr (a>0，b>0，r∈Q).
5.指数函数
(1)定义:一般地，函数y=ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.
(2)指数函数的图象和性质
【常用结论展示】
指数函数的图象与底数大小的比较:指数函数(1)y=ax，(2)y=bx，(3)y=cx， (4)y=dx的图象如图所示，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.
规律:在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大.
2.6 对数与对数函数
1.对数的概念
(1)根据下图的提示填写与对数有关的概念:
(2)a的取值范围: a>0，且a≠1 .
3.对数的性质
4.对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么:
(1)lga(MN)= lgaM+lgaN ；(2)lgaMN= lgaM-lgaN ；(3)lgaMn= nlgaM (n∈R).
5.对数换底公式
lgab=lgcblgca(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0).
6.对数函数的图象与性质
7.反函数
对数函数y=lgax(a>0，且a≠1)与指数函数y=ax(a>0，且a≠1)互为反函数.
互为反函数的两个函数的图象关于直线 y=x 对称.它们的定义域与值域正好互换.
【常用结论展示】
1.换底公式的两个重要结论
(1)lgab=1lgba；(2)lgambn=nmlgab.
其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m≠0，n∈R.
2.对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y=1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故00，那么函数y=f(x)在区间(a，b)内单调递增，区间(a，b)为函数y=f(x)的单调递增区间；
在某个区间(a，b)内，如果f'(x)0，ω>0)的物理意义
y=Asin(ωx+φ)，x∈[0，+∞)，其中A>0，ω>0.物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关:
(1)A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；
(2)这个简谐运动的周期是T=2πω，这是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；
(3)这个简谐运动的频率由公式f=1T=ω2π给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；
(4)ωx+φ称为相位；x=0时的相位φ称为初相.
4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念
1.任意角
(1)定义:角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.
(2)分类:我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角.
这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角.
(3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
2.弧度制
(1)定义:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示.
(2)公式
3.任意角的三角函数
r=|OQ|=x2+y2，sin α=yr，cs α=xr，tan α=yx(x≠0).
【常用结论展示】
1.象限角
2.轴线角
3.若α∈(0，π2)，则tan α>α>sin α.
4.特殊角的三角函数值


4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式
1.同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系:sin2α+cs2α=1.
(2)商数关系:sinαcsα= tan α α≠π2+kπ,k∈Z.
2.三角函数的诱导公式
【常用结论展示】
同角三角函数的基本关系式的几种变形
(1)sin2α=1-cs2α=(1+cs α)(1-cs α)；cs2α=1-sin2α=(1+sin α)(1-sin α)；(sin α±cs α)2=1±2sin αcs α.
(2)sin α=tan αcs α(α≠π2+kπ，k∈Z).
(3)sin2α=sin2αsin2α+cs2α=tan2αtan2α+1；cs2α=cs2αsin2α+cs2α=1tan2α+1.
4.3 三角函数的图象与性质
1.正弦函数的“五点(画图)法”
(1)在正弦函数y=sin x(x∈[0，2π])的图象中，五个关键点是:
(0，0)，π2,1，(π，0)，3π2,-1，(2π，0).
(2)在余弦函数y=cs x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是:
(0，1)，π2,0，(π，-1)，3π2,0，(2π，1).
2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
3.周期函数的定义
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.函数y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)和y=Acs(ωx+φ)(Aω≠0)的周期均为T=2π|ω|；函数y=Atan(ωx+φ)(Aω≠0)的周期为T=π|ω|.
【常用结论展示】
1.对称与周期
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期.
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
2.奇偶性
若函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0，ω≠0)，则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ=π2+kπ(k∈Z)；
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ=kπ(k∈Z).
4.4 三角恒等变换
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
2.二倍角的正弦、余弦和正切公式
(1)sin 2α=2sin αcs α；
(2)cs 2α=cs2α-sin2α=2cs2α-1=1-2sin2α；
(3)tan 2α= 2tanα1−tan2α .
3.辅助角公式
asin x+bcs x=a2+b2sin(x+φ)，其中sin φ=ba2+b2，cs φ=aa2+b2.
【常用结论展示】
1.公式的常用变式:tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β)；
tan αtan β=1-tanα+tanβtan(α+β)=tanα-tanβtan(α-β)-1.
2.降幂公式:sin2α=1−cs2α2；cs2α=1+cs2α2；sin αcs α=12sin 2α.
3.升幂公式:1+cs α=2cs2α2；1-cs α=2sin2α2；
1+sin α=(sinα2+csα2)2；1-sin α=(sinα2-csα2)2.
4.常用拆角、拼角技巧:例如，2α=(α+β)+(α-β)；α=(α+β)-β=(α-β)+β；
β=α+β2−α-β2=(α+2β)-(α+β)；α-β=(α-γ)+(γ-β)；15°=45°-30°；π4+α=π2-(π4-α)等.
4.5 函数y=Asin(ωx+φ)
1.φ对函数y=sin(x+φ)的图象的影响
把正弦曲线y=sin x上的所有点向左(当φ>0时)或向右(当φ0)对函数y=sin(ωx+φ)的图象的影响
一般地，函数y=sin(ωx+φ)的周期是2πω，把y=sin(x+φ)图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当01时)或缩短(当00)的图象
一般地，函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的图象，可以用下面的方法得到:先画出函数y=sin x的图象；再把正弦曲线向左(或右)平移|φ|个单位长度，得到函数 y=sin(x+φ) 的图象；然后把曲线上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)，得到函数y=sin(ωx+φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的 A 倍(横坐标不变)，这时的曲线就是函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的图象.
【温馨提示】函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的图象也可以由函数y=sin x的图象这样变换得到:
【常用结论展示】
类比正弦函数的性质得函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0，ω>0)的性质
4.6 解三角形
1.余弦定理
(1)余弦定理
(2)余弦定理的推论
cs A=b2+c2-a22bc；cs B=a2+c2-b22ac；cs C=a2+b2-c22ab.
2.正弦定理
【温馨提示】若R为△ABC外接圆的半径，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则(1)a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2Rsin C；
(2)sin A=a2R，sin B=b2R，sin C=c2R；
(3)sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c；
(4)a+b+csinA+sinB+sinC=2R.
3.三角形的面积公式
(1)S=12aha=12bhb=12chc(ha，hb，hc分别表示边a，b，c上的高).
(2)S=12absin C=12bcsin A=12acsin B=abc4R(R为△ABC的外接圆的半径).
(3)S=12(a+b+c)r(r为△ABC内切圆的半径).
(4)S=p(p-a)(p-b)(p-c)【其中p=12(a+b+c)】.
4.余弦定理、正弦定理的实际应用
(1)基线
在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度.一般来说，基线越长，测量的精确度越高.
(2)实际测量中的有关名称、术语
【常用结论展示】
三角形中常用的结论
(1)三角形中的三角函数关系
sin(A+B)=sin C；cs(A+B)=-cs C；sinA+B2=csC2；csA+B2=sinC2.
(2)在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B⇔a>b⇔ sin A>sin B⇔cs A0时，数列{an}为递增数列；当d0,q>1或a10，b>0)的一条渐近线的斜率为ba=e2-1.
2.若P为双曲线上一点，F为双曲线的一个焦点，则|PF|≥c-a.
3.区分双曲线中a，b，c的关系与椭圆中a，b，c的关系，在椭圆中，a2=b2+c2，而在双曲线中，c2=a2+b2.
4.若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)与x2b2−y2a2=1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则1e12+1e22=1.
8.7 抛物线
1.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
2.抛物线的标准方程与几何性质
【常用结论展示】
抛物线中的常用结论:
设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，AC，BD分别垂直于准线，垂足分别为C，D，如图所示，则
①x1x2=p24，y1y2=-p2.②弦长|AB|=x1+x2+p=2psin2α(α为弦AB所在直线的倾斜角).
③S△AOB=p22sinα(α为弦AB所在直线的倾斜角).④1|AF|+1|BF|为定值2p.
⑤以AB为直径的圆与准线相切.⑥以AF或BF为直径的圆与y轴相切.⑦∠CFD=90°.
8.8 直线与圆锥曲线
1.直线与圆锥曲线的位置关系
(1)从几何角度看，可分为三类:没有公共点、仅有一个公共点、有两个不同的公共点.
(2)从代数角度看，将表示直线的方程代入圆锥曲线的方程，通过消元后所得方程解的情况来判断.设直线的方程为Ax+By+C=0，圆锥曲线的方程为f(x，y)=0.
联立得Ax+By+C=0,f(x,y)=0,
消去y后得ax2+bx+c=0.
①若a=0，则当圆锥曲线为双曲线时，直线与双曲线的渐近线平行；当圆锥曲线为抛物线时，直线与抛物线的对称轴平行(或重合).
②若a≠0，则Δ=b2-4ac.
当Δ > 0时，直线与圆锥曲线相交于不同的两点；
当Δ = 0时，直线与圆锥曲线相切于一点；
当Δ < 0时，直线与圆锥曲线没有公共点.
2.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题
(1)斜率为k(k≠0)的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则弦长|P1P2|=1+k2|x1-x2|或|P1P2|=1+1k2|y1-y2|.
(2)当斜率不存在时，可求出交点坐标，直接利用两点间的距离公式求解弦长.
3.圆锥曲线的中点弦问题
遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解.在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)中，以P(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率k=-b2x0a2y0；在双曲线x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)中，以P(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率k=b2x0a2y0；在抛物线y2=2px(p>0)中，以P(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率k=py0.
【常用结论展示】
1.直线与椭圆位置关系的有关结论
(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切.
(2)过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切.
(3)过椭圆内一点的直线均与椭圆相交.
2.直线与双曲线位置关系的有关结论
(1)过双曲线外不在渐近线上一点总有四条直线与双曲线有且只有一个公共点，分别是两条切线和两条与渐近线平行的直线.
(2)过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个公共点，分别是一条切线和两条与渐近线平行的直线.
(3)过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点，分别是两条与渐近线平行的直线.
3.直线与抛物线位置关系的有关结论
(1)过抛物线外一点总有三条直线与抛物线有且只有一个公共点，分别是两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线.
(2)过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点，分别是一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线.
(3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个交点，为一条与对称轴平行或重合的直线.
第9章 计数原理
9.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
1.分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.
2.分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法.
【常用结论展示】
1.分类加法计数原理的推广
如果完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法.
2.分步乘法计数原理的推广
如果完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法.
9.2 排列与组合
1.排列与组合的概念
2.排列数与组合数
(1)排列数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Anm表示.
(2)组合数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cnm表示.
3.排列数、组合数的公式及性质
【常用结论展示】
1.(1)Anm=(n-m+1)Anm-1；(2)Anm=nn-mAn-1m；(3)Anm=nAn-1m-1.
2.(1)nAnn=An+1n+1−Ann；(2)An+1m=Anm+mAnm-1.
3.1!+2·2!+3·3!+…+n·n!=(n+1)!-1.
4.(1)Cnm=n-m+1mCnm-1；(2)Cnm=nn-mCn-1m；(3)Cnm=nmCn-1m-1.
5.(1)kCnk=nCn-1k-1；
(2)Crr+Cr+1r+Cr+2r+…+Cnr=Cn+1r+1.
9.3 二项式定理
1.二项式定理
2.二项式系数的性质
【常用结论展示】
1.Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n.
2.Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+Cn5+…=2n-1.
3.Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n·2n-1.
4.CmrCn0+Cmr-1Cn1+…+Cm0Cnr=Cm+nr.
5.(Cn0)2+(Cn1)2+(Cn2)2+…+(Cnn)2=C2nn.
第10章 统计与统计案例
10.1 随机抽样
1.全面调查与抽样调查
(1)全面调查的有关定义:对每一个调查对象都进行调查的方法，称为
全面调查，又称普查.在一个调查中，我们把调查对象的全体称为总体，组成总体的每一个调查对象称为个体.为了强调调查目的，也可以把调查对象的某些指标的全体作为总体，每一个调查对象的相应指标作为个体.
(2)抽样调查的有关定义:根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法，称为抽样调查.我们把从总体中抽取的那部分个体称为样本，样本中包含的个体数称为样本容量，简称样本量.调查样本获得的变量值称为样本的观测数据，简称样本数据.
2.简单随机抽样
(1)简单随机抽样的定义:一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n(1≤n0，则P(AB)=P(A)P(B|A).
4.全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)=∑i=1nP(Ai)P(B|Ai).
5.贝叶斯公式
设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai)>0， i=1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)=P(Ai)P(B|Ai)P(B)=P(Ai)P(B|Ai)∑k=1nP(Ak)P(B|Ak)，i=1，2，…，n.
11.3 离散型随机变量及其分布列
1.随机变量
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量.
2.离散型随机变量
可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量.通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z.
3.离散型随机变量的分布列
(1)定义
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列.
(2)性质
①pi≥0，i=1，2，…，n；②p1+p2+…+pn=1.
4.两点分布
对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，A表示“失败”，定义X=1,A发生,0,A发生.
如果P(A)=p，则P(A)=1-p，那么X的分布列如表所示.
我们称X服从两点分布或0—1分布.
11.4 离散型随机变量的数字特征
1.离散型随机变量的均值
一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示，
则称E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn=∑i=1nxipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.
2.离散型随机变量的方差
设离散型随机变量X的分布列如表所示.
考虑X的所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1-E(X))2，(x2-E(X))2，…，(xn-E(X))2.因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度.我们称
D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn=∑i=1n(xi-E(X))2pi为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称D(X)为随机变量X的标准差，记为σ(X).
3.离散型随机变量的均值与方差的性质
(1)E(aX+b)= aE(X)+b .
(2)D(aX+b)= a2D(X) .
【常用结论展示】
1.如果X1，X2相互独立，那么E(X1·X2)=E(X1)·E(X2).
2.E(X+Y)=E(X)+E(Y).
3.均值与方差的关系:D(X)=E(X2)-E2(X).
11.5 二项分布与超几何分布
1.伯努利试验与n重伯努利试验
(1)只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
(2)将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.
2.二项分布
(1)定义:一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0b
a-b>0
ab>1(a，b>0)或abb⇔a+c>b+c
可逆
性质4
可乘性
a>b,c>0⇒ac>bc
c的符号
a>b,cd⇒a+c>b+d
同向
性质6
同向同正可乘性
a>b>0,c>d>0⇒ac>bd
同向、正项
性质7
乘方法则
a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)
同正
Δ的取值
Δ>0
Δ=0
Δ0)的图象
一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根
有两个不相等的实数根x1，x2(x10(a>0)的解集
{x|xx2}
xx≠-b2a
R
ax2+bx+c0)的解集
{x|x11
00；
当00，且a≠1)
f'(x)=axln a
f(x)=ex
f'(x)=ex
f(x)=lgax(a>0，且a≠1)
f'(x)=1xlna
f(x)=ln x
f'(x)=1x
函数的极值
满足条件
极小值点与极小值
①函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小；②若f(x)在x=a处可导，则f'(a)=0；③在点x=a附近的左侧f'(x)0)
定义域
R
值域
[-A+b，A+b]
最值
ymax=A+b，函数取得最大值时的x的值可由ωx+φ=2kπ+π2(k∈Z)解得；
ymin=-A+b，函数取得最小值时的x的值可由ωx+φ=2kπ-π2(k∈Z)解得
周期性
最小正周期T=2πω
奇偶性
当φ=kπ(k∈Z)，且b=0时，函数为奇函数；当φ=kπ+π2(k∈Z)时，函数为偶函数
单调性
单调递增区间可由2kπ-π2≤ωx+φ≤2kπ+π2(k∈Z)解得；单调递减区间可由2kπ+π2≤ωx+φ≤2kπ+3π2(k∈Z)解得
图象的对称性
对称轴可由ωx+φ=kπ+π2(k∈Z)解得；
对称中心的纵坐标为b，横坐标可由ωx+φ=kπ(k∈Z)解得
文字语言
三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
符号
语言
a2=b2+c2-2bccs A
b2=a2+c2-2accs B
c2=a2+b2-2abcs C
文字语言
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等
符号语言
asinA=bsinB=csinC=2R(R为△ABC外接圆的半径)
名称
定义
图示
仰角
在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角
俯角
在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角
分类标准
名称
含义
按项的个数
有穷数列
项数有限的数列
无穷数列
项数无限的数列
按项的变化趋势
递增数列
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列
各项相等的数列
列表法
列出表格来表示数列{an}的第n项与序号n之间的关系
图象法
在平面直角坐标系中，数列的图象是一系列横坐标为正整数的孤立的点(n，an)
解析法
将数列用一个数学式子表示出来的方法叫做解析法，可用通项公式或其他式子表示数列
名称
定义
备注
向量与数量
把既有大小又有方向的量叫做向量；把只有大小没有方向的量称为数量
平面向量是自由向量
有向线段
具有方向的线段叫做有向线段
以A为起点、B为终点的有向线段记作AB
向量的模
向量AB的大小称为向量AB的长度(或称模)
记作|AB|
零向量
长度为0的向量
记作0，其方向是任意的
单位向量
长度等于1个单位长度的向量
非零向量a的单位向量为±a|a|
平行向量
方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量)，向量a与向量b平行，记作a∥b
规定:零向量与任意向量平行
相等向量
长度相等且方向相同的向量，向量a与向量b相等，记作a=b
相等向量一定是平行向量，反之不一定
三角形法则
前提
已知非零向量a，b
作法
在平面内任取一点O，以同一点O为起点的两个已知向量a，b，OA=a，OB=b，以OA，OB为邻边作▱OACB
结论
以O为起点的向量OC(OC是□OACB的对角线)就是向量a与b的和
图形
记忆口诀:首尾相连连首尾
平行四边形法则
前提
已知不共线的两个向量a，b
作法
在平面内任取一点O，以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作□OACB
结论
对角线OC就是a与b的和
图形
记忆口诀:公共起点对角线
运算
文字描述
符号表示
加法
两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
a+b=(x1+x2，y1+y2)
减法
两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差
a-b=(x1-x2，y1-y2)
向量坐标公式
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标
已知A(x3，y3)，B(x4，y4)，则AB=(x4-x3，y4-y3)
数乘向量
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
λa=(λx1，λy1)，λ∈R
交换律
z1z2=z2z1
结合律
(z1z2)z3=z1(z2z3)
乘法对加法的分配律
z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
类别
定义
图示
多面体
由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点
旋转体
一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的
一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，
封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体.这条定直线叫做旋转体的轴
名称
棱柱
棱锥
棱台
定义
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱
有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台
图示和记法
记作棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'
记作棱锥S-ABCD
记作棱台ABCD-A'B'C'D'
相关
概念
底面:两个互相平行的面；
侧面:底面以外的其余各面；
侧棱:相邻侧面的公共边；
顶点:侧面与底面的公共顶点
底面:多边形面；
侧面:有公共顶点的各个三角形面；
侧棱:相邻侧面的公共边；
顶点:各侧面的公共顶点
上底面:平行于原棱锥底面的截面；
下底面:原棱锥的底面；
侧面:除上下底面以外的面；
侧棱:相邻侧面的公共边；
顶点:侧面与上(下)底面的公共顶点
分类
(1)按底面多边形的边数分:三棱柱、四棱柱、五棱柱……
(2)按侧棱与底面是否垂直分:棱柱直棱柱正棱柱(底面为正多边形),一般的直棱柱斜棱柱
(1)按底面多边形的边数分:三棱锥、四棱锥、五棱锥……其中三棱锥又叫四面体
(2)底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥
(1)由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……
(2)由正棱锥截得的棱台叫做正棱台
结构
特征
①两底面互相平行.
②侧面是平行四边形.
③侧棱互相平行且相等.
④与底面平行的截面与底面全等.
⑤与侧棱平行的截面是平行四边形
①有一个面是多边形.
②其余各面都是三角形.
③这些三角形有一个公共顶点
①上底面与下底面是互相平行的相似多边形.
②侧面是梯形，且相邻两个面的交线(侧棱)延长后交于一点
名称
圆柱
圆锥
圆台
定义
以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分
图示和记法
记作圆柱O'O
记作圆锥SO
记作圆台O'O
相关概念
轴:旋转轴叫做圆柱的轴；
底面:垂直于轴的边旋转而成的圆面；
侧面:平行于轴的边旋转而成的曲面；
母线:无论旋转到什么位置，平行于轴的边；
柱体:圆柱和棱柱统称为柱体
轴:旋转轴叫做圆锥的轴；
底面:垂直于轴的边旋转而成的圆面；
侧面:直角三角形的斜边旋转而成的曲面；
母线:无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边；
锥体:圆锥和棱锥统称为锥体
轴:圆锥的轴；
底面:圆锥的底面和截面；
侧面:圆锥的侧面在底面和截面之间的部分；
母线:圆锥的母线在底面与截面之间的部分；
台体:圆台和棱台统称为台体
结构
特征
①圆柱有无数条母线，它们平行且相等.
②平行于底面的截面是与底面大小相同的圆.
③过轴的截面(轴截面)都是全等的矩形.
④过任意两条母线的截面是矩形
①圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等.
②平行于底面的截面都是圆.
③过轴的截面是全等的等腰三角形.
④过任意两条母线的截面是等腰三角形
①圆台有无数条母线，且长度相等，延长后相交于一点.
②平行于底面的截面是圆.
③过轴的截面是全等的等腰梯形.
④过任意两条母线的截面是等腰梯形
侧面
展开图
侧面积公式
S圆柱侧=2πrl
S圆锥侧=πrl
S圆台侧=π(r1+r2)l
定义
以半圆的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球
图示及相关概念
记作球O
球心:半圆的圆心
半径:连接球心和球面上任意一点的线段
直径:连接球面上两点并且经过球心的线段
几何体
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
S表面积=S侧+2S底
V= Sh
锥体(棱锥和圆锥)
S表面积=S侧+S底
V= 13Sh
台体(棱台和圆台)
S表面积=S侧+S上+S下
V=13(S上+S下+S上S下)h
球
S= 4πR2
V= 43πR3
基本事实
基本事实1
基本事实2
基本事实3
文字
语言
过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面
如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
图形
语言
符号
语言
A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α
A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α
P∈α且P∈β，则存在直线l，使α∩β=l，且P∈l
作用
①确定平面；②证明点、线共面；③证明两个平面重合
判断直线是否在平面内
①判断两个平面是否相交；②证明点共线和线共点问题
推论
自然语言
图形语言
推论1
经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面
推论2
经过两条相交直线，有且只有一个平面
推论3
经过两条平行直线，有且只有一个平面
位置关系
直线a在平面α内
直线a在平面α外
直线a与平面α相交
直线a与平面α平行
公共点
无数个公共点
有且只有一个公共点
没有公共点
符号表示
a⊂α
a∩α=A
a∥α
图形表示
位置关系
两个平面平行
两个平面相交
公共点
没有公共点
有无数个公共点(在一条直线上)
符号表示
α∥β
α∩β=l
图形表示
自然语言
图形语言
符号语言
作用
平行于同一条直线的两条直线平行
a∥b，且b∥c⇒a∥c
判断两条直线是否平行
定理
文字语言
符号语言
图形语言
作用
直线与平面平行的判定定理
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
a⊄α，b⊂α且a∥b⇒a∥α
证明直线与平面平行
直线与平面平行的性质定理
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行
a∥α，a⊂β，α∩β=b⇒a∥b
证明或判断两条直线平行
平面与平面平行的判定定理
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
a⊂β，b⊂β，a∩b=P，a∥α，b∥α⇒β∥α
证明两个平面平行
平面与平面平行的性质定理
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么
两条交线平行
α∥β，α∩γ=a，
β∩γ=b⇒a∥b
证明或判断两条直线平行
定义
一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
记法
l⊥α
有关概念
直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面.它们唯一的公共点P叫做垂足
图示
画法
画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
文字语言
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
图形语言
符号语言
l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b=P⇒l⊥α
文字语言
垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言
a⊥α,b⊥α⇒a∥b
图形语言
作用
①线面垂直⇒线线平行
②作平行线
文字语言
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直
图形语言
符号语言
l⊥β,l⊂α⇒α⊥β
作用
判定两个平面垂直
文字语言
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直
符号语言
α⊥β,α⋂β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β
图形语言
作用
①面面垂直⇒线面垂直
②作面的垂线
名称
概念
说明
零向量
模为0的向量
零向量记为0，方向是任意的
单位向量
模为1的向量
相反向量
方向相反且模相等的向量
向量a的相反向量记作-a
共线(平行)向量
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量
向量a与b平行，记作a∥b；
规定:零向量与任意向量平行，即0∥a
相等向量
方向相同且模相等的向量
在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量
运算
法则
图形
符号表示
记忆口诀
加法运算
三角形法则
a+b=AB+BC=AC
首尾相连连首尾
平行四边形法则
a+b=AB+AD=AC
公共起点对角线
减法运算
三角形法则
a-b=OA−OB=BA
共起点，连终点，指被减
表示
向量表示
坐标表示
数量积
a·b
a1b1+a2b2+a3b3
共线
a=λb(b≠0)
a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3
垂直
a·b=0(a≠0，b≠0)
a1b1+a2b2+a3b3=0
模
|a|
a12+a22+a32
夹角
(a≠0，b≠0)
cs=a1b1+a2b2+a3b3a12+a22+a32·b12+b22+b32
位置关系
向量表示
μ1，μ2分别是直线l1，l2的方向向量
l1∥l2
μ1∥μ2⇔∃λ∈R，使得μ1=λμ2
l1⊥l2
μ1⊥μ2⇔μ1·μ2=0
μ是直线l的方向向量，n是平面α的法向量
l∥α
μ⊥n⇔μ·n=0
l⊥α
μ∥n⇔∃λ∈R，使得μ=λn
n1，n2分别是平面α，β的法向量
α∥β
n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1=λn2
α⊥β
n1⊥n2⇔n1·n2=0
名称
几何条件
方程
适用条件
斜截式
纵截距，斜率
y=kx+b
与x轴不垂直的直线
点斜式
一点，斜率
y-y0=k(x-x0)
两点式
两点
y−y1y2-y1=x−x1x2-x1
(x1≠x2，y1≠y2)
与两坐标轴均不垂直的直线
截距式
纵截距、横截距
xa+yb=1(a≠0，b≠0)
不过原点，且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式
—
Ax+By+C=0(A2+B2≠0)
平面内所有直线都适用
距离
计算公式
P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离
|P1P2|=(x2-x1)2+(y2-y1)2
点P0(x0，y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离
d=|Ax0+By0+C|A2+B2
两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离
d=|C1-C2|A2+B2
位置关系
几何法
代数法
相交
d < r
Δ > 0
相切
d = r
Δ = 0
相离
d > r
Δ < 0
位置关系
几何法:圆心距d与r1，r2的关系
代数法:联立两圆方程组成方程组的解的情况
外离
d>r1+r2
无解
外切
d=r1+r2
一组实数解
相交
|r1-r2|b>0)
图形
性
质
范围
-a≤x≤a -b≤y≤b
-b≤x≤b -a≤y≤a
对称性
对称轴:坐标轴 对称中心:原点
顶点坐标
A1(-a，0)，A2(a，0)
B1(0，-b)，B2(0，b)
A1(0，-a)，A2(0，a)
B1(-b，0)，B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|=2c
离心率
e=ca∈(0，1)
a，b，c的关系
a2=b2+c2
标准方程
x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)
y2a2−x2b2=1(a>0，b>0)
图形
性
质
范围
x≥a或x≤-a，y∈R
x∈R，y≤-a或y≥a
对称性
对称轴:坐标轴 对称中心:原点
顶点
A1(-a，0)，A2(a，0)
A1(0，-a)，A2(0，a)
渐近线
y=±bax
y=±abx
离心率
e=ca∈(1，+∞)
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|=2a，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|=2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系
c2=a2+b2
标准方程
y2=2px(p>0)
y2=-2px(p>0)
x2=2py(p>0)
x2=-2py(p>0)
p的几何意义:焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O(0，0)
对称轴
x轴
y轴
焦点
Fp2,0
F-p2,0
F0,p2
F0,−p2
离心率
e=1
准线方程
x=-p2
x=p2
y=-p2
y=p2
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
焦半径(其中P(x0，y0))
|PF|=x0+p2
|PF|=-x0+p2
|PF|=y0+p2
|PF|=-y0+p2
名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
组合
作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
公式
(1)Anm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=n!(n-m)!.
(2)Cnm=AnmAmm=n(n−1)(n−2)…(n−m+1)m!=n!m!(n−m)!
性质
(1)0!= 1 ；Ann= n !.
(2)Cnm=Cnn−m;Cn+1m=Cnm+Cnm−1
二项式定理
(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b1+…+Cnkan-kbk+…+Cnnbn，n∈N*
二项展开式的通项
Tk+1= Cnkan-kbk ，它表示第k+1项
二项式系数
二项展开式中各项的系数Cnk(k=0，1，2，…，n)
性质
性质描述
对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即Cnm=Cnn−m
增减性
二项式系数Cnk
当kn+12时，Cnk随k的增加而减小
最大值
当n为偶数时，中间的一项Cnn2取得最大值
当n为奇数时，中间的两项Cnn−12 和Cnn+12 相等，且同时取得最大值
数字特征
概念
优点与缺点
平均数
如果有n个数据x1，x2，…，xn，那么这n个数的平均数x=x1+x2+…+xnn
平均数与每一个样本数据有关，可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低
中位数
把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间位置的一个数据或两个数据的平均数
中位数等分样本数据所占频率，它不受少数几个极端值的影响，在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点
众数
一组数据中重复出现次数最多的数
众数通常用于描述变量的值出现次数最多的数.显然它对其他数据信息的忽视使它无法客观地反映总体特征
X
Y
合计
Y=0
Y=1
X=0
a
b
a+b
X=1
c
d
c+d
合计
a+c
b+d
n=a+b+c+d
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
事件的关系或运算
符号表示
读法
含义
包含关系
B⊇A(或A⊆B)
事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)
若事件A发生，则事件B一定发生
相等关系
A=B
事件A与事件B相等
事件B包含事件A，事件A也包含事件B
并事件
(或和事件)
A∪B(或A+B)
事件A与事件B的并事件(或和事件)
事件A与事件B至少有一个发生
交事件
(或积事件)
A∩B(或AB)
事件A与事件B的交事件(或积事件)
事件A与事件B同时发生
互斥事件
A∩B=⌀
事件A与事件B互斥(或互不相容)
事件A与事件B不能同时发生，即A∩B是一个不可能事件
对立事件
A∪B=Ω，且A∩B=⌀
事件A与事件B互为对立
事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生
条件概率的定义
条件概率的性质
一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，称P(B|A)=P(AB)P(A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率
设P(A)>0，则
(1)P(Ω|A)=1；
(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)；
(3)设B和B互为对立事件，则P(B|A)=1-P(B|A)
X
0
1
P
1-p
p
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn