重庆市2024_2025学年高三数学上学期月考二10月试题含解析

这是一份重庆市2024_2025学年高三数学上学期月考二10月试题含解析，共18页。试卷主要包含了 在中，“”是“”的， 已知角的终边经过点，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项:
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.
一、单项选择题
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先分别求出集合A、B，再结合交集的概念即可得答案.
【详解】由可得或或，
所以集合，
由可得，所以集合，
所以，
故选：D.
2. 下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可求解.
【详解】对A，是偶函数，当，，
所以在上单调递减，故A错误；
对B，，所以非偶函数，故B错误；
对C，，所以为偶函数，当，
为减函数，其在上单调递增，故C正确；
对D，，所以为奇函数，故D错误.
故选：C
3. 为了得到的图象，只需把正弦曲线上所有点的（ ）
A. 横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变
B. 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C. 纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变
D. 纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
【答案】B
【解析】
【分析】根据正弦函数图象的伸缩变换即可得结果.
【详解】由，
因此只需把正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变．
故选：B.
4. 在中，“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】结合正弦函数的性质由，可得，再根据充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】在中，，
由，可得，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
5. 设函数，当时，曲线与只有一个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设，则问题等价于时，hx只有一个零点，结合函数的单调性得到，解出即可；
【详解】令，得，即，
设，则问题等价于时，hx只有一个零点，
由函数的单调性可得hx在时单调递增，
所以，解得，
所以实数的取值范围是0,3.
故选：A.
6. 曲线，的所有切线中，斜率最小的切线方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先对函数求导，再求导函数的最小值即为切线斜率的最小值，最后根据点斜式得切线方程.
【详解】由，，
则，
由，则，
当，即时，，
又，即在点处切线的斜率最小为，
则此时的切线方程为：，即，
故选：D.
7. 在中，若分别为内角的对边，且，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用切化统统及和角的正弦公式化简，再利用正余弦定理化简即得.
【详解】在中，由，得，
即，整理得，由正弦定理及余弦定理得：
，则，所以.
故选：C
8. 已知，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合一次函数与二次函数的图象性质，由不等式可得两函数有共同零点，由此得是方程的根，可得的关系，消再利用基本不等式求解最值可得.
【详解】设，.
由已知，在单调递增，
当时，；当时，.
由图象开口向上，，可知方程有一正根一负根，
即函数在有且仅有一个零点，且为异号零点；
由题意，则当时，；当时，.
所以是方程的根，
则，即，且a>0，
所以，
当且仅当，即时等号成立.
则的最小值是.
故选：B.
二、多项选择题
9. 已知角的终边经过点，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据给定条件，利用三角函数定义，结合诱导公式逐项计算即得.
【详解】由角的终边经过点，得点到原点的距离，
对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，D错误.
故选：BC
10. 已知定义在实数集上的函数，其导函数为，且满足，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】将式子两边求导，赋值可得的解析式，由此设出解析式待定系数可得，进而逐一验证选项可得.
【详解】由任意，，
则式子两边对求导，可得，又，
令，则，x∈R.
所以.
设，由，代入得，解得.
故，且.
所以有.
故ABD项正确，C项错误.
故选：ABD.
11. 从出生之日起，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，在前30天内，它们的变化规律如图所示(均为可向右无限延伸的正弦型曲线模型):
记智力曲线为，情绪曲线为，体力曲线为，且三条曲线的起点位于坐标系的同一点处，则（ ）
A. 体力曲线的最小正周期是三个曲线中最小的
B 第462天时，智力曲线与情绪曲线都处于上升期
C. 智力、情绪、体力三条曲线存在无数个公共点
D. 不存在正整数，使得第天时，智力、情绪、体力三条曲线同时处于最高点或最低点
【答案】ACD
【解析】
【分析】观察给定的三条曲线，求出它们的最小正周期，再逐项分析判断即可.
【详解】对于A，观察图象知，智力曲线的最小正周期，情绪曲线的最小正周期，
体力曲线的最小正周期，因此体力曲线的最小正周期是三个曲线中最小的，A正确；
对于B，462除以33余数为0，462除以28余数为14，此时，情绪曲线处于周期处，
处于下降期，而智力曲线刚好处于周期的起点处，处于上升期，B错误；
对于C，智力曲线的对称中心的横坐标，情绪曲线的对称中心的横坐标，
体力曲线的对称中心的横坐标，取的公倍数即得3条曲线公共对称中心横坐标，
有无数个，即三条曲线存在无数个公共的对称中心，因此智力、情绪、体力三条曲线存在无数个公共点，C正确；
对于D，智力曲线的对称轴方程，情绪曲线的对称轴方程，
体力曲线的对称轴方程，令，
由，得，而，
因此不存在自然数使得方程成立，即三条曲线不存在公共的对称轴，
因此不存在正整数，使得第天时，智力、情绪、体力三条曲线同时处于最高点或最低点，D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：求解本问题，观察图象求出曲线的最小正周期是解决问题的关键.
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
12. 在中，三内角所对的边分别为，若，则的面积为_____
【答案】
【解析】
【分析】由余弦定理求出，再由面积公式求解即可；
详解】由余弦定理可得，即，解得或（舍去），
所以，
故答案为：.
13. 英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式:当在处的阶导数都存在时，.注:表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，即为的导数. 表示的阶乘，即.该公式也称为麦克劳林公式.根据该公式估算的值为_____.(精确到小数点后两位)
【答案】0.84
【解析】
【分析】根据麦克劳林公式，求出，令即可求解.
【详解】令，
则，，，，
故，
由麦克劳林公式得，，
所以.
故答案为：0.84.
14. 已知，若，，则的最大值为_____.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得，，可得，再构造函数，结合导数求取函数单调性得到结果.
【详解】由，且，
则有，，
故，，
则，
令，
，则当时，，
当时，，
故在、上单调递减，在上单调递增，
又，
，
，
即，即，
即的最大值为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助余弦函数性质，得到，结合题意所得，从而将化只有一个参数形式，再构造函数，结合导数求取单调性得到结果.
四、解答题(共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. 已知函数的最小正周期为.
（1）求的值及图象的对称轴方程；
（2）在如图所示坐标系中，用“五点作图法”作出在上的图象，并写出在上的单调递增区间.
【答案】（1），对称轴方程：
（2）图象见解析，单调递增区间，
【解析】
【分析】（1）倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，利用周期求的值，整体代入法求图象的对称轴方程;
（2）通过列表描点连线作出函数图象，由图象求区间内的单调递增区间.
【小问1详解】
，
，由的最小正周期，故，
所以，
令，得对称轴方程：.
【小问2详解】
列表如下：
在上的图象如图所示，
由图象可知，在上的单调递增区间为，.
16. 已知椭圆的焦点在轴上，离心率为，是椭圆的一个顶点.
（1）求椭圆的方程;
（2）过的直线交椭圆于两点，若的面积为，求直线的方程.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，求出椭圆的长短半轴长即可.
（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理求出三角形面积即可求出答案.
【小问1详解】
依题意，设椭圆的短半轴长，令长半轴长为，
由离心率，得，解得，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
显然直线的斜率存在，设其方程为，设，
由消去得，显然，
，，
则的面积，则有，解得，
所以直线的方程是.
17. 设的三个内角的对边分别为，已知角为钝角，.
（1）若，求的周长;
（2）求的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合诱导公式可得，再利用正弦定理求出，然后利用余弦定理求解即得.
（2）由（1）的信息，利用三角恒等变换，结合正弦函数、二次函数性质求出范围.
【小问1详解】
在中，由及正弦定理，得，而，
则，即有，而为钝角，则为锐角，因此，
由，得，由，为锐角，得，
由正弦定理，得，
，
由余弦定理得，
于是，解得，
所以的周长为.
【小问2详解】
由（1）知，
则
，又，即，
因此，所以的取值范围.
18. 重庆市高考数学自年起第至题为多选题，每道题共个选项，正确选项为两个或三个，其评分标准是:每道题满分分，全部选对得分，部分选对得部分分(若某道题正确选项为两个，漏选一个正确选项得分;若某道题正确选项为三个，漏选一个正确选项得分，漏选两个正确选项得分)，错选或不选得分.现甲、乙两名同学参加了有这种多选题的某次模拟考试.
（1）假设第题正确选项为三个，若甲同学完全不会，就随机地选了两项或三项作答，所有选法等可能，求甲同学第题得分的概率;
（2）已知第10题乙同学能正确的判断出其中的一个选项是不符合题意的，他在剩下的三个选项中随机地猜选了两个选项;第题乙同学完全不会，他在四个选项中随机地猜选了一个选项.若第10题和题正确选项是两个和三个的概率都为.求乙同学第10题和题得分总和的分布列及数学期望.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，期望为
【解析】
【分析】（1）设四个选项分别为，其中错误选项为，列举法进行求解；
（2）设出事件，得到第10题乙同学得分的概率，第题乙同学得分的概率，第题得分总和的可能取值为，用独立事件概率乘法公式得到相应的概率，从而求出分布列和数学期望.
【小问1详解】
假设四个选项分别为，其中错误选项为，
总的选法共有10种，分别为，
其中得分的选法为，共种，
故甲同学得分的概率为；
【小问2详解】
第10题乙同学三个选项中随机猜选两项，用分别表示第10题乙同学得分，
第题乙同学四个选项中随机猜选一项，用分别表示第题乙同学得分，
则，，，
，，，
从而第题得分总和的可能取值为，
，，
，，
，
，，
，
的分布列为：
故数学期望为.
19. 设函数.
（1）当时，判断在上的单调性；
（2）当x>0时，证明：；
（3）设函数，若函数在上存在唯一极值点，求实数的取值范围.
【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）利用导数求在上的单调性；
（2）令，利用导数求的单调性，证明在上恒成立；
（3）令，函数在上存在唯一极值点等价于在上存在唯一变号零点，利用导数通过讨论判断的单调性和零点的存在，求出实数的取值范围.
【小问1详解】
当时，，
则，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
证明：令，
则，
令，则，当时，，
所以在上单调递增，即在上单调递增；
所以，所以在上单调递增，
所以，所以不等式成立.
【小问3详解】
由题可知：，
则，
令且，
所以函数在上存在唯一极值点等价于在上存在唯一变号零点，
又因为且，
令，
则且
①当时，，
（i）当时，在上单调递减，
所以在上单调递增.
又因为，，
由零点存在性定理知：存在唯一，使得，
所以当时，；当时，，
（ii）当时，，
所以，
所以由（i）（ii）知：在上单调递减，在上单调递增，
即在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，
又因为，
所以由零点存在性定理知：存在唯一，使得，
所以当时，；当时，
所以在上单调递减，上单调递增，
所以当时，，
又因为，由（2）知：，
所以由零点存在性定理知：存在唯一，使得，
当时，；当时，，
即为在上唯一变号零点，所以符合题意；
②当时，由时，得：
，
令且，
则且，
令，
又因为，则在上单调递增，
即在上单调递增，所以，
所以上单调递增，所以，
所以当时，，
即在上无零点，所以不符合题意.
综上：，即实数的取值范围为.
【点睛】方法点睛：
1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理.
2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
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