山西省山西大学附属中学校2024~2025学年高一下册期中考试数学试题

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考查时间：120分钟 满分：150分
一．选择题：1-8为单选 共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．9-11为多选，共3小题，每小题6分。
二、填空题（本题共3小题，每小题5分，满分15分）
12．32 13. 14. （1）151.5 （2）100
四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.(本小题13分)
设，，向量，，，且，．
(1)求；(2)求向量与夹角的余弦值．
【详解】（1）向量，，，且，，
可得且，分
解得，分
即，，则，分
则；分
（2）因为，，分
所以，，分
设向量与夹角为，
则，
即向量与夹角余弦值为．分
16.（1）计算：；
（2）已知是虚数单位，表示的共轭复数，复数满足求的值；
【详解】（1）
．分
（2）令且，则，分
所以，则，可得，分
所以，则；分
17.(本小题15分) 如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm.

(1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积；
(2)求该三棱柱的外接球的表面积.
【详解】（1）因为底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm，
所以底面三角形为直角三角形，两直角边分别为3cm，4cm，分
又因为三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm，
所以分
设圆柱底面圆的半径为，
则，分
圆柱体积分
所以剩下的几何体的体积分
（2）由（1）直三棱柱可补形为棱长分别为3cm，4cm，2cm的长方体，分
它的外接球的球半径满足，即分
所以，该直三棱柱的外接球的表面积为分
18. (本小题17分)
在面积为S的中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)若，试判断的形状，并说明理由；
(2)若，则的面积为，求，的值；
(3)若为锐角三角形，求的取值范围.
【详解】（1）和正弦定理，三角形面积公式可得，，
因，故得，，
由余弦定理可得，
又因为，所以；分
若，即，且，可得，，
所以为直角三角形分
（2）因为，则，解得，分
由余弦定理可得，
即，可得，分
所以分
（3）因为
分
因为，且三角形是锐角三角形，则，解得，分
则，可得，分
则，
所以的取值范围为分
19. (本小题17分)
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面的问题：
(1)若是边长为的6等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和；
(2)的内角，，所对的边分别为，，，且，点为的费马点．
（i）若，求；
（ii）求的最小值．
【详解】（1）由为等边三角形，三个内角均小于，得费马点在三角形内，
满足，且，如图：分

过作于，则，，，分
所以该三角形的费马点到各顶点的距离之和为．分
（2）（i）由正弦定理得，而，，
则，即，得，则的三个角都小于，分
由费马点定义知，，
设，，
由得：，
整理得，分
则
．分
（ii）由（i）知，点在内部，且，
设，，
则，
由余弦定理得，，
，
，
而，即，分
整理得，即，则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
A
B
B
C
A
D
D
AD
ACD
BC