山西省部分学校2024~2025学年高二下册5月联合测评数学试题【附答案】

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试卷满分：150分 考试用时：120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线与直线间的距离为（ ）
A. B. C. D. 1
2. 数学家杨辉在其专著中提出了一些新的高阶等差数列，其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列1，2，4，7，11从第二项起，每一项与前一项的差组成的新数列1，2，3，4为等差数列，则称数列1，2，4，7，11为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其中前几项分别为5，8，13，20，记该数列从第二项起，每一项与前一项之差组成新数列，则（ ）
A. 13B. 15C. 17D. 19
3. 设随机变量，且，则（ ）
A. 0.05B. 0.3C. 0.4D. 0.45
4. 已知函数，当时，有极大值，则（ ）
A. B. C. 0D. 或1
5. 若展开式的二项式系数之和为，则展开式中含项的系数为（ ）
A. B. C. D.
6. 给图中五个区域染色，有4种不同的颜色可供选择，要求有公共边的区域染上不同的颜色，则不同的染色方法有（ ）
A. 216种B. 192种C. 180种D. 168种
7. 如图，在四面体ABCD中，与为等边三角形，且，E，F分别为棱AD，AB的中点，则异面直线BE，CF所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8. 设为坐标原点，直线与抛物线交于、两点，与的准线交于点．若，为的焦点，则与的面积之比为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知双曲线和，其中，且，则（ ）
A. 与虚轴长相等B. 与焦距相等
C. 与离心率相等D. 与渐近线相同
10. 甲箱中有3红球，2个白球和2个黑球，乙箱中有3个红球和2个黑球，先从甲箱中随机摸出一个球放入乙箱中，再从乙箱中摸出2个球，分别用表示从甲箱中摸出的球是红球、白球和黑球的事件，用表示从乙箱中摸出的2个球颜色不同的事件，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知函数，其中实数，则下列结论正确的是（ ）
A. 当时，必有两个极值点
B. 过点可以作曲线的3条不同切线，则
C. 若有三个不同的零点，且成等差数列，则
D. 若有三个不同的零点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知等差数列的前项和为，且，则满足的的最大值为________．
13. 已知过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为________．
14. 为了解正在研发的新产品在18~22岁和23~27岁两个年龄段青年群体中的受众面，某科技公司发布问卷展开调查，从这两个年龄段的青年群体中随机抽取160人作为调查样本，统计数据后得到如下列联表，其中．
若通过计算，得根据小概率值的独立性检验，认为是否对新产品感兴趣与青年的年龄段有关，则在被调查的位于23~27岁年龄段的80名青年中对新产品感兴趣的人数的最小值为________．
附：，其中．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知等比数列的各项均为正数，首项，为其前n项和，且．
（1）求数列的通项公式；
（2），，求数列的前n项和．
16 已知函数．
（1）若，求函数在点处切线方程；
（2）若函数在区间内有极值点，求m的取值范围．
17. 某地区因其独特的地理位置和生态环境，对气候变化较为敏感．地理研究小组为了研究该地区生态情况，对该地区年平均气温x（单位：℃）与年降水量y（单位：mm）之间的关系进行了探究．小组收集了过去10年该地区的相关数据，如下表所示：
附：，，，，相关系数经验回归方程：，其中．
（1）求样本的相关系数（精确到0.01）；
（2）建立y关于x的经验回归方程（a，b的计算结果均精确到1），预测年平均气温为13.5℃时的年降水量．
18. 某电子零部件代加工工厂生产的零部件次品率为10%，现进行多批次抽检，假设各零部件是否为次品相互独立.
（1）从一批产品中随机抽取4件，求抽到的零部件中正品数多于次品数的概率；
（2）若从另一批产品中随机抽取3件，记抽到的零部件的正品数与次品数差的绝对值为，求的分布列与期望；
（3）若从某一批次的产品中随机抽取件，记抽到的零部件的次品数为，且为奇数的概率为，求使的的最大值.
注：.
19. 已知是定义在I上的函数，若对任意，恒成立，则称为I上的非负函数．
（1）判断是否为区间上的非负函数，并说明理由；
（2）已知n为正整数，为区间上的非负函数，记a的最大值为，求证：数列为等差数列；
（3）已知且，函数，若为区间上的非负函数，为（2）中的等差数列，求证：．
年龄段
兴趣
感兴趣
不感兴趣
18~22岁
23~27岁
0.050
0.010
0005
0.001
3.841
6.635
7879
10.828
平均气温
121
12.5
11.3
12.4
13.1
11.5
11.0
11.3
12.6
12.2
年降水量
850
880
820
860
895
840
800
830
865
860