四川雅安2024_2025学年高三下册2月入学考试数学试卷[附解析]

这是一份四川雅安2024_2025学年高三下册2月入学考试数学试卷[附解析]，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合．，则（ ）
A．B．C．D．
2．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）
A．向右平移1个单位长度B．向左平移1个单位长度
C．向上平移1个单位长度D．向下平移1个单位长度
3．已知向量，，，则（ ）
A．0B．1C．2D．4
4．若，，则的取值可以是（ ）
A．4B．3C．2D．1
5．2024年11月份，文化和旅游部、交通运输部等六部门共同遴选出第二批68个交通运输与旅游融合发展示范案例，并正式公布．四川3个案例——“川九”旅游公路、夜游锦江（活水公园一东湖公园段）、“熊猫”旅游列车入选．甲、乙等四人准备各自从上述3个案例的路线中选一条，寒假各自按自己选择的路线去旅游，且甲、乙结伴而行（甲、乙选择的路线相同），则不同的选择方案有（ ）
A．6种B．9种C．12种D．27种
6．已知椭圆与抛物线有公共焦点F，与的交点为A，B，且A，B，F三点共线，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．在棱长为a的正方体．中，P为AB上任意一点，E，F为CD上两个动点，且EF的长为定值，则点P到平面的距离（ ）
A．和点E，F的位置有关B．和EF的长度有关
C．和点P的位置有关D．等于
8．函数的最大值为（ ）
A．B．C．D．3
二、多选题（本大题共3小题）
9．某社区通过公益讲座以普及社区居民用火、用电、用气安全知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份用火、用电、用气安全知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下表：
下列说法正确的是（ ）
A．讲座后问卷答题的正确率的中位数为87.5%
B．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
C．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于讲座前正确率的平均数
D．讲座后问卷答题的正确率的标准差大于讲座前正确率的标准差
10．已知函数，下列命题正确的是（ ）
A．是偶函数
B．若，，则a的取值范围是
C．的解集是
D．若直线与的图象有4个交点，则的取值范围是
11．如图，将一个大圆锥去掉顶部的小圆锥后，剩余部分均分成n个高为h的圆台，记第1个圆台的上底面圆半径为，第2个圆台的上底面圆半径为，则下列结论正确的是（ ）
A．第n个圆台的上底面圆半径为n
B．第n个圆台的体积为
C．前n个圆台的体积之和为
D．数列的前n项和为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知，则 ．
13．函数的单调递增区间是 ．
14．设有一组圆，若圆和圆是这组圆中的两个圆，且圆和圆相切，，则 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．
(1)若，求a；
(2)求A的最大值．
16．已知函数
(1)若直线与曲线相切，求a的值；
(2)若存在，使得，求a的取值范围．
17．如图，在七面体．中，四边形ABCD是边长为6的正方形，平面，．
(1)证明：．
(2)证明：平面平面．
(3)求二面角的余弦值．
18．已知点在双曲线上，过点P且斜率为的直线与C的另一个交点为A，过点P且斜率为的直线与C的另一个交点为B．
(1)求C的方程；
(2)若，求；
(3)求直线AB的斜率．
19．如图，甲、乙、丙、丁按顺时针方向依次围坐在圆桌周围玩掷骰子游戏，规定：每次随机掷3枚骰子，观察骰子向上的点数，第一次由甲掷骰子．若掷出的骰子中没有点数大于3的骰子，则下一次由甲继续掷骰子；若掷出的骰子中有1枚点数大于3的骰子，则将骰子按顺时针方向交给甲后面的第1个人，即下一次由乙继续掷骰子；若掷出的骰子中有2枚点数大于3的骰子，则将骰子按顺时针方向交给甲后面的第2个人，即下一次由丙继续掷骰子；若掷出的骰子中有3枚点数大于3的骰子，则将骰子按顺时针方向交给甲后面的第3个人，即下一次由丁继续掷骰子．记第二次掷骰子的人为A（A为甲或乙或丙或丁），若A掷出的骰子中有i枚点数大于3的骰子，则按顺时针方向数，第三次由A后面的第i个人掷骰子（若i=0，则第三次由A继续掷骰子）．此后每次掷骰子由此类推．
(1)分别求出第二次由甲、乙、丙、丁掷骰子的概率；
(2)记前三次中甲掷骰子的次数为X，求X的分布列及期望；
(3)记第n次由甲掷骰子的概率为，第n次由丙掷骰子的概率为，证明：当时，．
答案
1．【正确答案】B
【详解】因为，
所以，所以．
故选B.
2．【正确答案】B
【详解】将函数的图象上所有的点向左平移1个单位长度可以得到函数的图象．
故选B
3．【正确答案】D
【详解】已知向量，所以.
又因为，，
利用向量的数量积的坐标运算公式得： ，
运用向量得数量积得定义得：,
所以．
故选D.
4．【正确答案】A
【详解】 因为，所以，，．
故选A.
5．【正确答案】D
【详解】根据题意，甲、乙结伴而行，可将甲，乙看作一个整体，
与剩下2人从3个案例的路线中选一条，共有种．
故选D
6．【正确答案】C
【详解】因为与有公共焦点，所以，即．
令，得．根据对称性，不妨取．
因为三点共线，所以，
因为，则得
即，解得或舍去．
故选C.
7．【正确答案】D
【详解】在棱长为a的正方体中，由为上两个动点，得平面即平面，
由平面，平面，得平面，
而为AB上任意一点，则点到平面的距离即点到平面的距离，
由平面，平面，得，又，
平面，因此平面，
所以点到平面的距离为，ABC错误，D正确.
故选D
8．【正确答案】C
【详解】解法一：，当且仅当时，等号成立，
即函数的最大值为．
解法二：
，
当且仅当时，等号成立，
即函数的最大值为．
解法三：由，
当时，；
当时，，
故的单调递增区间为，
单调递减区间为，
又，是的一个周期，
则，即函数的最大值为．
解法四：，
令，则，
令函数，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，即．
故选C.
9．【正确答案】AC
【详解】A.讲座后问卷答题的正确率从小到大排序为：,
故讲座后问卷答题正确率的中位数为，A正确.
B.讲座后问卷答题的正确率的极差为，讲座前正确率的极差为，B错误.
C.每位居民讲座后问卷答题的正确率都有提升，讲座后问卷答题的正确率的平均数大于讲座前正确率的平均数，C正确.
D.讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，D错误.
故选AC.
10．【正确答案】AC
【详解】选项A：函数的定义域为，
，所以是偶函数，A正确．
选项B：由，可知，
函数的图象如图所示．
当时，，所以，B错误．
选项C：当时，由，解得，当时，由，解得，
故的解集是，C正确．
选项D：若直线与的图象有4个交点，则，D错误．
故选AC
11．【正确答案】ABD
【详解】对于A项，记第1个圆台的上底面圆半径为，
第2个圆台的上底面圆半径为，则第个圆台的上底面圆半径为，故A项正确；
对于B项，第个圆台的下底面圆半径为，
则第个圆台的体积为，故B项正确；
对于C项，前个圆台的体积之和为，故C项错误；
对于D项，所以数列的前项和为，
即数列的前项和为．
记数列的前项和为，
数列的前项和为，则，
解得，故D项正确．
故选ABD
12．【正确答案】/0.8
【详解】．
13．【正确答案】(或)
【详解】函数的定义域为，
令在定义域上为增函数，则在上单调递增，
由复合函数单调性的同增异减原则可得，当1，即时，函数单调递增，
即函数单调递增区间为．
14．【正确答案】1
【详解】由得，
其圆心为，半径为．故圆与坐标轴相切，
若异号，则两圆心距离，
两圆的半径和为，显然，故圆和圆外离；
若同号，因为，所以且．
则圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为．
两圆心距离，
两圆的半径和为，两圆半径差为，显然，
故圆和圆不可能内切，只能外切，
所以，解得．
15．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以．
不妨设，
则，即．
，解得，此时．
（2）因为，所以．
，当且仅当时，等号成立．根据在上单调递减，故的最大值为．
16．【正确答案】(1)
(2)．
【详解】（1）∵，∴．
设切点为，则，即，解得．
（2）当时，由得，∴的定义域为．
由得，当时，，当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减．
∴．
∵存在，使得，∴，结合，解得．
当时，由得，∴的定义域为．
由得，当时，，当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减．
∴．
∵存在，使得，∴，结合，解得．
综上，的取值范围为．
17．【正确答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)．
【详解】（1）因为，平面平面，
所以平面，同理可得平面．
因为，所以平面平面．
因为平面平面，
平面平面，所以．
（2）设的中点分别为，连接，
则，因为平面平面，
所以平面平面．
因为平面平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，所以四边形为平行四边形，
则，故得到，
因为，面，所以平面．
因为平面，所以平面平面，即平面平面．
（3）连接，记的交点为，
则四边形为矩形，为等腰三角形，
而，
以点为原点，所在的直线分别为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
得到，
设平面的法向量为，则
取，解得，，得到，
设平面的法向量为，则
取，解得，，得到，
则．
因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．
18．【正确答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为点在双曲线上，
所以，解得，
即双曲线的方程为．
（2）（解法一）直线，直线．
联立,得．
因为方程有一个根为2，所以．
同理可得，．
所以．
（解法二）
直线的方程为，直线的方程为．
设．
联立,得，
，所以，
同理可得，．
当时，．，，
．
（3）（解法一）
易知直线的斜率存在，设直线的方程为．
联立，得，
所以．
由，得，
即，
即，
所以，
化简得，即，
所以或．
当时，直线过点，与题意不符，舍去．
综上，直线的斜率为．
(解法二)
直线的斜率
．
19．【正确答案】(1)，，，．
(2)分布列见解析，
(3)证明见解析
【详解】（1）记为掷出的骰子中有枚点数大于3的骰子的概率，
．
第二次由甲掷骰子的概率．
第二次由乙掷骰子的概率．
第二次由丙掷骰子的概率．
第二次由丁掷骰子的概率．
（2）的取值可能为1，2，3
前三次中甲掷骰子的次数为3，即第二，三次均由甲掷骰子，其概率为
前三次中甲掷骰子的次数为1，即甲第二，三次均没有掷骰子，
分三种情况：第二次乙郑骰子且第三次甲没有掷骰子；
第二次丙掷骰子且第三次甲没有掷骰子；
第二次丁掷骰子且第三次甲没有掷骰子．
其概率为．
前三次中甲掷骰子的次数为2的概率为，
的分布列为
．
（3）证明：记第次由乙掷骰子的概率为，记第次由丁掷骰子的概率为，
①，
②．
②+①得．
因为，所以．
故当时，．
居民编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
讲座前的正确率
65%
60%
60%
65%
70%
75%
90%
85%
80%
95%
讲座后的正确率
90%
85%
80%
75%
80%
90%
100%
95%
85%
100%
1
2
3