2024-2025学年辽宁省辽宁省普通高二下学期5月期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年辽宁省辽宁省普通高二下学期5月期中考试数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数f(x)=2x2−5，则limΔx→0f(2+Δx)−f(2)Δx的值为( )
A. −1B. 3C. 8D. 16
2.已知数列an满足a1=2，an+1=3an−n，则a3=( )
A. 14B. 13C. 12D. 11
3.在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度ℎ(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系ℎ(t)=−5t2+5t+11，则该运动员在t=2 s时的瞬时速度为( )
A. −5 m/sB. −10 m/sC. −15 m/sD. −20 m/s
4.已知等比数列an，且a3+a5=12，a2⋅a6=32，a3f(2)>f(3)B. f(1)>f(3)>f(2)
C. f(3)>f(1)>f(2)D. f(3)>f(2)>f(1)
6.随着大数据时代的到来，越来越多的网络平台开始使用推荐系统来给用户提供更加个性化的服务.某公司在研发平台软件的推荐系统时发现，当收集的数据量为x(x≥2)万条时，平台软件收入为25600xx+1元.已知每收集1万条数据，公司需要花费成本100元，当该软件获得最高收益时，收集的数据量应为( )
A. 17万条B. 16万条C. 15万条D. 14万条
7.若数列an满足an=an−1+1n2+n(n≥2且n∈N+)，a1=12，则a2025=( )
A. 20222023B. 20232024C. 20242025D. 20252026
8.已知函数f(x)=x3−x，过点(−2,a)可向曲线y=f(x)引3条切线，则实数a的取值范围为( )
A. (−2,6)B. (−6,2)C. (−3,5)D. (−5,3)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 函数f′(x)在(b,c)上单调递增B. 函数f(x)至少有2个极值点
C. 函数f(x)在(a,e)上单调递减D. 函数f(x)在x=c处取得极大值
10.给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)=f′(x)′.若f″(x)≥0在D上恒成立，则称f(x)在D上是“下凸函数”.下列函数中在定义域上是“下凸函数”的是( )
A. f(x)=x2−4x+3B. g(x)=lg12x
C. ℎ(x)=x2+2csxD. φ(x)=x2lnx
11.已知数列an的首项为1，且an+1=4an+3n∈N+,bn=lg2an+1lg2an+1+1，数列bn的前n项积为Tn，且不等式Tm≤k⋅ 2m+12m+1m∈N+对∀m∈[4,+∞)都成立，则( )
A. an=22n−1−1B. 数列an的前n项和为22n−1−n
C. Tn=1n+1D. 实数k的最小值为105128
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数f(x)=ex+1−x的极小值点为 ．
13.设Sn为等差数列an的前n项和，且S3=12，S6=15，则S12−S9= ．
14.设P为函数f(x)=1ax3的导函数f′(x)的图象上一点，Q为函数g(x)=lnx的图象上一点，当P,Q关于直线y=x对称时，称(P,Q)是一组对称点．若恰有3组对称点，则a的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列an为等差数列，a1=1，a4=10，等比数列bn的公比为q(q>0)，b1b3=36，b2+b4=60．
(1)求数列an和bn的通项公式；
(2)设cn=an−3bn，求数列cn的前n项和Sn．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=−x3+mx2+6x−4的图象在点2, f(2)处的切线与直线12x+y−2=0平行．
(1)求m的值；
(2)求函数f(x)在区间−4, 2上的极值与最值．
17.(本小题15分)
已知数列an满足a1=2，an+1+1an+1=3．
(1)求数列an的通项公式；
(2)设bn=nan+1，求数列bn的前n项和Sn．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=12x2−(a+1)x+alnx(a>0)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若a>14，求证：对∀x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2，都有fx1−fx2x1−x2+a>0．
19.(本小题17分)
定义：已知数列an的前n项和为An，若对任意正整数n，存在m∈N，使得An=m2，则称数列an为“和完全平方数列”．
(1)若数列bn满足bn=4,n=1,2n+1,n≥2,n∈N∗,判断bn是否为“和完全平方数列”．
(2)若数列cn的前n项和Tn=(n+λ)2(λ∈Z，且λ0，得b2>0，
解得b2=6，q2=9，而q>0，因此q=3，
所以数列bn的通项公式是bn=b2qn−2=2⋅3n−1．
(2)由(1)知，Sn=(a1+a2+⋯+an)−3(b1+b2+⋯+bn)
=n(1+3n−2)2−3⋅2(1−3n)1−3=n(3n−1)2+3−3n+1．
16.解：1)由f(x)=−x3+mx2+6x−4，得f′(x)=−3x2+2mx+6，.
所以f′(2)=−12+4m+6=4m−6．
因为函数f(x)的图象在点2, f(2)处的切线与直线12x+y−2=0平行，
所以f′(2)=−12，即4m−6=−12，解得m=−32．
(2)由(1)，得f(x)−x3−32x2+6x−4, f′(x)=−3x2−3x+6，
令f′(x)=0，解得x=−2，或x=1．
当x变化时，f′(x), f(x)的变化情况如下表所示：
因此，当x=−2时，f(x)有极小值，且极小值为−14，当x=1时，f(x)有极大值，且极大值为−12．
又f(−4)=12, f(2)=−6，所以函数f(x)在区间−4, 2上的最大值为12，最小值为−14．
17.解：(1)由an+1+1an+1=3，又a1+1=3，可得数列an+1是首项、公比均为3的等比数列，
故an+1=3n，∴an=3n−1
(2)由(1)可得bn=n⋅3n，
则Sn=1⋅31+2⋅32+⋯+n⋅3n，
所以3Sn=1⋅32+2⋅33+⋯+(n−1)⋅3n+n⋅3n+1，
两式相减得−2Sn=31+32+33+⋯+3n−n⋅3n+1=31−3n1−3−n⋅3n+1=12−n⋅3n+1−32，
所以Sn=2n−14⋅3n+1+34
18.解：(1)
因为f(x)=12x2−(a+1)x+alnx，定义域为(0,+∞)，
所以f′(x)=x−(a+1)+ax=x2−(a+1)x+ax=(x−1)(x−a)x．
当0