江苏省常熟中学2024−2025学年高二下学期5月月考 数学试题（含解析）

这是一份江苏省常熟中学2024−2025学年高二下学期5月月考 数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知随机变量，设随机变量，则（ ）
A．B．
C．D．
2．若“”是“”的必要条件，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知，若，则（ ）
A．B．C．D．1
5．的展开式中所有二次项（即含，，的项）的系数和为（ ）
A．B．C．D．
6．将一根长为3的铁丝截成9段，使其组成一个正三棱柱的框架（铁丝长等于正三棱柱所有棱的长度之和），则该正三棱柱的体积最大为（ ）
A．B．C．D．
7．已知全集，集合，，是全集的三个子集，定义：表示集合中元素的个数，若，，则所有的有序子集列有（ ）
A．360个B．640个C．960个D．1920个
8．（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列选项正确的是（ ）
A．若正实数满足，则的最小值为10
B．函数的值域是
C．若正实数满足，则的最大值为
D．若正实数满足，则的最小值为
10．已知函数是的导函数，则（ ）
A．“”是“为奇函数”的充要条件
B．“”是“为增函数”的充要条件
C．若不等式的解集为且，则的极小值为
D．若是方程的两个不同的根，且，则或
11．已知函数，则下列说法正确的有（）
A．若函数关于直线对称，则
B．当时，函数在上单调递减
C．当时，函数在有1个极值点
D．函数最多有3个零点
三、填空题
12．某一随机变量X的分布列如下表，且，则 .
13．若曲线在处的切线也是曲线的切线，则的最小值为 .
14．若函数有两个零点，则实数的取值范围为 .
四、解答题
15．为激发学生注重学科核心素养的培养，某校数学教研组开展数学基本技能比赛，比赛采用自主报名参赛方式，全校共有200名学生自主报名参赛，统计参赛成绩，参赛学生所得分数的分组区间为，，，得到如下的频数统计表：
（1）若学生得分不低于90分，则认为基本技能优秀，得分低于90分，则认为基本技能良好，依据小概率值的独立性检验，分析该校学生的基本技能与性别是否有关？
（2）为进一步调研男生和女生在基本技能上的差异，在参加数学基本技能比赛的200名学生中，按性别比例分层抽样的方式随机抽取5名学生进行问卷调研，然后再从这5名学生中随机抽取3名学生进行座谈调研，记取出的3人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望.
附：
，.
16．已知的展开式中，第5项与第3项的系数之比为．
（1）求的值；
（2）求展开式中二项式系数最大的项；
（3）若，求的值．
17．某学校校庆时统计连续天进入学校参加活动的校友数（单位：千人）如下：
（1）由上表数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明（保留小数点后两位）；（若，则认为与的线性相关性很强），并求出关于的线性回归方程；
（2）校庆期间学校开放号门、号门和号门供校友出入，校友从号门、号门和号门进入学校的概率分别为、、，且出学校与进学校选择相同门的概率为，选择与入校不同两门的概率各为.假设校友从号门、号门、号门出入学校互不影响，现有甲、乙、丙、丁名校友于月日回母校参加活动，设为人中从号门出学校的人数，求的分布列、期望及方差.
附：参考数据：，，，，.
参考公式：回归直线方程，其中，.
相关系数.
18．已知集合，集合.
(1)当时，求；
(2)设全集，，.
（i）求实数的值；
（ii）记集合，求中元素的个数.
19．定义在上的可导函数，集合为正整数，其中称为的自和函数，称为的固着点. 已知.
（1）若，，求的值及的固着点；
（2）若，是的自和函数，且在上是严格增函数，求的最大值；
（3）若，，且是的固着点，求的取值范围，并证明：.
参考答案
1．【答案】A
【分析】直接由均值、方差的性质即可求解.
【详解】对于随机变量而言：它的，注意到，
所以对于随机变量而言：它的，
所以.
故选A.
2．【答案】B
【分析】解一元二次不等式，由必要条件的定义即可判断的范围.
【详解】或，
“或”是的必要条件，所以，即实数的最大值为.
故选B.
3．【答案】C
【详解】由题意，
注意到函数的定义域是，且是增函数，
又因为，
所以.
故选C.
4．【答案】D
【详解】由求导，得，
则，得，则，
所以.
故选D.
5．【答案】A
【详解】由题知，的展开式的通项为，
又的展开式的通项为，，
所以的展开式的通项为，
令，则，
所以含的项的系数为，
令，则，
所以含的项的系数为，
令，则，
所以含的项的系数为，
综上，的展开式中所有二次项的系数和为.
故选A.
6．【答案】C
【详解】设正三棱柱的底面边长为x，侧棱长为y，则，即．
正三棱柱的体积．
当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，V取得最大值，最大值为．
故选C.
7．【答案】C
【详解】由，得从全集中选择3个元素分别作为中的元素，不同方法种数是，
余下的两个元素中的每一个元素只能是属于中的一个或都不属于这3个集合，
因此余下的两个元素中的每一个元素都有4种不同的选择方法，
所以所有的有序子集列有个.
故选C
8．【答案】D
【详解】注意到原式中每一项都可以写成，
由组合数的定义可得，
所以原式，
由二项式定理可知，
，
两式相加再除以2可得，
所以原式.
故选D.
9．【答案】AC
【详解】对于A，因为，
当且仅当，即时，等号成立，故选项A正确；
对于B，因为，当且仅当时，等号成立，所以函数的值域为，故选项B错误；
对于C，由正实数满足，由，得，
当且仅当，即时，等号成立，故选项C正确；
对于D，由，得，所以，
当且仅当，即时等号成立，而，最小值取不到，故选项D错误．
故选AC．
10．【答案】ACD
【分析】根据函数的奇偶性和充分、必要条件的判定方法，可判定A正确；结合导数和函数的单调性间的关系，结合充分、必要条件的判定方法，可判定B错误；利用导数求得函数的单调性，进而求得的极小值，可判定C正确；结合二次函数的性质，结合，列出不等式，可判定D正确．
【详解】对于A中，当时，函数，则满足，
所以为奇函数，所以充分性成立；
若为奇函数，则，
则恒成立，所以，所以必要性成立，所以A正确；
对于B中，当时， ，可得，所以为增函数；
由，当为增函数时，，所以“”是“为增函数”的充分不必要条件，所以B错误；
对于C中，由，若不等式的解集为且，
则在上先增后减再增，则，解得，
故，可得，
令，解得或，
当内，，单调递增；
当内，，单调递减；
当内，，单调递增，
所以的极小值为，所以C正确．
对于D中，由，因为是方程的两个不同的根，
所以，即，且，
由，可得，所以，即，
联立方程组，可得，解得或，所以D正确．
故选ACD．
11．【答案】ABD
【详解】选项A，若关于对称，则对任意，有，
代入函数表达式：，
要使，需，即对任意成立，故，
故A正确；
选项B，当且时，，故，求导得：
因为时，，而，故，函数在单调递减，故B正确；
选项C，当时，
当①当时，，在上恒成立；
②当时，，，显然在单调递减，
令，得，因，故，但该解不在区间内，所以在恒成立；
综上，在上恒成立，故在上无极值点，故C错误；
选项D，函数等价于，即，
令，，的图象如图所示，的图象经过定点，
如图所示，与最多只有3个不同的交点，即函数最多有3个零点，故D正确.
故选ABD
12．【答案】8
【详解】由题意，得，解得，
所以，
所以.
13．【答案】2
【详解】，，
因为曲线在处的切线的斜率为，
故曲线在处的切线方程为，
设该直线与曲线的切点坐标为，
则，故，故切点坐标为，
该切点在直线上，故即，
故，
当且仅当时等号成立，故的最小值为2.
14．【答案】
【详解】函数的定义域是，
令，得，
令，
令，
令解得，
所以在区间上单调递增，
在区间上单调递减，
，，
当时，，
所以，所以，
所以当时，，即，单调递增；
当时，，即，单调递减.
，当时，，，
所以，要使有两个解，则需.
15．【答案】（1）认为该校学生的基本技能与性别有关联
（2）分布列见解析，
【详解】（1）根据题意得如下2×2列联表：
零假设：该校学生的基本技能与性别无关联.
，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为该校学生的基本技能与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.1.
（2）由题意知，随机抽取进行问卷调查的5名学生中，女生2名，男生3名，
所以随机变量的可能取值有0，1，2，
故，
，
，
故X的分布列如下，
.
16．【答案】（1）
（2）
（3）1
【详解】（1）展开式的通项公式为，
因为第5项与第3项的系数之比为，所以，
即，解之得或（舍），所以.
（2）因为，所以展开式中二项式系数最大的项为.
（3）由，令，所以.
17．【答案】（1），说明见解析，
（2）分布列见解析，，.
【详解】（1）依题意，，而，，，
则.
因为时线性相关程度高，所以与线性相关性很强，可以用线性回归模型拟合.
，，
因此，回归方程为.
（2）记“甲从号门出学校”为事件，“甲从号门进学校”为事件，
“甲从号门进学校”为事件，“甲从号门进学校”为事件，
由题意可得，，，
，，
由全概率公式得：
，
同理乙、丙、丁从号门出学校的概率也为，
为人中从号门出学校的人数，则，
，，
，，
，
故的分布列为：
，.
18．【答案】(1)
(2)（i）；（ii）.
【分析】（1）利用换元法与导数可求得集合，进而可求；
（2）（i）由已知可得，所以，利用可得，可求解；（ii），由题意可得有两个实数，满足，进而可得结论.
【详解】（1）由题意知，，
解得，
所以，
当时，，
设，则，，令，，
则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
可得，
所以.
（2）（i）因为，所以，可得，
因为且，
可得，
所以，解得.
（ii）由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，
因为，，
而，
所以由的图象可知，有且只有两个实数，满足，
可得或，解得或，
所以方程有两个解，
即中元素的个数为.
19．【答案】（1），固着点
（2）
（3），证明见解析
【详解】（1）由题得，所以，
因为，所以，解得，
所以，固着点.
（2）由题得，则，
所以，因为是上的严格增函数，
所以在区间上恒成立，
由，得到，所以，
所以，因此的最大值是.
（3）（方法一）由题得，，
所以，
因为，且是的固着点，所以（*）在上有唯一的解，
记，则，所以在是严格减函数，
从而，又当时，，故的值域是，
所以，即，
记，则由上述可知是的严格减函数且，
，
因为，所以，所以 ①
又，
记，则，
因为，所以，所以，
所以是上的严格增函数，
故，从而 ②
由①②可知，，即，
又是的严格减函数，所以，故.
（方法二）
由题得，，所以，
因为且是的固着点，所以（*）在上有唯一的解
求导得，
当时，，是上的严格减函数，
所以，所以方程（*）无解；
当时，
（ⅰ）当时，在恒成立，故是上的严格增函数，
所以，所以方程（*）无解；
（ⅱ）当时，如下表
可知在严格减，在严格增，
又，，当时，，
所以方程（*）在无解，在有唯一解，满足题意的的取值范围，
因为是的唯一解，所以，
又，令，
则，所以是上的严格减函数，
所以，即，
又当时，，所以，
又在上有唯一的零点，则，
综上，，此时.
X
0
1
2
3
P
0.1
m
0.2
n
分数区间性别
男生/名
15
45
60
女生/名
25
25
30
α
0.10
0.05
0.010
2.706
3.841
6.635
日期
月日
月日
月日
月日
月日
第天
参观人数
男生
女生
合计
基本技能优秀
60
30
90
基本技能良好
60
50
110
合计
120
80
200
X
0
1
2
P
-
0
+
严格减
极小值
严格增