吉林省吉林市吉化第一高级中学校2023−2024学年高二下学期7月期末考试 数学试题（含解析）

这是一份吉林省吉林市吉化第一高级中学校2023−2024学年高二下学期7月期末考试 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．下列关于命题“，使得”的否定说法正确的是（ ）
A．，均有假命题B．，均有真命题
C．，有假命题D．，有真命题
3．已知函数，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知实数，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”现有一类似问题，不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中与弦围成的弓形的面积为（ ）
A．B．C．D．
6．函数的部分图象如图所示，则 （ ）
A．B．C．1D．
7．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
8．定义在正整数上的函数满足，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知正数满足，则下列说法一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意都满足，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．是奇函数D．若，则
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数存在两个不同的零点
B．函数既存在极大值又存在极小值
C．当时，方程有且只有两个实根
D．若时，，则的最小值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．，则 .
13．若幂函数的图象过点，则函数的最大值为 .
14．设函数的值域为，则实数的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知全集为，集合.
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
16．已知，若关于x的不等式的解集是．
(1)求a的值；
(2)若关于x的不等式在上恒成立，求实数b的取值范围.
17．已知函数．
（1）求函数在区间上的最值；
（2）若，，求的值．
18．已知函数为偶函数，为奇函数，且.
（1）求函数和的解析式.
（2）若在恒成立，求实数的取值范围.
（3）记，若，且，求的值.
19．设函数在区间上可导，为函数的导函数．若是上的减函数，则称为上的“上凸函数”；反之，若为上的“上凸函数”，则是上的减函数．
(1)判断函数在上是否为“上凸函数”，并说明理由；
(2)若函数是其定义域上的“上凸函数”，求的取值范围；
(3)已知函数是定义在上的“上凸函数”，为曲线上的任意一点，求证：除点外，曲线上的每一个点都在点处切线的下方．
参考答案
1．【答案】D
【分析】解出集合中不等式的解集，再运用集合并运算即可求解.
【详解】，即，
解得，
又，
则.
故选.
2．【答案】B
【分析】存在性命题的否定是全称命题，先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，即可得该命题的否定，再判断真假即可.
【详解】命题“，使得”的否定是，均有，
对，又，故该命题为真命题.
故选B.
3．【答案】C
【分析】根据，利用可构造方程求得结果.
【详解】，，解得：.
故选C.
4．【答案】D
【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可.
【详解】由题可知，，
A项中，若，则，故A项错误；
B项中，若，则，故，故B项错误；
C项中，若，则，故C项错误；
D项中，，
因为，则，故正确，故D项正确.
故选D.
5．【答案】B
【详解】解：设圆的半径为，则，，
由勾股定理可得，即，
解得，所以，，
所以，因此.
故此题答案为B.
6．【答案】D
【分析】结合函数图象，求得函数的解析式，再计算函数的函数值.
【详解】由图可知函数的周期，
故；
又由图象和函数解析式知函数过点，求得：，，
解得，，又，
故可得：，
故，满足，
则.
故选D.
7．【答案】D
【分析】依题意可得，，，令，利用导数说明函数的单调性，结合函数的单调性比较大小.
【详解】依题意可得，，，
设，则，当时，，单调递减，
又，所以，即，即.
故选D.
8．【答案】C
【分析】由已知结合换元法求出函数的周期为12，进而得解.
【详解】①
②
由①②可得
，
所以函数的周期为12，
故选C.
9．【答案】ACD
【分析】由已知等式可得，由，，结合基本不等式可知AB正误；利用基本不等式可直接验证CD正误.
【详解】由，，得：；
对于A，（当且仅当，即，时取等号），A正确；
对于B，（当且仅当，即，），B错误；
对于C，（当且仅当，即，时取等号），
，解得：（当且仅当，时取等号），C正确；
对于D，（当且仅当，即，时取等号），
由C知：（当且仅当，时取等号），
（当且仅当，时取等号），D正确.
故选ACD.
10．【答案】ACD
【分析】利用赋值法，令可判断A项；令，可判断B项；令并结合奇函数的定义可判断C项；令可判断D项.
【详解】因为，所以令，得，故A正确；
令，得，所以，
令，得，所以，故B错误；
令，得，
又，所以，
所以函数是奇函数，故C正确；
令，得，
又，，所以，故D正确.
故选ACD.
11．【答案】ABC
【分析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项．
【详解】对于A．，解得，所以A正确；
对于B．，
当时，，当时，或，
所以是函数的单调递减区间，是函数的单调递增区间，
所以是函数的极小值，是函数的极大值，所以B正确；
对于C．当时，，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，当时，方程有且只有两个实根，所以C正确；
对于D.由图象可知，t的最大值是2，所以D错误．
故选ABC.
【易错警示】本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是是函数的单调递减区间，但当时，，所以图象是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了．
12．【答案】3
【分析】利用诱导公式化简得到，化弦为切，代入求值求出答案.
【详解】，.
故答案为：3.
13．【答案】/
【分析】设出，代入，求出，得到解析式，并得到，换元后得到函数最大值.
【详解】设，将代入得，
解得，故，解得，
故，
所以，
令，，
故，
所以的最大值为.
故答案为：/.
14．【答案】
【分析】设，利用导数研究其单调性、极值，画出函数和函数的图象，结合图象可得答案.
【详解】设，
则，
，
令，得或；
令，得；
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
的极小值为，极大值为，
设，则，
令，得，
在同一平面直角坐标系中作出函数和的图象，如图所示：
联立，
消去得，
化简得：，整理得，
解得或或，
若函数的值域为，
由数形结合易知.
故答案为：.
15．【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）解出不等式，直接根据补集和并集的定义计算即可；
（2）由题意可得⫋，进而列出不等式求解。
【详解】（1），
当时，，
所以或.
（2），
由“”是“”的充分不必要条件得⫋，
所以，解得，即的取值范围是.
16．【答案】(1)；(2).
【分析】(1)将代入方程，即可求出的值；
(2)由(1)可知不等式在上恒成立，利用分离参数即可求出的取值范围.
【详解】(1)和是的两根，将代入方程解得(经验证满足题意)；
(2)由(1)可知不等式在上恒成立，即在上恒成立，
当时，恒成立，此时；
当时，不等式可转化为在上恒成立，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以，所以,
综上，实数b的取值范围为.
【思路导引】本题主要考查三个二次式关系的应用，不等式恒成立问题的求法.
17．【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）.
【解析】(1)由辅助角公式对函数解析式进行化简，求出的取值范围，从而可求出函数的最值.
(2)结合同角三角函数的基本关系可求出，结合二倍角公式可求出，，由两角差的正弦公式即可求出的值.
【详解】（1）
．因为，所以，
所以，所以，
故函数在区间上的最大值为，最小值为．
（2）因为，，所以，
所以，，
所以
．
【思路导引】本题考查了辅助角公式，考查了正弦型函数最值的求解，考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式，考查了两角差了正弦公式.
18．【答案】（1），.；（2）；（3）2．
【解析】（1）结合奇偶性和已知条件得到，再解方程即得函数解析式；
（2）代入解析式化简后换元，将问题转化成在上恒成立问题，方法一采用分离参数法解决恒成立问题，方法二通过讨论对称轴和区间的关系研究最值解决恒成立问题；
（3）令，先代入解析式化简求得，即得，结合，代入计算即得结果.
【详解】（1）由题知：函数为偶函数，函数为奇函数，且，①
则，
又由，，
故②，
则由①②式，解得，.
（2）方法一：由在上恒成立，
即在上恒成立，
即在上恒成立，
则在上恒成立，
令，易知在上单调递增；
故，即在上恒成立.
由，即，
又由在上单调递增，且，
故在上的最小值为，
故；
方法二：由的对称轴为，则
①当时，即，
此时在处取得最小值，
即，
解得，
故.
②当时，时，
由即可满足条件，
故，解得，
易知，故此时，
故综上①②可知，；
（3）由，
令，又由，
且，
故，，
故
.
【方法总结】解决恒成立问题的常用方法：
①数形结合法：画图象，对关键点限制条件；②分离参数法：转化成参数与函数最值的关系；③构造函数法：转化成函数最值（含参数）的范围.
19．【答案】(1)函数在上是“上凸函数”，理由见解析；
(2)；
(3)证明过程见解析.
【分析】（1）求导得，令，只需判断在上是否恒成立即可；
（2）由题意设，则恒成立，即当时，恒成立，从而分类讨论、分离参数即可求解；
（3）构造函数，则，借助“上凸函数”的定义即可得证.
【详解】（1）由题意，，令，
则，当时，，
即此时，所以即单调递减，
从而由定义可知函数在上是“上凸函数”；
（2）因为，
所以，设，
则，
由题意函数是其定义域上的“上凸函数”，
所以单调递减，
从而当时，恒成立，
即当时，恒成立，
当时，不等式左边为，不等式成立，此时任意，
当时，恒成立，
而此时，
所以此时，
当时，恒成立，
而此时，等号成立当且仅当，
即此时，所以，
综上所述，的取值范围为；
（3）设为曲线上的任意一点，过点的切线方程为，
令，则，
函数是定义在上的“上凸函数”，则单调递减，
所以当时，，此时单调递减，
所以，，
当时，，此时单调递增，
所以，，
综上所述，除点外，曲线上的每一个点都在点处切线的下方.
【关键点拨】关键是得到当时，恒成立，由此即可顺利得解.