黑龙江省大庆市大庆中学2023−2024学年高二下学期期末考试 数学试题（含解析）

这是一份黑龙江省大庆市大庆中学2023−2024学年高二下学期期末考试 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知a∈R ，则“a＞1 ”是“1a＜1 ”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
3．北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们成的图形像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星.北斗七星不仅是天上的星象，是古人藉以判断季节的依据之一.如图，用点A，B，C，D，E，F，G表示某季节的北斗七星，其中B，D，E，F看作共线，其他任何三点均不共线，若过这七个点中任意三个点作三角形，则所作的不同三角形的个数为（ ）
A．35B．34
C．31D．30
4．已知等差数列an 的前n 项和为Sn ，且a2+a3=10 ，S5=30 ，则数列an 的公差为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
5．在2x+1x6 的展开式中，下面关于各项的描述不正确的是（ ）
A．常数项为240B．含x-3 的项的二项式系数为15
C．各项的二项式系数和为64D．第四项为60x-3
6．曲线y＝ln(2x−1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离为（ ）
A．5 B．25 C．35 D．2
7．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别为AD1，B1C上的动点，且满足AP＝B1Q，则下列4个命题中，所有正确命题的序号是（ ）
①存在P，Q的某一位置，使AB//PQ ；
②△BPQ 的面积为定值；
③当PA＞0时，直线PB1与直线AQ一定异面；
④无论P，Q运动到何位置，均有BC⊥PQ.
A．①②④B．①③
C．②④D．①③④
8．已知m＞1 ，n＞0 ，且m2+2n=3m ，则2m-1+m4n 的最小值为（ ）
A．94 B．92 C．32 D．2
二、多选题（本大题共3小题）
9．以下几种说法正确的是（ ）
A．对于相关系数r ，r 越接近1，相关程度越大，r 越接近0，相关程度越小
B．若随机变量ξ,η 满足η=2ξ+1 ，则Dη=2Dξ+1
C．根据分类变量X 与Y 的成对样本数据，计算得到χ2=4.712 .依据α=0.05 的独立性检验x0.05=3.841 ，可判断X 与Y 有关且犯错误的概率不超过0.05
D．某人在n 次射击中，击中目标的次数为X ，射击中靶的概率为p ，若EX=30,DX=20 ，则p=23
10．如图，已知一个八面体的各条棱长均为2，四边形ABCD 为正方形，则下列结论不正确的是（ ）
A．该八面体的体积为83
B．E 到平面ADF 的距离为3
C．该八面体的外接球的表面积为16π
D．EC 与BF 所成角为60∘
11．定义：设f′x 是fx 的导函数，f′′x 是函数f′x 的导数.若方程f′′x=0 有实数解x0 ，则称点x0,fx0 为函数y=fx 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心，已知函数fx=ax3+bx2+53ab≠0 的对称中心为1,1 ，则下列说法中正确的有（ ）
A．a=13 ，b=-1
B．函数fx 有三个零点
C．过3,53 可以作两条直线与y=fx 图象相切
D．若函数fx 在区间t-6,t 上有最大值，则0＜t⩽3
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知随机变量X∼N3,4 ，且PX＞3c-2=PX＜2c+1 ，则c的值为______．
13．已知数列an 满足：an+2=an+2,n为奇数2an,n为偶数 ，且a1=2 ，a2=1 ，则此数列的前20项的和为______．
14．受环境和气候影响，近阶段在相邻的甲、乙、丙三个市爆发了支原体肺炎，经初步统计，这三个市分别有8%,6%,4% 的人感染了支原体肺炎病毒，已知这三个市的人口数之比为4:6:10 ，现从这三个市中任意选取一个人.则这个人感杂支原体肺炎病毒的概率为_____________.
四、解答题（本大题共5小题）
15．在1，2，3，……，8这8个自然数中，任取3个数字．
(1)求这3个数中恰有1个偶数的概率；
(2)设X 为所取的3个数中奇数的个数，求随机变量X 的概率分布列及方差．
16．已知函数fx=e-xx2-a ，x=-1 是函数fx 的一个极值点.
（1）求a 的值；
（2）求fx 的单调区间.
17．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是边长为2 的正方形，四边形ACEF 为菱形，∠CAF=π3 ，平面ACEF⊥ 平面ABCD .
(1)求三棱锥B-DEF 的体积；
(2)求平面BAF 和平面BCE 夹角的余弦值.
18．某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱，现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表：
(1)求收益y 关于售出水量x 的回归直线，并计算每天售出8箱水时预计收益是多少元？
附：b=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2,â=y-bx,x=6,y=146,i=15xiyi=4420,i=15xi2=182
(2)期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级前201~500名，获二等奖学金300元；考入年级501名以后的特困生不获得奖学金.甲､乙两名学生获一等奖学金的概率均为25 ，获二等奖学金的概率均为13 ，不获得奖学金的概率均为415 .
①在学生甲获得奖学金的条件下，求他获得一等奖学金的概率；
②已知甲､乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的，求甲､乙两名学生所获得奖学金总金额X 的分布列及数学期望.
19．若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，3进行构造，第一次得到数列1，4，3：第二次得到数列1,5,4,7,3 ：依次构造，第nn∈N* 次得到的数列的所有项之和记为an ，如a1=1+4+3=8 .
(1)求a3 ；
(2)求an 的通项公式；
(3)证明：1a1+1a2+1a3+⋯+1an＜524 .
参考答案
1．【答案】C
【分析】分别求集合，，再求它们的交集.
【详解】因为集合，
，
所以．
故选C.
【思路导引】利用根号下的数大于等于0，计算出集合A，再利用因式分解计算出集合B，最后利用交集的定义计算出．
2．【答案】A
【分析】先求1a＜1 的解集，再利用充分必要条件的概念即可判断.
【详解】由1a＜1 得a-1a＞0 ，此不等式与不等式aa-1＞0 同解，解得a＜0 或a＞1 .
所以，当a＞1 时，1a＜1 一定成立，故充分性成立；
当1a＜1 即a＜0 或a＞1 时，a＞1 不一定成立，故必要性不成立.
综上所述，“a＞1 ”是“1a＜1 ”的充分不必要条件.
故选A.
3．【答案】C
【分析】由间接法，从所有三角形中减去不能构成三角形的情况计算即可.
【详解】从这七个点任意选取三个点作三角形有个，
其中共线的四点中有个不能构成三角形，
所以不同的三角形个数有31个，
故选C.
4．【答案】B
【分析】本题可直接利用等差数列通项公式和前n 项和公式联立方程组求解即可得出答案.
【详解】设等差数列an 的首项和公差分别为a1 和d ,则由题意可得a2+a3=2a1+3d=10S5=d2×52+a1-d2×5=30 ,联立解得d=2 .
故选B.
【一题多解】由于等差数列an 的前n 项和为Sn ，S5=30 ，则S5=a1+a2+a3+a4+a5=
5a3=30, 即a3=6, 又a2+a3=10,故a2=4,d=2.
5．【答案】D
【分析】根据二项展开式的通项公式逐个选项分析即可.
【详解】由题可知二项展开式的通项为Tr+1=C6r2x6-r⋅1xr=26-rC6r⋅x6-3r2 .
对A，当6-3r2=0 ，即r=2 时取得常数项24C62=240 ，故A正确；
对B，当6-3r2=-3 ，即r=4 时取得x-3 的项，其二项式系数为C64=15 ，故B正确；
对C，二项式系数和为26=64 ，故C正确；
对D，第四项为T4=26-3C63⋅x6-3×32=160x-32 ，故D错误.
故选D.
6．【答案】A
【分析】当直线2x－y＋3＝0的平行线与曲线相切时，切点到直线的距离即为所求.
【详解】将直线2x－y＋3＝0平移至与曲线y＝ln(2x−1)相切时，
切点到直线2x－y＋3＝0的距离为最短距离，
设与直线2x－y＋3＝0平行的直线方程为2x-y+n=0n≠3 ，
设切点为Px0,y0 ，∵y=ln2x-1,∴y′=22x-1,y′|x=x0=22x0-1=2 ，
解得x0=1,y0=0,∴P1,0 到直线2x－y＋3＝0的距离为d=|2+3|22+1=5 ，
∴ 曲线y＝ln(2x−1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离为5 .
故选A.
7．【答案】D
【分析】画出图形，利用特殊点判断①的正误；判断△BPQ 面积的变化，判断②，利用异面直线以及直线与平面垂直关系判断③④即可．
【详解】①当P ，Q 分别为棱AD1 ，B1C 的中点时满足，故正确．
②令正方体的棱长为1，取特殊位置△BPQ 的面积为变化，P 在A 处时，△BPQ 的面积为12 ，P 在AD1 中点时，△BPQ 的面积为12×1×22=24 ，面积不是定值，故错误．
③，当PA＞0 时，假设直线PB1 与AQ 是共面直线，则AP 与B1Q 共面，矛盾，所以直线PB1 与AQ 是异面直线，故③正确；
④，当P 与A 重合或P 与D1 重合时，易证BC⊥PQ .当P 不与A 、D1 重合时，设点P 在平面ABCD内的射影为M，点Q在平面ABCD内的射影为N，连接PM，QN，MN，PQ，由AP=B1Q 知，AM=BN ，故BC⊥MN ，又QN⊥BC ，MN∩QN=N ，所以BC⊥ 平面PMNQ ，PQ⊂ 平面PMNQ ，所以BC⊥PQ ，故④正确；
故选D．
8．【答案】A
【分析】由已知得2n=3m-m2＞0 ，所以2m-1+m4n=2m-1+123-m ，记a=m-1,b=3-m ，可得2m-1+m4n=94+ba+a4b ，然后利用基本不等式可得答案.
【详解】因为m2+2n=3m ，所以2n=3m-m2 ，
因为n＞0 ，m＞1 ，所以2n=3m-m2＞0 ，得1＜m＜3 ，
所以2m-1+m4n=2m-1+m23m-m2=2m-1+123-m ，
记a=m-1,b=3-m ，所以a+b=m-1+3-m=2 ，
所以a+b2=1 ，且a＞0,b＞0 ，
所以2m-1+m4n=2m-1+123-m=2a+12b=a+ba+a+b4b=94+ba+a4b
⩾94+2a4b×ba=94 ，当且仅当a4b=ba 即b=23,a=43 等号成立，
此时m=73 ，n=7-4992=79 .
故选A.
【易错警示】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
9．【答案】AC
【分析】由相关系数性质可得A；由方差性质计算可得B；由独立性检验定义可得C；由二项分布的期望与方差公式可得D.
【详解】对A：在回归分析中，相关系数的绝对值越接近于1，相关程度就越大，故A正确；
对B：Dη=D2ξ+1=22Dξ=4Dξ ，故B错误；
对C：观测值越大，有关系把握程度越大，故C正确；
对D：由X∼Bn,p ，则有EX=np=30 ，DX=np1-p=20 ，
故EXDX=npnp1-p=p1-p=32 ，即p=35 ，故D错误.
故选AC.
10．【答案】ABC
【分析】对于A选项，将八面体分为两个相同的正四棱锥，由锥体的体积公式求解即可；
对于B选项，取AD 中点G ，找出AD⊥ 平面EFG ，过E 作EH⊥FG 交FG 延长线于H ，易证EH⊥ 平面ADF ，所以EH 为E 到平面ADF 的距离；
对于C选项，根据八面体的性质，确定其外接球的球心为中间正方形对角线的交点，则外接球半径R=2 ，由球的表面积公式求解即可;
对于D选项，易得ED // BF ，则∠DEC 或其补角即为EC 与BF 所成角.
【详解】如图，
对于A，连接AC,BD 交于点O ，连接EF ，易得EF 过点O ，且EF⊥ 平面ABCD ，
又AO=12AC=12×4+4=2 ，则EO=4-2=2 ，
则该八面体的体积为2VE-ABCD=2×13×22×2=823,A 错误；
对于B，取AD 中点G ，连接EG,FG,OG ，易得OG=1,EG=FG=2+1=3 ，
易知AD⊥EG,AD⊥FG ，
因为EG∩FG=G,EG,FG⊂ 平面EFG ，所以AD⊥ 平面EFG ，
过E 作EH⊥FG 交FG 延长线于H ，
因为EH⊂ 平面EFG ，所以AD⊥EH ，
又HF∩AD=G,HF,AD⊂ 平面ADF ，故EH⊥ 平面ADF ，
所以EH 为E 到平面ADF 的距离，
由sin∠EFH=OGGF=13=EHEF=EH22 ，则EH=263 ，
即E 到平面ADF 的距离为263,B 错误；
对于C，因为OA=OB=OC=OD=OE=OF=2 ，
则点O 即为该八面体的外接球的球心，则外接球半径R=2 ，
所以外接球的表面积为4πR2=8π,C 错误；
对于D，易得ED // BF ，则∠DEC 或其补角即为EC 与BF 所成角，
又∠DEC=60∘ ，则EC 与BF 所成角为60∘,D 正确.
故选ABC.
11．【答案】ACD
【分析】由对称中心是1,1 ，结合题中“拐点”的定义，求出a 和b 的值，再通过求导画出函数fx 的图象，结合图象，判断各选项即可.
【详解】对于A中，由fx=ax3+bx2+53 ，可得f′x=3ax2+2bx ，则f′′x=6ax+2b ，
因为点1,1 是对称中心，结合题设中“拐点”的定义可知，
f′′1=6a+2b=0 且f1=a+b+53=1 ，解得a=13,b=-1 ，所以A正确；
对于B中，由a=13,b=-1 ，可知fx=13x3-x2+53 ，则f′x=x2-2x ，
令f′x=0 ，可得x=0 或x=2 ，
当x∈-∞,0 时，f′x＞0 ，fx 单调递增；
当x∈0,2 时，f′x＜0 ，fx 单调递减；
当x∈2,+∞ 时，f′x＞0 ，fx 单调递增；
又f0=53,f2=13 ，则函数fx 图象如图所示，
由图象可知，函数fx 只有一个零点，所以B错误；
对于C中，因为f3=53 ，所以点3,53 恰好在fx 的图象上，
画出函数fx 的切线，如图所示，
由图象可知过点3,53 可作函数fx 的两条切线，所以C正确；

对于D中，若fx 在区间t-6,t 上有最大值，由上图可知，最大值只能是53 ，
所以0＜t⩽3 且t-6＜0 ，解得0＜t⩽3 ，所以D正确.
故选ACD.
12．【答案】75 /1.4
【分析】根据已知条件及正态分布的对称性即可求解.
【详解】因为随机变量X∼N3,4 ，所以直线μ=3 为正态曲线的对称轴，
而PX＞3c-2=PX＜2c+1 ，由正态分布的对称性可知，
3c-2+2c+12=3 ，解得c=75 .
所以c的值为75 .
故答案为：75 /1.4 .
13．【答案】1133
【分析】根据递推关系，可以得到奇数项和偶数项分别成等差和等比数列，进而分组求和即可.
【详解】当n为奇数 时，由an+2=an+2 可知，an 的奇数项成等差数列，且公差为2，首项为a1=2 ；当n为偶数 时，an+2=2an 可知an 的偶数项成等比数列，且公比为2，首项为a2=1 ，
故前20项和为a1+a2+a3+⋯+a19+a20=a1+a3+a5⋯+a19+a2+a4+a6⋯+a20 =10×2+10×92×2+1-2101-2=110+1023=1133 .
故答案为：1133.
14．【答案】0.054
【分析】记事件D: 选取的这个人感染了支原体肺炎病毒,记事件E: 此人来自甲市,记事件F: 此人来自乙市,记事件G: 此人来自丙市，求出PE ,PF ,PG ,PD|E ,PD|F ,PD|G ,根据全概率公式可得答案
【详解】记事件D: 选取的这个人感染了支原体肺炎病毒,记事件E: 此人来自甲市,
记事件F: 此人来自乙市,记事件G: 此人来自丙市，Ω=E∪F∪G ,且E,F,G 彼此互斥,
依题意，PE=420=0.2 ,PF=620=0.3 ,PG=1020=0.5 ,
PD|E=0.08 ,PD|F=0.06 ,PD|G=0.04 ,
由全概率公式得PD=PE⋅PD|E+PF⋅PD|F+PG⋅PD|G
=0.2×0.08+0.3×0.06+0.5×0.04=0.054 ，
所以从三市中任取一人,这个人感染支原体肺炎病毒的概率为0.054.
故答案为：0.054.
15．【答案】(1)37
(2)分布列见解析，方差为1528
【分析】（1）利用组合知识求出概率；（2）求出X 的可能取值及相应的概率，求出分布列和方差.
【详解】（1）这3个数中恰有1个偶数，则剩余2个数为奇数，
设这3个数中恰有1个偶数为事件A，
则PA=C41C42C83=37 ，
（2）X 的可能取值为0,1,2,3,
PX=0=C40C43C83=114 ，
PX=1=C41C42C83=37 ，
PX=2=C42C41C83=37 ，
PX=3=C43C40C83=114 ，
所以随机变量X 的概率分布列为：
期望为EX=0×114+1×37+2×37+3×114=32 ，
方差为DX=0-322×114+1-322×37+2-322×37+3-322×114=1528 .
16．【答案】（1）a=3 ；（2）单调递减区间为-∞,-1 和3,+∞ ，单调递增区间为-1,3 .
【分析】(1)求f′x ，由f′-1=0 求出a 的值并经验即可；
(2)利用导数法直接求解即可.
【详解】解：（1）f′x=-e-xx2-a+e-x⋅2x=-e-xx2-2x-a ，
依题意得，f-1=-e1+2-a=0 ，即a=3 ，经检验a=3 符合题意.
（2）由（1）得fx=e-xx2-3 ，
f′x=-e-xx2-2x-3=-e-xx-3x+1 ，
令f′x=0 得，x1=-1 ，x2=3 ，
列表：
所以fx 的单调递减区间为-∞,-1 和3,+∞ ，单调递增区间为-1,3 .
【易错警示】本题考查已知函数极值点求参数，该问题应该注意的事项：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以求解后必须验证根的合理性；求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则；如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，不能用“∪ ”连接，只能用“，”或“和”字隔开.
17．【答案】(1)233
(2)17
【分析】（1）由EF// AC ，证得EF⊥ 面BDF ，利用等体积转化VB-DEF=VE-BDF ，利用体积公式求解三棱锥的体积．
（2）以O 为坐标原点，OB,OC,OF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系.分别求得平面BAF 和平面BCE 的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）设AC∩BD=O ，如图1，连接FC,FO .
因为四边形ACEF 为菱形且∠CAF=π3 ，
所以△AFC 为等边三角形，则AC⊥FO .
四边形ABCD 是边长为2 的正方形，所以AC⊥BD .
又FO∩BD=O,FO,BD⊂ 面BDF ，故AC⊥ 面BDF
因为EF// AC ，EF⊥ 面BDF .
又AC=BD=2 ，则FO=3 ，
所以VB-DEF=VE-BDF=13S△BDF⋅EF=13×12×2×3×2=233 .
（2）因为平面ACEF⊥ 平面ABCD ，且面ACEF∩ 面ABCD=AC,BD⊂ 面ABCD ，
在正方形ABCD 中，AC⊥BD ，所以BD⊥ 面ACEF .
FO⊂ 面ACEF ，则BD⊥FO ，又由（1）知AC⊥FO .
如图2，以O 为坐标原点，OB,OC,OF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系.
可得A0,-1,0,B1,0,0,C0,1,0,F0,0,3,E0,2,3 .
设面BAF的法向量为m=x1,y1,z1 ，AB=1,1,0,AF=0,1,3 ，
，令z1=1⇒m=3,-3,1
设两BCE 的法向量为n=x2,y2,z2 ，BC=-1,1,0,BE=-1,2,3 ，
令x2=3⇒n=3,3,-1 .
故csm,n=m⋅nm⋅n=-17 .
所以，平面BAF 和平面BCE 夹角的余弦值为17 .
18．【答案】(1)y=20x+26，186 元.
(2)①611 ；②分布列见解析，600元
【分析】（1）由题干所给数据及公式求出b ，â ，即可得到回归直线方程，再令x=8 计算可得；
（2）①根据条件概率公式计算可得；②依题意X 的取值可能为0,300,500,600,800,1000 ，求出所对应的概率，即可求出分布列与数学期望.
【详解】（1）依题意可得b=i=15xiyi-5xyi=15xi2-5x2=4420-5×6×146182-5×62=20 ，
â=y-bx=146-20×6=26 ，
所以y=20x+26 ，
当x=8 时，y=20×8+26=186 （元），
即某天售出8箱水的预计收益是186元.
（2）①设事件A 为“学生甲获得奖学金”，事件B 为“学生甲获得一等奖学金”，
则PA=25+13=1115 ，PAB=25 ，
所以PB|A=PABPA=251115=611 ，
即学生甲获得奖学金的条件下，获得一等奖学金的概率为611 .
②依题意X 的取值可能为0,300,500,600,800,1000 ，
所以PX=0=415×415=16225,PX=300=C21×13×415=845 ，
PX=500=C21×25×415=1675,PX=600=132=19 ，
PX=800=C21×13×25=415,PX=1000=252=425 ，
即X 的分布列为
则X 的数学期望
EX=0×16225+300×845+500×1675+600×19+800×415+1000×425=600 （元）.
19．【答案】(1)a3=56
(2)an=2×3n+2
(3)证明见解析
【分析】（1）求出第三次得到的数列再求和即可；
（2）设出第n 次构造后得到的数列求出an ，则得到第n+1 次构造后得到的数列求出an+1 ，可得an+1 与an 关系，再利用构造法求通项即可；
（3）利用放缩法求等比数列和可得答案.
【详解】（1）因为第二次得到数列1,5,4,7,3 ，所以第三次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3
所以a3=1+6+5+9+4+11+7+10+3=56 ；
（2）设第n 次构造后得的数列为1,x1,x2,⋯,xk,3 ，则an=1+x1+x2+⋯+xk+3 ，
则第n+1 次构造后得到的数列为
1,1+x1,x1,x1+x2,x2,⋯,xk-1+xk,xk,xk+3,3 ，
则an+1=1+1+x1+x1+x1+x2+x2+⋯+xk-1+xk+xk+xk+3+3
=8+31+x1+x2+⋯+xk-1+xk+3-12=-4+3an ，
an+1-2=3an-2 ，可得an+1-2an-2=3 ，a1-2=6 ，
所以an-2 是以3 为公比，6 为首项的等比数列，
所以an-2=6×3n-1 ，即an=2×3n+2 ；
（3）由（2）得1an=16×3n-1+2=12×13n+1＜12×13n ，
所以当n=1 时，1a1=18＜524 ，
当n⩾2 时，所以1a1+1a2+1a3+⋯+1an=18+12132+133+⋯+13n
=18+121321-13n-11-13=524-112⋅13n-1＜524 ，
综上所述，1a1+1a2+1a3+⋯+1an＜524 .
【关键点拨】（2）问中解题关键点是已知相邻两项关系构造等比数列，进而得到数列的通项公式；（3）问中根据的通项公式，应用放缩变成等比数列的前项和，应用公式计算即可.
售出水量x （单位：箱）
7
6
6
5
6
收益y （单位：元）
165
142
148
125
150
X
0
1
2
3
P
114
37
37
114
x
-∞,1
-1
-1,3
3
3,+∞
f′x
－
0
＋
0
－
fx
↘
-2e
↗
6e3
↘
X
0
300
500
600
800
1000
P
16225
845
1675
19
415
425