广西北海市2023−2024学年高二下学期期末教学质量检测 数学试卷（含解析）

这是一份广西北海市2023−2024学年高二下学期期末教学质量检测 数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．设某质点的位移xm与时间ts的关系是 ，则质点在第2 s时的瞬时速度等于（ ）
A．2m/sB．3m/sC．4m/sD．5m/s
3．数列的前n项和为，且 ，则等于（ ）
A．120B．122C．124D．126
4．已知 ，则（ ）
A．B．
C．D．
5．若函数是定义在上的奇函数，则（ ）
A．3B．2C．D．
6．若正数x，y满足 则的最小值是（ ）
A．B．C．4D．6
7．在等比数列中，是函数的两个极值点，若，则的值为（ ）
A．3B．C．D．9
8．若一段河流的蓄水量为立方米，每天水流量为立方米，每天往这段河流排水立方米的污水，则天后河水的污染指数为初始值，．现有一条被污染的河流，其蓄水量是每天水流量的60倍，以当前的污染指数为初始值，若从现在开始停止排污水，要使河水的污染指数下降到初始值的，需要的天数大约是（参考数据：）（ ）
A．98B．105C．117D．130
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．“”是“”的充分不必要条件
C．若，则“”的充要条件是“”
D．若，则“”是“”的充要条件
10．已知等差数列{aₙ}的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入k个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，下列说法正确的有（ ）
A．
B．当时，
C．当时，不是数列中的项
D．若是数列中的项，则k 的值可能为6
11．已知函数，则（ ）
A．的定义域为B．的图像在处的切线斜率为
C．D．有两个零点，且
三、填空题（本大题共3小题）
12．命题的否定是 .
13．若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为
14．已知正项等比数列的前项和为，若 ，则 的最小值为
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数的图象是曲线C，直线与曲线C相切于点.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在区间上的最大值和最小值.
16．在等比数列中，已知，.
(1)求公比及数列的通项公式；
(2)求的值.
17．已知函数
(1)证明：的定义域与值域相同；
(2)若 恒成立，求m的取值范围.
18．设数列为等差数列，前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)设的前项和为，证明：．
19．已知，函数.
(1)当时，求的最小值；
(2)若时，恒成立，求的取值范围.
参考答案
1．【答案】D
【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据补集的定义计算可得.
【详解】由，即，解得，
所以，
又，所以
故选D.
2．【答案】B
【分析】根据基本初等函数的导数公式及法则求出导函数，结合导函数值和瞬时速度的定义即可求解.
【详解】由，得，
当时，
所以质点在第2 s时的瞬时速度等于3 m/s.
故选B.
3．【答案】D
【分析】根据给定条件，利用等比数列前n项和公式计算即得.
【详解】依题意，数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以.
故选D.
4．【答案】A
【分析】利用指数、对数函数的性质比较大小即得.
【详解】依题意，，，而 ，
所以.
故选A
5．【答案】A
【分析】利用奇函数的性质即可求解.
【详解】设，则，即，即
所以，
因为函数是定义在上的奇函数，
所以，解得，
所以，
故选A.
6．【答案】C
【分析】根据已知条件及基本不等式即可求解.
【详解】由题设及，可得 .
所以，
当且仅当，即时，等号成立，此时符合题意.
所以的最小值为4.
故选C.
7．【答案】D
【分析】由等比数列下标和性质及求出，再根据函数存在极值点条件求解即可．
【详解】因为an为等比数列，，
所以，解得或（不合题意，舍去），
所以，
，令，即，
由题意得，是方程的两个相异正根，
则，，符合题意，
故选D．
8．【答案】C
【分析】由已知化简函数式得，再利用约天后，河水的污染指数下降到初始值的，可得方程，然后两边取对数得，最后利用已知的对数值可计算得到结果.
【详解】由题意可知：，，所以
设约天后，河水的污染指数下降到初始值的，即，
所以，
故选C.
9．【答案】BD
【分析】根据已知条件及特殊值法，结合充分条件必要条件的定义即可求解.
【详解】对于A选项，当时， 当时， 所以两者既不充分也不必要，故A 错误;
对于B选项，当时，可取，但，当时，，故 B 正确;
对于C选项，当 时， ，从而，反之，时，若，则 ，所以两者不是充要条件，故 C错误；
对于D 选项，且，故D正确，
故选BD .
10．【答案】ABD
【分析】对于选项A：根据等差数列通项公式运算即可；对于BC：分析可知公差，结合等差数列通项公式运算求解；对于D：可知公差，结合等差数列通项公式运算求解.
【详解】对于选项A：因为，故A 正确；
对于选项BC：当时，可知公差，
所以，故B正确；
则，令，解得，
所以是数列中的项，故 C错误；
对于选项D，当时，可知公差，
则，即，
所以若是数列中的项，则k 的值可能为6，故D正确.
故选ABD.
11．【答案】BCD
【详解】由题意，，
对于选项A，易知且，故选项A错误，
对于选项B，因为，则，故选项B正确，
对于选项C，因为，所以，故选项C正确，
对于选项D，由选项可知，易知在和上单调递增，
因为，
，
所以，使得，
又因为，则，结合选项C，得，
即也是的零点，则，，故，故选项D正确.
故选BCD.
12．【答案】
【分析】根据全称命题的否定直接求解即可.
【详解】由题意可知，命题 p的否定是: .
故答案为：.
13．【答案】
【分析】求导，分析可知，参变分离结合指数函数性质即可解决问题.
【详解】由得：，
因为在区间0,+∞上单调递增，所以，即，
又因为x∈0,+∞，则，可得，解得，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：.
14．【答案】/
【分析】根据条件，得到，，从而得到，可知当时，，当时，，即可求出结果.
【详解】设等比数列的公比为，由题意知且，
由，得到，得到，解得，
所以，得到，所以
故，
易知当时，，当时，，
故的最小值为，
故答案为：/.
15．【答案】(1)
(2)最大值为，最小值为.
【分析】（1）利用切点在直线和曲线上，结合导数的几何意义即可求解；
（2）根据（1）的结论，求出，再利用导数法求函数的最值的步骤即可求解.
【详解】（1）因为切点为，
所以，解得.
由，得，
因为直线与曲线C相切于点，
所以，解得，
所以，
由，得.
所以函数的解析式为：.
（2）由（1）知，，
所以，.
可得，
令，则，解得（舍），.
当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增.
当时，取的极小值，极小值为，
又因为，
所以当时，的最大值为，最小值为.
16．【答案】(1)或，或
(2)答案见解析
【分析】（1）根据条件得到方程，解得或，再利用等比数列的通项公式，即可求解；
（2）利用（1）中结果及等比数列前项和公式，即可求解.
【详解】（1）因为，，所以，即，解得或，
当时，，
当时，.
（2）由（1）知当时，，
当时，.
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由 ，求得的定义域，由在1,+∞上单调递增，求得的值域，即可证得；
（2）先求得当时，再利用二次函数求得的最小值，则由可得m的取值范围.
【详解】（1）由 ，得，
所以的定义域为1,+∞，
，
因为在1,+∞上单调递增，
所以，所以的值域为1,+∞，
所以的定义域与值域相同.
（2）由（1）知， 在上单调递增，
所以当时，，
设，
当 ，即时，取得最小值，且最小值为，
因为，
所以，即m的取值范围为.
18．【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据等差数列的性质和前n项求和公式求出公差和首项，结合等差数列的通项公式即可求解；
（2）由（1）可得，根据裂项相消法计算可得，即可证明.
【详解】（1），
由，
所以，
所以．
（2）
所以
【方法总结】裂项相消法
把数列和式中的各项分别裂开后，可以消去一部分，从而计算和的方法，适用于通项为的前项和，其中{}为等差数列，.
常见的拆项方法：
①；
②；
③；
④．
19．【答案】(1)0；
(2).
【分析】（1）由已知可得，进而可求的单调区间；
（2）求导得，令进而求导，分类讨论可求的取值范围.
【详解】（1）当时，，
单调递减；单调递增；
.
（2），
设，
①若，由（1）知，不合题意；
②若，
设单调递减，
，令，
单调递增，，
单调递增，，不合题意；
③，
单调递减，单调递减，,符合题意.
综上，.