上海市嘉定区第二中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

这是一份上海市嘉定区第二中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷，共5页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人：高二数学备课组 2025年6月
一、填空题（本大题满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1.两个平面最多可以将空间分成 部分．
2.复数的虚部是__________．
3.若扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的弧长为________.
4.向量在方向上的数量投影为________.
5.已知，，则______．
6.若是关于的方程的一个虚数根，则________.
7.已知，若、满足，且的最小值为，则________.
8.若为奇函数，则______________.（填写符合要求的一个值）
9.若异面直线、所成的角为，为空间一定点，则过点且与、所成的角都是的直线有且仅有_________条.
10.图中所示一个正六边形.已知该正六边ABCDEF的边长为1，点在其边上运动，点P是其内部一点（包含边界），则的取值范围是__________.
设函数，若对于任意，都存在，使得，则的最小值为______.
已知个两两互不相等的复数、、、、、满足，若（其中、；、、、），则正整数的最大值为________.
二、选择题（本大题满分18分，第13，14题每题4分，第15，16题每题5分）
13.若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件
14.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度决定
15.在物理学中简谐运动可以用函数来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于点成中心对称
B．函数的解析式可以为
C．函数在上的值域为
D．若把图象上所有点向右平移个单位，则所得函数是
16.已知三个不共线的向量满足，则为的（ ）
A．内心B．外心C．重心D．垂心
三、解答题（本大题满分78分）
17．（本题满分14分）
如图，已知长方体中，，．
(1)求证：与是异面直线；
(2)求异面直线与所成角的余弦值．
18．（本题满分14分）
已知关于的实系数一元二次方程有两个根和．
（1）若和为两个虚根，求的取值范围；
（2）若，求的值．
19.（本题满分16分）
在中，，，．点为所在平面上一点，满足（、且）．
（1）若，用，表示；
（2）若点为的外心，求、的值.
20．（本题满分16分）
某镇计划在一处紫藤花种植地修建花海公园.如图，公园用栅栏围成等腰梯形形状，其中，长为米；在上选择一点作为公园入口，从公园入口出发修建两条观光步道、，其中步道终点、两点在边界、上，且.
(1)观光步道的总长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
(2)为吸引了众多周围的游客，在花海公园原有规划基础上增添一条商业步道用于建设“集市”，若建设观光步道平均每米需花费元，建设商业步道平均每米需花费元，试求建设步道总花费的最小值.
21．（本题满分18分）
若函数满足且（），则称函数为“函数”．
（1）试判断是否为“函数”，并说明理由；
（2）函数为“函数”，且当时，，求函数的解析式，并写出函数在上的单调增区间；
（3）在（2）条件下，当，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，求．