2025年中考考前押题最后一卷：数学（南京卷）（解析版）

这是一份2025年中考考前押题最后一卷：数学（南京卷）（解析版），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．大于﹣2.2而又不大于π的整数有（ ）
A．7个B．6个C．5个D．4个
【分析】根据有理数比较大小的法则解答即可．
【解答】解：根据有理数的大小关系，大于﹣2.2而又不大于π≈3.14的整数有﹣2、﹣1、0、1、2、3，共6个．
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解答本题的关键．
2．下列计算正确的是（ ）
A．（a3）2＝a9B．（ab2）2＝a2b4
C．（2a）3＝6a3D．（﹣ab2）3＝﹣ab6
【分析】根据幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、（a3）2＝a6，故此选项不符合题意；
B、（ab2）2＝a2b4，故此选项符合题意；
C、（2a）3＝8a3，故此选项不符合题意；
D、（﹣ab2）3＝﹣a3b6，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3．当x≠1时，在实数范围内一定有意义的式子是（ ）
A．1-1xB．11-xC．1x2-1D．x-1
【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分别解答判断即可．
【解答】解：A、若1-1x在实数范围内有意义，则x≠0，故此选项不符合题意；
B、若11-x在实数范围内有意义，则1﹣x≠0，即x≠1，故此选项符合题意；
C、若1x2-1在实数范围内有意义，则x2﹣1≠0，即x≠±1，故此选项不符合题意；
D、若x-1在实数范围内有意义，则x﹣1≥0，即x≥1，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，熟练掌握这两个知识点是解题的关键．
4．某校篮球队5名场上队员的身高是182，188，190，190，192（单位：cm），现用两名身高分别为186cm和190cm的队员换下场上两名身高是182cm和192cm的队员，下列关于换人前后场上队员的身高说法正确的为（ ）
A．中位数变大，众数不变
B．中位数不变，方差变小
C．平均数变大，众数变小
D．平均数变小，方差变大
【分析】根据题意算出换人前后的中位数、众数、平均数，并进行比较，即可解题．
【解答】解：换人前：中位数为：190，众数为：190，
平均数为：182+188+190+190+1925=188.4，
换人后：中位数为：190，众数为：190，
平均数为：186+188+190+190+1905=188.8，
∵用两名身高分别为186cm和190cm的队员换下场上两名身高是182cm和192cm的队员，数据波动变小，
∴方差变小，
综上所述，中位数不变，众数不变，方差变小，平均数变大，方差变小，
故选：B．
【点评】本题考查了中位数、众数、平均数、方差，掌握相关的概念是解题的关键．
5．如图，点E是矩形ABCD边AB上的一点，将△BCE沿CE折叠，使点B落在AD边上的点F处，连接BF交CE于点G．已知AD＝5，AB＝3，折痕CE的长为（ ）
A．5103B．1033C．1092D．29
【分析】根据翻折的性质和勾股定理可求出DF，进而求出AF，在Rt△AEF中由勾股定理可求出BE，再在Rt△BCE中，由勾股定理求出答案即可．
【解答】解：由翻折的性质可知，BE＝EF，BC＝FC＝AD＝5，
在Rt△CDF中，CF＝5，CD＝AB＝3，
∴DF=52-32=4，
∴AF＝AD﹣DF＝5﹣4＝1，
设BE＝x，则EF＝x，AE＝3﹣x，
在Rt△AEF中，由勾股定理得，
AF2+AE2＝EF2，
即1+（3﹣x）2＝x2，
解得x=53，
即BE=53，
在Rt△BCE中，由勾股定理得，
CE=BC2+BE2=52+(53)2=5103，
故选：A．
【点评】本题考查矩形的性质，直角三角形的边角关系以及翻折轴对称的性质，掌握翻折的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，⊙O是△ABC的内切圆，连接OA，OB，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．πB．43πC．32πD．53π
【分析】设⊙O与AC、BC、AB分别相切于点E、F、G，连接OC、OE、OF、OG，由∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，求得AB＝13，设OE＝OF＝OG＝r，则12×5r+12×12r+12×13r=12×5×12，求得r＝2，由∠OAB=12∠CAB，∠OBA=12∠CBA，求得∠OAB+∠OBA＝45°，则∠AOB＝135°，即可根据扇形的面积公式求得S阴影=32π，于是得到问题的答案．
【解答】解：设⊙O与AC、BC、AB分别相切于点E、F、G，连接OC、OE、OF、OG，
∵∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB=AC2+BC2=52+122=13，∠CAB+∠CBA＝90°，
设OE＝OF＝OG＝r，OA交⊙O于点L，OB交⊙O于点K，
∵S△AOC+S△BOC+S△AOB＝S△ABC，且OE⊥AC，OF⊥BC，OG⊥AB，
∴12×5r+12×12r+12×13r=12×5×12，
解得r＝2，
∵∠OAB＝∠OAC=12∠CAB，∠OBA＝∠OBC=12∠CBA，
∴∠OAB+∠OBA=12（∠CAB+∠CBA）＝45°，
∴∠AOB＝180°﹣（∠OAB+∠OBA）＝135°，即∠LOK＝135°，
∴S阴影=135π×22360=32π，
故选：C．
【点评】此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线的性质、切线长定理、直角三角形的两个锐角互余、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地求出⊙O的半径及阴影部分扇形的圆心角的度数是解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分，请把答案直接填写在横线上
7．16的算术平方根是 4 ；-27125的立方根是 -35 ．
【分析】根据算术平方根、立方根的定义计算即可．
【解答】解：∵42＝16，
∴16的算术平方根是4；
∵(-35)3=-27125，
∴-27125的立方根是-35，
故答案为：4；-35．
【点评】本题考查了算术平方根，立方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键．
8．用“＞”或“＜”号填空：-17 ＞ -16．
【分析】先比较两数绝对值的大小，再由负数比较大小的法则解答即可．
【解答】解：∵17＜16，
∴-17＞-16．
故答案为：＞．
【点评】本题考查的是有理数的大小比较，熟知负数比较大小的法则是解题的关键．
9．世界上最小的结果植物是澳大利亚的出水浮萍，其果实质量只有0.0000000076克，将0.0000000076用科学记数法表示为 7.6×10﹣9 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：0.0000000076＝7.6×10﹣9．
故答案为：7.6×10﹣9．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10．计算(15+4)(4-15)的结果为 1 ．
【分析】利用平方差公式进行计算即可．
【解答】解：原式＝（4+15）（4-15）
＝42﹣（15）2
＝16﹣15
＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
11．若a，β是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个根，则α﹣αβ+β的值为 7 ．
【分析】根据根与系数的关系，即可得出α+β、αβ的值，整体代入此题得解．
【解答】解：∵a，β是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个根，
∴α+β＝2，αβ＝﹣5，
∴α﹣αβ+β
＝α+β﹣αβ
＝2+5
＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于-ba，两根之积等于ca”是解题的关键．
12．如图，在菱形ABCD中，点C在x轴上，点D的坐标为（7，2），点B的坐标为（﹣1，2），则点C的坐标为 （3，0） ．
【分析】连接AC、BD交于点E，BD交y轴于点F，由菱形的性质得AC⊥BD，BE＝DE=12BD，再求出BD＝BF+DF＝8，则BE＝DE＝4，得OC＝EF＝3，即可得出结论．
【解答】解：如图，连接AC、BD交于点E，BD交y轴于点F，
则OC＝EF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BE＝DE=12BD，
∵点D的坐标为（7，2），点B的坐标为（﹣1，2），
∴BF＝1，DF＝7，BD∥x轴，
∴BD＝BF+DF＝8，
∴BE＝DE＝4，
∴OC＝EF＝BE﹣BF＝4﹣1＝3，
∵点C在x轴上，
∴点C的坐标为：（3，0），
故答案为：（3，0）．
【点评】本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
13．y关于x的二次函数y＝ax2+a2，在-1≤x≤12时有最大值6，则a＝ 2或-6 ．
【分析】分类讨论：a＜0，a＞0，根据函数的增减性，可得答案．
【解答】解：当a＜0，函数的最大值为y＝a2＝6，
解得：a1=6（不合题意舍去），a2=-6，
当a＞0，x＝﹣1时，y最大值＝a+a2＝6，
解得：a＝2或a＝﹣3（舍去）．
综上所述，a的值是2或-6．
故答案为：2或-6．
【点评】本题考查了二次函数的最值，函数的顶点坐标是最大值，利用函数的增减性得出函数的最值，分类讨论是解题关键．
14．近年来传统服饰马面裙受到大众的喜爱，如图所示的马面裙可以近似的看作扇环，其中AB长度为56π米，裙长AD为1米，圆心角∠COD＝60°，则CD长度为 π2米 ．
【分析】根据AB的长度及∠AOD的度数，可求出OA的长，再结合AD的长可求出OD的长，再利用弧长公式计算即可得解．
【解答】解：由条件可知60⋅π⋅OA180=5π6，
解得：OA=52，
∴OD的长为1.5米，
∴弧CD的长度为：60π×1.5180=π2（米），
故答案为：π2米．
【点评】本题主要考查了弧长的计算，熟知扇形弧长的计算公式是解题的关键．
15．如图，点M是正六边形ABCDEF对角线DF上的一点，若AB＝22，则阴影部分的面积为 63 ．
【分析】根据正六边形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系分别求出BG、AG、AC的长，再由三角形的面积的计算方法进行计算即可．
【解答】解：如图，连接AC，过点B作BG⊥AC于点G，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠ABC=(6-2)×180°6=120°，AB＝BC＝CD＝AF＝22，
∴∠ABG＝∠CBG=12∠ABC＝60°，
在Rt△ABG中，AB＝22，∠ABG＝60°，
∴BG=12AB=2，AG=32AB=6，
∴AC＝2AG＝26，
∴S阴影部分＝S△ABC+S△AMC
=12×26×2+12×26×22
＝63．
【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键．
16．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5cm，BC＝2cm，∠BCD＝120°，点P从A点出发，沿射线AB以1cm/s的速度运动，连接CP，将CP绕点C逆时针旋转60°，得到CQ，连接BQ．当t＝ 1或7 时，△BPQ是直角三角形．
【分析】由题意得：AP＝t cm，如图，连接PQ，作∠BCD的平分线CE交AB于点E，则∠BCE=∠DCE=12BCD=60°，证明△BCE为等边三角形，△PCQ为等边三角形，可证得△PCE≌QCB，从而得到∠CBQ＝∠PEC，BQ＝PE，然后分两种情况：当∠PQB＝90°时，当∠PBQ＝90°时，即可求解．
【解答】解：由题意得：AP＝t cm，
如图1，连接PQ，作∠BCD的平分线CE交AB于点E，则∠BCE=∠DCE=12BCD=60°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠ABC＝∠BCE＝∠BEC＝60°，
∴△BCE为等边三角形，∠CEP＝120°，
∴CE＝BE＝BC＝2cm，
由旋转的性质得，CP＝CQ，∠PCQ＝∠BCE＝60°，
∴△PCQ为等边三角形，∠PCE＝∠BCQ，
∴∠CPQ＝60°，
∴△PCE≌QCB（SAS），
∴∠CBQ＝∠PEC＝120°，BQ＝PE，
∴∠PBQ＝60°，
当∠PQB＝90°时，此时PB＝（5﹣t）cm，∠CBQ＝∠PEC＝120°，BQ＝PE＝（3﹣t）cm，
∴∠PBQ＝60°，
∴∠BPQ＝30°，
∴PB＝2BQ，
∴5﹣t＝2（3﹣t），
解得：t＝1；
当∠BPQ＝90°时，如图2，此时∠BPC＝90°﹣∠CPQ＝30°，∠CBP＝120°，∠CBQ＝∠PEC＝60°，BQ＝PE＝（t﹣3）cm，
∴∠PBQ＝60°，
∴∠PQB＝30°，∠BCP＝30°，
∴BQ＝2BP，BC＝BP＝2cm，
∴t﹣3＝2×2，
解得：t＝7；
综上所述，当t＝7或1时，△BPQ是直角三角形．
故答案为：1或7．
【点评】本题是平行四边形综合题．需要掌握旋转的性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、三角形周长的计算、直角三角形的判定等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共11个小题，共88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（7分）计算：(x+3x2-x-xx2-2x+1)÷2x-3x．
【分析】先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，再约分即可．
【解答】解：(x+3x2-x-xx2-2x+1)÷2x-3x
＝[x+3x(x-1)-x(x-1)2]•x2x-3
=(x+3)(x-1)-x2x(x-1)2•x2x-3
=x2+2x-3-x2x(x-1)2•x2x-3
=2x-3(x-1)2•12x-3
=1(x-1)2．
【点评】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18．（7分）解不等式组：5x-2＜3(x+2)x+53≤2x，并写出其整数解．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式①得：x＜4；
解不等式②得：x≥1；
∴不等式组的解集是1≤x＜4，
∴不等式组的整数解是1，2，3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．（8分）如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E，F分别是边AD，CD上的两个动点且满足AE+CF＝2．
（1）判断△BEF的形状，并说明理由；
（2）设△BEF的面积为S，求S的取值范围．
【分析】（1）根据菱形的性质可得△ABD和△BCD都为等边三角形，从而得到∠BDE＝∠BCF＝60°，再证明△BDE≌△BCF，可得∠DBE＝∠CBF，BE＝BF，即可；
（2）过点B作BG⊥EF于点G，根据等边三角形的性质以及勾股定理可得BG=32x，从而得到S=34x2，然后再求出x的最小值以及最大值，即可求解．
【解答】解：（1）等边三角形，证明如下：
∵菱形ABCD的边长为2，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，
∵BD＝2，
∴△ABD和△BCD都为等边三角形．
∴∠BDE＝∠BCF＝60°，BD＝BC．
∵AE+DE＝AD＝2，又AE+CF＝2，
∴DE＝CF．
∵DE＝CF，∠BDE＝∠BCF，BD＝BC，
∴△BDE≌△BCF，
∴∠DBE＝∠CBF，BE＝BF，
∵∠DBC＝∠DBF+∠CBF＝60°，
∴∠DBF+∠DBE＝60°，即∠EBF＝60°，
∴△BEF是等边三角形；
（2）如图，过点B作BG⊥EF于点G，
∵△BEF是等边三角形，
∴可设BE＝BF＝EF＝x，则EG=12EF=12x，
∴BG=BE2-EG2=32x，
∴S=12⋅x⋅32x=34x2，
当BE⊥AD时，x取最小值，此时AE=12AD=1，
∴x=3，
此时S=343；
当BE与AB重合时，x取最大值为2，S=3；
∴343≤S≤3．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
20．（8分）为了在甲、乙两名运动员中选拔一人参加全区跳水比赛，对他们的跳水技能进行考核．在6月1日至10日在相同条件下进行测试，成绩（单位：分）如图：
（1）填空：①s甲2 ＜ s乙2；（填写“＜”，“＞”或“＝”）②乙运动员成绩的中位数为 84 ．
（2）假如你是教练，会选哪位运动员去参加比赛，请说明选派理由．
【分析】（1）①根据方差的定义解答即可；②根据中位数的定义可得答案；
（2）根据统计图数据解答即可（答案不唯一）．
【解答】解：（1）①由统计图可知，甲的成绩的波动比乙的小，所以甲的方差比乙小，即s甲2＜s乙2，
故答案为：＜；
②把乙的10次成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是83，85，故乙运动员成绩的中位数为83+852=84，
故答案为：84；
（2）我会选乙参加比赛，理由如下：
虽然甲的成绩比乙稳定，但得到高分比乙少得多，且乙的成绩呈现上升趋势，所以我会选乙参加比赛．
【点评】本题考查方差以及中位数，关键是根据方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
21．（7分）3张相同的卡片上分别写有中国二十四节气中的“雨水”、“惊蛰”、“春分”的字样，将卡片的背面朝上．
（1）洗匀后，从中任意抽取1张卡片，抽到写有“惊蛰”的卡片的概率等于 13 ；
（2）洗匀后，从中任意抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽到一张写有“雨水”，一张写有“春分”的卡片的概率．
【分析】（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中抽到写有“惊蛰”的卡片的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及抽到一张写有“雨水”，一张写有“春分”的卡片的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中抽到写有“惊蛰”的卡片的结果有1种，
∴抽到写有“惊蛰”的卡片的概率为13．
故答案为：13．
（2）将“雨水”、“惊蛰”、“春分”3张卡片分别记为A，B，C，
列表如下：
共有6种等可能的结果，其中抽到一张写有“雨水”，一张写有“春分”的卡片的结果有：（A，C），（C，A），共2种，
∴抽到一张写有“雨水”，一张写有“春分”的卡片的概率为26=13．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
22．（7分）我国首台千万亿次超级计算机“天河一号”现在安装的是由我国自行设计制造的“飞腾”计算机中央处理器（CPU）芯片．据了解，安装“飞腾”芯片后，“天河一号”的运算速度将在原来的基础上提速20%，达到每秒1200万亿次．已知一项复杂的运算任务在安装“飞腾”芯片后比安装前使用其他芯片快10分钟，请算出“天河一号”以现在的运算速度完成这项任务需多长时间．
【分析】“天河一号”原来的运算速度为12001+20%．
【解答】解：设以现在的运算速度完成这项任务需x分钟．
1200（x+10）×60＝1200x×60（1+20%），
解得x＝50．
答：“天河一号”以现在的运算速度完成这项任务需50分钟时间．
【点评】本题侧重考查一元一次方程，能找到等量关系是解题的关键．
23．（8分）“科技改变生活”，小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航拍．在一次航拍时，数据显示，从无人机A看建筑物顶部B的仰角为45°，看底部C的俯角为60°，无人机A到该建筑物BC的水平距离AD为10米，求该建筑物BC的高度．（结果精确到0.1米；参考数据：2≈1.41，3≈1.73）
【分析】先说明三角形ABD是等腰直角三角形，用等腰三角形的性质求出BD，再在Rt△ACD 中用直角三角形的边角间关系求出CD，最后利用线段的和差关系求出建筑物的高度．
【解答】解：由题意知，∠BAD＝45°，∠CAD＝60°，AD⊥BC．
∵AD⊥BC，
∴∠BDA＝∠ADC＝90°．
∴∠BAD＝∠ABD＝45°．
∴BD＝AD＝10 （米）．
在Rt△ACD 中，
CD＝AD•tan∠CAD
＝AD•tan60°
＝103（米）．
∴BC=BD+CD=10+103≈27.3 （米）．
答：该建筑物BC的高度约为27.3米．
【点评】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系及等腰三角形的性质是解决本题的关键．
24．（8分）如图，已知△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，点D在⊙O上，且点B是CD的中点，过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点E，交AD的延长线于点F．
（1）求证：AF⊥EF；
（2）若∠CAD＝60°，AD＝4，求BF的长．
【分析】（1）连接OB，则OB＝OA，所以∠OBA＝∠CAB，由BD=BC，得∠DAB＝∠CAB，则∠DAB＝∠OBA，所以AD∥OB，由切线的性质得EF⊥OB，所以∠F＝∠OBE＝90°，则AF⊥EF；
（2）连接OD、BD，则OA＝OD＝OB，因为∠CAD＝60°，所以△AOD是等边三角形，则∠AOD＝60°，所以∠COD＝120°，再证明△BOD是等边三角形，则BD＝OD＝AD＝4，∠ODA＝∠ODB＝60°，求得∠BDF＝60°，则∠DBF＝30°，所以DF=12BD＝2，求得BF=BD2-DF2=23．
【解答】（1）证明：连接OB，则OB＝OA，
∴∠OBA＝∠CAB，
∵点B是CD的中点，
∴BD=BC，
∴∠DAB＝∠CAB，
∴∠DAB＝∠OBA，
∴AD∥OB，
∵EF与⊙O相切于点B，
∴EF⊥OB，
∴∠F＝∠OBE＝90°，
∴AF⊥EF．
（2）解：连接OD、BD，则OA＝OD＝OB，
∵∠CAD＝60°，AD＝4，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD＝60°，
∴∠COD＝180°﹣∠AOD＝120°，
∵BD=BC，
∴∠BOD＝∠BOC=12∠COD＝60°，
∴△BOD是等边三角形，
∴BD＝OD＝AD＝4，∠ODA＝∠ODB＝60°，
∴∠BDF＝180°﹣∠ODA﹣∠ODB＝60°，
∵∠F＝90°，
∴∠DBF＝90°﹣∠BDF＝30°，
∴DF=12BD＝2，
∴BF=BD2-DF2=42-22=23，
∴BF的长为23．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、切线的性质、平行线的判定与性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
25．（8分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（﹣1，3），对称轴为直线x=-12．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若将点B（1，5）向下平移6个单位，向左平移m个单位（m＞0）后恰好落在抛物线上，求m的值；
（3）当﹣2≤x≤n时，该二次函数的最大值与最小值的差为94，求n的取值范围．
【分析】（1）先根据对称轴求得b，然后将点A（﹣1，3）代入求得c的值即可；
（2）先求出点B（1，5）平移后的坐标，然后代入函数解析求得m的值；
（3）根据二次函数的开口方向，对称轴分-2＜n＜-12、-12≤n≤1、n＞1三种情况求函数的最值，再根据该二次函数的最大值与最小值的差为94求n的范围即可．
【解答】解：（1）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（﹣1，3），对称轴为直线x=-12，
∴x=b2=-12，
∴b＝﹣1，
将点A的坐标代入y＝﹣x2﹣x+c得：
∴﹣1+1+c＝3，
∴c＝3，
∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣x+3；
（2）根据题意，点B（1，5）平移后的点的坐标为（1﹣m，﹣1）（m＞0），
∵点B（1，5）平移后恰好落在抛物线上，
∴﹣1＝﹣（1﹣m）2﹣（1﹣m）+3，
解得：m=3-172（舍去）或m=3+172，
即m的值为3+172；
（3）∵抛物线y＝﹣x2﹣x+3开口向下且对称轴为直线x=-12，
当﹣2≤x≤n时，分三种情况求最值：
①当-12≤n≤1时，
当x=-12时，ymax=134，
当x＝﹣2时，函数取得最小值ymin＝1，
此时最大值与最小值的差为94符合题意，
②当-2＜n＜-12时，
x＝﹣2时，函数取得最小值ymin＝1，
ymax＜134，
不合题意，舍去；
③当n＞1时，
x=-12时，ymax=134，
x＝n时，函数取得最小值ymin=-n2-n+3，
∵该二次函数的最大值与最小值的差为94，
∴-n2-n+3-1=94，
解得n1＝n2=-12，不合题意，舍去，
综上所述，n的取值范围为当-12≤n≤1．
【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、坐标与图形变化平移，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
26．（8分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12．
（1）在图1中用尺规作图作AB的垂直平分线交AB于点D（保留作图痕迹）．连结CD，求CD的长．
（2）用如图2的尺规作图的方法作射线交BC边于点E，求CE的长．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可；由线段垂直平分线的性质可得点D为AB的中点，则CD为Rt△ABC的斜边上的中线，可得CD=12AB.利用勾股定理求出AB的长，进而可得答案．
（2）过点E作EF⊥AB于点F，由作图痕迹可知，AE为∠BAC的平分线，可得EF＝CE．根据S△ABC＝S△ACE+S△ABE，可得12BC⋅AC=12CE⋅AC+12AB⋅EF，代入求出CE即可．
【解答】解：（1）如图1，直线l即为所求．
∵直线l为线段AB的垂直平分线，
∴点D为AB的中点，
∴CD为Rt△ABC的斜边上的中线，
∴CD=12AB．
由勾股定理得，AB=AC2+BC2=52+122=13，
∴CD=12AB=132．
（2）过点E作EF⊥AB于点F，
由作图痕迹可知，AE为∠BAC的平分线，
∵∠C＝90°，
∴EF＝CE．
设EF＝CE＝x，
∵S△ABC＝S△ACE+S△ABE，
∴12BC⋅AC=12CE⋅AC+12AB⋅EF，
即12×12×5=12×5x+12×13x
解得x=103，
∴CE=103．
【点评】本题考查作图—复杂作图、三角形的面积、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、直角三角形斜边上的中线、勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
27．（12分）已知在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点E为射线BC上的一个动点，AE与边CD交于点G．
（1）如图1，连接对角线BD交AE于点F，连接CF，若AF2＝CG•CD，试求∠CFE的度数；
（2）如图2，点F为AE上一点，且∠ADF＝∠AED，若菱形的边长为2，则当DE⊥BC时，求△CFE的面积；
（3）如图3，当点E在射线BC上运动时，试求DEAE的最小值．
【分析】（1）如图1，证明△ABF≌△CBF（SAS），得AF＝CF，再证明△FCG∽△DCF，根据相似三角形的性质可得∠CFE＝∠FDC＝30°；
（2）如图2，过点F作MN⊥BC于N，交AD于M，根据直角三角形30°角的性质得：CE＝1，根据勾股定理计算DE和AE的长，证明∠AFD∽△ADE，列比例式可得AF和EF的长，证明△AFM∽△EFN，得FN的长，根据三角形的面积公式可得结论；
（3）如图3，过点E作EH⊥CD于H，过点A作AN⊥BC于N，设菱形ABCD的边长为a，CE＝x，分别计算AE2和DE2，变形后可得当a＝x时，DEAE有最小值．
【解答】解：（1）如图1，∵AF2＝CG•CD，
∴AFCG=CDAF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，
∵BF＝BF，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴AF＝CF，
∴CFCG=CDCF，
∵∠FCG＝∠FCG，
∴△FCG∽△DCF，
∴∠CFE＝∠FDC，
∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ADC＝60°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠FDC=12∠ADC＝30°，
∴∠CFE＝30°；
（2）如图2，过点F作MN⊥BC于N，交AD于M，
∵AD∥BC，
∴MN⊥AD，
Rt△DCE中，∠DCE＝180°﹣120°＝60°，
∴∠CDE＝30°，
∵CD＝2，
∴CE＝1，DE=22-12=3，
Rt△ADE中，AE=AD2+DE2=22+(3)2=7，
∵∠ADF＝∠AED，∠FAD＝∠FAD，
∴∠AFD∽△ADE，
∴ADAE=AFAD，即27=AF2，
∴AF=477，
∴EF=7-477=377，
∵AD∥BC，
∴△AFM∽△EFN，
∴FMFN=AFEF=43，
∵MN＝DE=3，
∴FN=337，
∴S△CEF=12CE⋅FN=12×1×337=3314；
（3）如图3，过点E作EH⊥CD于H，过点A作AN⊥BC于N，
设菱形ABCD的边长为a，CE＝x，
在Rt△CEH中，∠ECH＝60°，
∴∠CEH＝30°，
∴CH=12x，EH=32x，
∴DH＝a-12x，
在Rt△DEH中，DE2＝DH2+EH2
＝（a-12x）2+（32x）2
＝a2﹣ax+x2，
在Rt△ABN中，∠B＝60°，AB＝a，
∴∠BAN＝30°，
∴BN=12a，AN=32a，
∴CN＝BC﹣BN=12a，
∴EN＝EC+CN=12a+x，
Rt△ANE中，AE2＝AN2+EN2
＝（32a）2+（12a+x）2
＝a2+ax+x2，
∴DE2AE2=a2-ax+x2a2+ax+x2=a2+ax+x2-2axa2+ax+x2=1-2axa2+ax+x2=1-2ax+xa+1=1-2(xa-ax)2+3（a＞0，x＞0），
∴当ax=xa时，即x＝a时，DE2AE2有最小值，
则此时DE2AE2=1-23=13，
∴DEAE=33．
【点评】此题是相似形综合题，主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，熟练掌握判定两三角形相似的方法是解本题的关键．A
B
C
A
（A，B）
（A，C）
B
（B，A）
（B，C）
C
（C，A）
（C，B）