抢分秘籍07 相似三角形中的常见的基本模型-2025年中考数学冲刺抢押秘籍（全国通用）（原卷版+解析版）

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【解密中考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】相似模型之“A”字模型 【题型二】相似模型之“X”字模型
【题型三】相似模型之“AX”字模型 【题型四】相似模型之“母子型”模型
【题型五】相似模型之一线三等角模型 【题型六】相似模型之手拉手模型
【题型七】相似模型之半角模型 【题型八】相似模型之对角互补模型
：相似三角形中的常见的基本模型综合题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，“A”“X”“母子”“一线三等角”等模型高频，多与线段比例、面积、动点结合，是相似判定与性质核心载体。
2．从题型角度看，选择填空考基础模型识别，解答题常以几何综合、动点探究形式出现，侧重证明相似及求边长、比例、面积，分值8分左右，着实不少！
：熟记模型特征及对应结论，多练含动态、复合图形的综合题，注意分类讨论对应关系，强化转化思想（复杂→基本模型）与计算准确性。
【题型一】相似模型之“A”字模型
【例1】（2025·山东滨州·模拟预测）如图，在中，点、分别在边、上，且，若，则 ．
【例2】（2025·湖北武汉·一模）如图，一块材料的形状是等腰，，，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在边上，其余两个顶点分别在，上，则这个正方形零件的边长是 ．
【变式1】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）（1）如图1，在中，E是上一点，过点E作的平行线交于点F，点D是上任意一点，连接交于点G，求证：；
（2）如图2，在（1）的条件下，连接，，若，且，恰好将三等分，求的值．
【变式2】（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，在中，，和的长分别是方程的两个根，以O为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，已知点从点出发，以每秒1个单位长度的速度匀速向点运动，同时点从点出发，以相同的速度向点O匀速运动，到达点O后又立即按原速返回，当点到达终点时，点Q也随之停止运动，连接，设点P、Q的运动时间为秒，的面积为．请结合图象信息解答下列问题：
(1)求线段的长；
(2)求S与t之间的函数关系式；
(3)是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，请直接写出的值：若不存在请说明理由．
【题型二】相似模型之“X”字模型（“8”字模型）
【例1】（2025·湖南张家界·一模）如图，线段与相交于点，，，，．求证：．
【例2】（2025·陕西西安·一模）如图，在矩形中，E是的中点，连接，交对角线于点F．若，则的值为 ．
【变式1】（2025·天津红桥·一模）如图，线段，相交于点E，若，，，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【变式2】（2025·安徽池州·一模）如图，在矩形中，点在边上，连接，交对角线于点，且．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求的长；
(3)若，求的值．
【变式3】（2025·江苏宿迁·一模）在梯形中，，点在边上，且．
(1)如图1所示，点在边上，且，连接，求证：；
(2)已知．
①如图2所示，如果点在边上，且，连接、、，与交于．求的值；
②如图3所示，连接，如果外接圆的圆心恰好落在的平分线上，求的外接圆的半径长．
【题型三】相似模型之“AX”字模型（“A8”字模型）
【例1】（2025·安徽合肥·一模）已知点是矩形边延长上一点，且，是对角线和的交点．连接，交于，交于，连接，如图1．
(1)求证：平分．
(2)若，，求的值．
(3)若，如图2，求的值．
【例2】（2025·上海杨浦·一模）已知：如图，在矩形中，点E、F分别在边上，且，延长分别交延长线于点H、G．
(1)求证：；
(2)联结，如果，求证：四边形是正方形．
【变式1】（2025·安徽铜陵·一模）如图，四边形中，，，、相交于点，，垂足为点，连接交于点，连接．
(1)求证：；
(2)求的值；
(3)求证：．
【变式2】（2024·湖北·模拟预测）（1）【问题背景】如图1，，与相交于点E，点F在上．求证：；

小雅同学的想法是将结论转化为来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程．
（2）【类比探究】如图2，，，，与相交于点G，点H在上，．求证：．
（3）【拓展运用】如图3，在四边形中，，连接，交于点M，过点M作，交于点E，交于点F，连接交于点N，过点N作，交于点G，交于点H，若，，直接写出的长．
【题型四】相似模型之“母子型”模型（共边共角模型）
【例1】（2025·湖北武汉·一模）（）【提出问题】如图，是的边上一点，且．求证：；
（）【探究问题】在四边形中，，，是边上一点，连接交于点，且．
①如图，若，，，求的长；
②如图，若为的中点，直接写出的值．
【例2】（2025·山东滨州·模拟预测）如图，在中，，三条边及边上的高分别记为．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若将变为锐角，其他不变，如图，设其外接圆的直径为，试探索并写出这4个量的一个等量关系，然后给出证明．
【变式1】（2025·江苏徐州·一模）2024年徐州中考数学试卷大家一定都做过，其中第27题的尺规作图，体现重要的数学解决问题方法：分析问题，无中生有，进行数学模型构建．汤老师对此题进行了变式处理，请按要求完成下列问题．
(1)如图1，在中，在边上，且，求证：；
(2)如图2，在中，若，于点，，求；
(3)图3，已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规在直线上找所有的点，满足．
【变式2】（2025·吉林长春·一模）如图，在中，，，，点E是边上一点（且点E不与点B、C重合），连结．过点C作，交边于点D，交线段于点F．
(1)边的长为____；
(2)当时，求的长；
(3)当时，求的值；
(4)连结，当四边形为轴对称图形时，直接写出的长．
【题型五】相似模型之一线三等角模型
【例1】（2025·安徽滁州·一模）如图，在四边形中，是上的一点，且．

(1)如图1，若，求证：．
(2)如图2，若．
①求证：．
②若，，，求的长．
【例2】（2025·安徽淮北·一模）如图1，在四边形中，，点E是上一点，且．
(1)求证：．
(2)①如图2，若，当时，求证：
②如图3，当，，，时，求的长．
【变式1】（2025·广东深圳·二模）在平行四边形中，点，分别在边，上．
【尝试初探】（1）如图1，若平行四边形是正方形，为的中点，，求的值；
【深入探究】（2）如图2，，，，求的值；
【拓展延伸】（3）如图3，与交于点，，，，求的值．
【变式2】（2025·山东济南·一模）（一）模型呈现
（1）如图1，点在直线上，，过点作于点，过点作于点，由，得，又，可以推理得到，进而得到_______，_______．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；
（二）模型体验
（2）如图2，在中，点为上一点，，四边形的周长为，的周长为．小诚同学发现根据模型可以推理得到，进而得到，那么，再根据题目中周长信息就可得_______；
（三）模型拓展
（3）如图3，在中，，直线经过点，且于点，于点．请猜想线段之间的数量关系，并写出证明过程：
（四）模型应用
（4）如图4，已知在矩形中，，点在边上，且．是对角线上一动点，是边上一动点，且满足，当在上运动时，请求线段的最大值，并求出此时线段的长度．
【题型六】相似模型之手拉手模型
【例1】（2025·甘肃陇南·一模）几何探究是培养几何直观、推理能力和创新意识的重要途径．解决几何综合探究问题，往往需要运用从特殊到一般、化静为动、类比等数学思想方法．
【初步探究】
（1）如图1，将绕点逆时针旋转得到，连接，．
①的度数为______；
②若，则的长为______；
【拓展延伸】
（2）如图2，在四边形中，，，，为对角线，且满足，若，，请求出的长．
【例2】（2025·江苏盐城·一模）问题情境 借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在中，，，分别取、的中点、，作．如图2所示，将绕点逆时针旋转，连接、．
【探究发现】旋转过程中，线段和存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明．
【类比应用】如图3，当所在直线首次经过点时，求的长．
【延伸思考】如图4，在中，，，，分别取、的中点、．作，将绕点逆时针旋转，连接、．当首次与平行时，求的面积．
【变式1】（2025·江苏连云港·一模）综合与实践：
【新知定义】如图1，若，，则．小明称图1中的和互为“手拉手等形三角形”．
【新知探究】
（1）如图2，若，，，D为的中点．以为一边在右侧作，且和互为“手拉手等形三角形”，连接，则的长为______；
（2）在图1中，连接，求证：；
【变式应用】
（3）如图3，在中，，，D为的中点，为一边在右侧作，，，连接，求的长；
【综合应用】
（4）如图4，若，，，若D点在线段上运动（，且点D不与点B重合），以为一边在右侧作，且和互为“手拉手等形三角形”，连接．以为边构造矩形，连接．直接写出面积的最大值及此时的长度．
【变式2】（2025·广东东莞·一模）【问题背景】
已知、分别是△的边和边上的点，且，则△△，把△绕着逆时针方向旋转，连接和．
①如图2，找出图中的另外一组相似三角形 ；
②若，，，则 ；
【迁移应用】
如图3，在△和△中，，，，，点是线段上一动点，连接．
①请求出的值及的度数，并说明理由．
②如图4，点是的中点，在点从点运动到点的过程中，请直接写出点经过的路径长．
【创新应用】
如图，，△是直角三角形，，，将△绕着点旋转，连接，是上一点，，连接，求的取值范围．
【题型七】相似模型之半角模型
【例1】（2024·辽宁·模拟预测）（1）如图，等腰中，，，、在线段上，且，，，求的长．
（2）如图，在中，，如果，在直线上，在上，在的右侧，，若，，求的长．
（3）如图，在中，若，、是线段上的两点，，若，，探究与的数量关系．
【例2】（2024·江西南昌·模拟预测）【模型建立】
(1)如图1，在正方形中，，分别是边，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系．
小明的探究思路如下：延长到点，使，连接，先证明，再证明．
①，，之间的数量关系为________；
②小亮发现这里可以由经过一种图形变换得到，请你写出这种图形变换的过程________．像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型．
【类比探究】
(2)如图2，在四边形中，，与互补，，分别是边，上的点，且，试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由．
【模型应用】
(3)如图3，在矩形中，点在边上，，，，求的长．
【题型八】相似模型之对角互补模型
【例1】（2025·湖北武汉·一模）如图，是四边形的对角线，已知．
(1)如图1，点在的延长线上，若，求证：；
(2)如图2，若，求证：；
(3)如图3，若，，直接写出的值（用含的式子表示）．
【例2】（23-24九年级上·吉林长春·期中）【问题解决】如图①，在中，点在边上（点不与点重合），点在边上，且．连结并延长至点，使，连结．求证：．
【拓展探究】如图②，在中，，点是边的中点，点在边上，过点作交边于点，连结．若，，则的长为__________．
【变式1】（2025·辽宁大连·一模）如图1，在四边形中，，．
(1)用等式写出和的数量关系是______；
(2)如图2，连接，．求证：平分；
(3)当，时，点是上一点，将绕点逆时针旋转得到．
①如图3，当点恰好在上时，判断并说明四边形的形状；
②如图4，当交于点时，若，，求的值．
【变式2】（2025·河南焦作·一模）【操作判断】
如图1，为两条互相垂直的射线，为的平分线上任意一点，过点作，分别交射线于点．此时在的两侧，试探究之间的数量关系．
以下是小明简略的解题过程，请根据要求作答．
解：，理由如下：
过点作于点于点，则四边形为矩形．
平分，．①
，．
，② ．…
（1）①的依据是______，②中所填的关系表达式为______；
【迁移探究】
（2）如图2，若过点作的两条垂线在的同侧．题中的结论是否发生变化？如果结论不变，请说明理由；如果变化，请写出新结论并给出证明；
【拓展应用】
（3）如图3，若为内部一点，且，请直接写出与之间的数量关系（结果用含的式子表示）．
“A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。
①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型

图1 图2 图3 图4
①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔eq \f(AD,AB)＝eq \f(AE,AC)＝eq \f(DE,BC)。
证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴eq \f(AD,AB)＝eq \f(AE,AC)＝eq \f(DE,BC)。
②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔eq \f(AD,AC)＝eq \f(AE,AB)＝eq \f(DE,BC)。
证明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角） ∴△ADE∽△ACB，∴eq \f(AD,AC)＝eq \f(AE,AB)＝eq \f(DE,BC)。
③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC；
结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔。
证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC，
同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴eq \f(AD,AB)＝eq \f(AE,AC)＝eq \f(DE,BC)。
④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔。
证明:∵DEFG是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC，
同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴。
“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．
①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型

图1 图2 图3 图4
①“8”字模型
条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔eq \f(AB,CD)＝eq \f(OA,OC)＝eq \f(OB,OD)。
证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴eq \f(AB,CD)＝eq \f(OA,OC)＝eq \f(OB,OD)。
②反“8”字模型
条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔eq \f(AB,CD)＝eq \f(OA,OD)＝eq \f(OB,OC)。
证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角） ∴△AOB∽△DOC，∴eq \f(AB,CD)＝eq \f(OA,OD)＝eq \f(OB,OC)。
③平行双“8”字模型
条件：如图3，AB∥CD；结论：。
证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO，
同理可证：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴。
④斜双“8”字模型
条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4。
证明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（对顶角）， ∴△AOD∽△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即AO:DO=BO:CO；
∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。
①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型） ③四“A”+“8”模型

图1 图2 图3
①一“A”+“8”模型 条件：如图1，DE∥BC；
结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，⇔。
证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴eq \f(AD,AB)＝eq \f(AE,AC)＝eq \f(DE,BC)。
∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴。
∴。
②两“A”+“8”模型 条件：如图2，DE∥AF∥BC；
结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，⇔。
证明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴。
∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴。
两式相加得到：，即，故。
③四“A”+“8”模型3 条件：如图3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG，。
证明:同②中的证法，易证：，，
∴，即AF=AG，故。
“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。

图1 图2 图3 图4
1）“母子”模型（斜射影模型）
条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.
证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴，∴AB2＝AD·AC.
2）双垂直模型（射影模型）
条件：如图2，∠ACB=90，CD⊥AB；
结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
证明：∵∠ACB=90，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD，
∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD·AB. 同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
3）“母子”模型（变形）
条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA；
证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA
4）共边模型
条件：如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：；
证明：∵对角线平分，∴∠ABD=∠CBC，
∵，∴△ADB∽△DCB，∴，∴
1）一线三等角模型（同侧型）

（锐角型） （直角型） （钝角型）
条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED。
证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2
∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。
2）一线三等角模型（异侧型）
条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC.
证明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的补角相等），∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。
∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC.
3）一线三等角模型（变异型）
图1 图2 图3
①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.
证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2，∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。
∴，∵C为AB的中点，∴AE=EB，∴，∴，∵∠2=∠3，∴△BED∽△ECD
②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.
证明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A，
∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°，
∴△ABC∽△BFC，同理可证：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.
③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.
证明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°，
∵∠AMB=∠NMC（对顶角相等）∴△ABM∽△NCM. 同理可证：△NDE∽△NCM
故：△ABM∽△NDE∽△NCM.
1）手拉手相似模型（任意三角形）
条件:如图，∠BAC=∠DAE=，；
结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；；∠BFC=∠BAC.
证明：∵，∴，∵∠BAC=∠DAE=，∴△ADE∽△ABC，
∵∠BAC=∠DAE=，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，
∵，∴△ABD∽△ACE，∴，∠ABD=∠ACE，∴∠BFC=∠BAC=∠DAE=，
2）手拉手相似模型（直角三角形）

条件:如图，，；
结论：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，.
证明：∵，∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，∴∠AOC=∠BOD，
∵，∴△AOC∽△BOD，∴，∠OAB=∠OBD，
∴∠AEB=∠AOB=90°，∴AC⊥BD，∴.
1）半角模型（正方形（或等腰直角三角形）中的半角相似模型）
条件：已知，如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠EAF＝45°

结论：如图1，△MDA∽△MAN∽△ABN；

图1 图2
证明：∵ABCD是正方形，∴∠ADM=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠ADM=∠EAF，
∵∠AMD=∠NMA，∴△MDA∽△MAN，同理：△MAN∽△ABN，∴△MDA∽△MAN∽△ABN；
结论：如图2，△BME∽△AMN∽△DFN.
证明：∵ABCD是正方形，∴∠NDF=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠NDF=∠EAF，
∵∠DNF=∠ANM，∴△AMN∽△DFN，同理：△BME∽△AMN，∴△BME∽△AMN∽△DFN；
结论：如图3，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且；

图3 图4
证明：∵ABCD是正方形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACF=45°，，∴∠BAM+∠MAC=45°，
∵∠EAF＝45°，∴∠FAC+∠MAC=45°，∴∠BAM=∠FAC，∴△AMB∽△AFC，∴。
同理：△AND∽△AEC，；即。
结论：如图4，△AMN∽△AFE且．
证明：∵ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠DFA=∠BAN；∵∠AFE=∠AFD，∠BAN=∠AMD，∴∠AFE=∠AMN；
又∠MAN=∠FAE，∴△AMN∽△AFE，由图3证明知：，∴。
2）半角模型（含120-60°半角模型）
图5
条件：如图5，已知∠BAC＝120°，；
结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③ （）。
证明：∵，∴∠ADE=60°，∴∠ADB=120°，∵∠BAC＝120°，∴∠ADB=∠BAC，
∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA；∴，即：，
同理：△CAE∽△CBA，∴，即：，即：△ABD∽△CAE∽△CBA；，
∴，∵AD=AE=DE，∴
1）对角互补相似1
条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点，

结论：如图，过点O作OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，则：①△ODE∼△OHF；②
证明：∵OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，∴∠EDO＝∠FHO＝90°，
∵∠C＝90°，∴四边形OHCD为矩形，∴∠DOH＝90°，DO＝CH ∴∠DOF+∠HOF＝90°，
∵∠EOF＝90°，∴∠DOF+∠DOE＝90°，∴∠HOF＝∠DOE，∴△ODE∼△OHF，∴，
∵∠C＝∠OHD＝90°，点O是AB的中点，∴H为BC中点，∴BH＝CH，∴BH＝DO，∴
∵∠C＝∠OHD＝90°，∠B＝∠B，∴△OHB∼△ACB，∴，∴
2）对角互补相似2
条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝.

结论1：如图1，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；则①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·.
证明：法1：∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；∴∠EGC＝∠DFC＝90°，
∵∠AOB＝90°，∴四边形OGCF为矩形，∴∠GCF＝90°，CF=OG，∴∠FCD+∠DCG＝90°，
∵∠DCE＝90°，∴∠GCE+∠DCG＝90°，∴∠GCE＝∠FCD，∴ECG∼△DCF，∴，
∵CF=OG，∴，∵在Rt△COG中，，∴CE＝CD·
条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝.
结论2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；则：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·.
证明：法1：∵CF⊥OC，∴∠OCF＝90°，∴∠OCE+∠ECF＝90°，
∵∠DCE＝90°，∴∠OCE+∠DCO＝90°，∴∠ECF＝∠DCO，
∵∠AOB＝90°，∠OCF＝90°，∴∠COE+∠DOC＝90°，∴∠COE+∠CFO＝90°，
∴∠DOC＝∠CFO，∴CFE∼△COD，∴，∵在Rt△OCF中，，∴CE＝CD·.
3）对角互补相似3
条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°。
结论：如图，过点D作DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E、F；则：①△DAE∼△DCF；②A、B、C、D四点共圆。
证明：∵∠B+∠D=180°，∠A+∠C=180°，∴A、B、C、D四点共圆。
∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°，
∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°，∴∠C=∠DAE，∴△DAE∼△DCF；