高一升高二数学暑假预习课16讲第05讲 空间向量的应用（一）：直线、平面的位置关系与7考点精讲（学生版）

这是一份高一升高二数学暑假预习课16讲第05讲 空间向量的应用（一）：直线、平面的位置关系与7考点精讲（学生版），共17页。学案主要包含了空间中点， 由空间向量研究直线等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc12003" 第05讲 空间向量的应用（一）：直线、平面的位置关系 PAGEREF _Tc12003 \h 1
\l "_Tc13783" 一、空间中点、直线和平面的向量表示 PAGEREF _Tc13783 \h 2
\l "_Tc17746" 基础知识 PAGEREF _Tc17746 \h 2
\l "_Tc5837" 考点1 法向量 PAGEREF _Tc5837 \h 2
\l "_Tc7110" 二、 由空间向量研究直线、平面的平行关系 PAGEREF _Tc7110 \h 4
\l "_Tc29965" 基础知识 PAGEREF _Tc29965 \h 4
\l "_Tc29525" 考点2 证明线线平行 PAGEREF _Tc29525 \h 4
\l "_Tc21013" 考点3 证明线面平行 PAGEREF _Tc21013 \h 5
\l "_Tc316" 考点4 证明面面平行 PAGEREF _Tc316 \h 7
\l "_Tc18690" 三、 由空间向量研究直线、平面的垂直关系 PAGEREF _Tc18690 \h 9
\l "_Tc2992" 基础知识 PAGEREF _Tc2992 \h 9
\l "_Tc26775" 考点5 证明线线垂直 PAGEREF _Tc26775 \h 9
\l "_Tc19008" 考点6 证明线面垂直 PAGEREF _Tc19008 \h 11
\l "_Tc18069" 考点7 证明面面垂直 PAGEREF _Tc18069 \h 12
\l "_Tc3671" 四、 课后作业 PAGEREF _Tc3671 \h 14
\l "_Tc24261" 单选题 PAGEREF _Tc24261 \h 14
\l "_Tc7311" 多选题 PAGEREF _Tc7311 \h 15
\l "_Tc9059" 填空题 PAGEREF _Tc9059 \h 15
\l "_Tc9729" 解答题 PAGEREF _Tc9729 \h 16
一、空间中点、直线和平面的向量表示
基础知识
1．空间中点、直线和平面的向量表示
(1)空间中点的位置向量：如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量eq \(OP,\s\up6(→))来表示．我们把向量eq \(OP,\s\up6(→))称为点P的位置向量．

(2)空间中直线的向量表示式：直线l的方向向量为a ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋ta①，把eq \(AB,\s\up6(→))＝a代入①式得eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋teq \(AB,\s\up6(→))②，
①式和②式都称为空间直线的向量表示式．
(3)平面的法向量定义：
直线l⊥α，取直线l的方向向量a ，我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合.
【注】一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量.已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量.
考点1 法向量
【例1.1】（23-24高二上·湖北孝感·期末）已知点A1,0,0,B0,2,0,C0,0,3，则下列向量可作为平面ABC的一个法向量的是（ ）
A．1,2,3B．3,2,1C．2,3,6D．6,3,2
【例1.2】（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）在空间直角坐标系O−xyz中，A−1,0,0，B1,2,−2，C2,3,−2，则平面ABC的一个法向量为（ ）
A．1,−1,0B．1,−1,1C．1,0,−1D．0,1,1
【变式1.1】（23-24高二上·河南·阶段练习）已知点A1,2,3，B1,1,0，C0,1,1，则下列向量是平面ABC的法向量的是（ ）
A．−1,3,−1B．−1,−3,−1
C．1,3,1D．−1,3,1
【变式1.2】（23-24高二下·江西抚州·阶段练习）已知平面α内两向量a=(1,1,1)，b=(0,2,−1)且c=ma+nb+(4,−4,1).若c为平面α的法向量，则m，n的值分别为（ ）
A．-1，2B．1，-2
C．1，2D．-1，-2
二、 由空间向量研究直线、平面的平行关系
基础知识
1．空间中直线、平面的平行
(1)线线平行的向量表示：设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2.
(2)线面平行的向量表示：设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0.
(3)面面平行的向量表示：设n1 ，n2 分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 .
2．利用向量证明线线平行：
证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可．
3．证明线面平行：
(1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；
(2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内；
(3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内．
4．证明面面平行：
(1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．
(2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明．
考点2 证明线线平行
【例1.1】（2023高二·全国·专题练习）如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=2,AA1=4．点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上，AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3．

证明：B2C2∥A2D2.
【例1.2】（23-24高二·全国·课后作业）已知长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=3，点S、P在棱CC1、AA1上，且CS=12SC1，AP=2PA1，点R、Q分别为AB、D1C1的中点．求证：直线PQ∥直线RS．
【变式1.1】（23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，E为CP的中点，N为DE的中点，DM=14DB,DA=DP=1,CD=2，求证：MN//AP．

【变式1.2】（22-23高二下·江苏·课后作业）如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，求证：CE//MN.
考点3 证明线面平行
【例2.1】（2024高二上·全国·专题练习）如图所示，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=12AP=2，D是AP的中点，E,F,G分别为PC,PD,CB的中点，将△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD，试用向量方法证明AP ∥平面EFG.
【例2.2】（2024高二上·全国·专题练习）如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB⊥AC,AB=1，AC=AA1=2,AD=CD=5，且点M,N分别为B1C和D1D的中点， 求证：MN//平面ABCD.
【变式2.1】（2023高二·全国·专题练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AD⊥MN，AB=2，AD=AP=4，M，N分别是BC，PD的中点. 求证：MN ∥平面PAB.

【变式2.2】（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，EF//AD，平面ADEF⊥平面ABCD，且BC=2EF，AE=AF，点G是EF的中点．

(1)证明：AG⊥平面ABCD；
(2)线段AC上是否存在一点M，使MG //平面ABF？若存在，求出MCAC的值；若不存在，说明理由．
考点4 证明面面平行
【例3.1】（23-24高二上·湖南株洲·期中）如图，已知在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点．证明：

(1)MN//平面CC1D1D；
(2)平面MNP//平面CC1D1D．
【例3.2】（2023高一·全国·专题练习）如图所示，正四棱ABCD−A1B1C1D1的底面边长1，侧棱长4，AA1中点为E，CC1中点为F．求证：平面BDE//平面B1D1F.

【变式3.1】（23-24高二·全国·课后作业）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，
求证：（1）FC1∥平面ADE；
（2）平面ADE∥平面B1C1F.
【变式3.2】 （23-24高二上·天津蓟州·阶段练习）如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2
(1)求证：平面A1C1B ∥平面ACD1;
(2)线段B1C上，是否存在点P，使得A1P ∥平面ACD1.
三、 由空间向量研究直线、平面的垂直关系
基础知识
1．空间中直线、平面的垂直
(1)线线垂直的向量表示：设 u1，u2 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.
(2)线面垂直的向量表示：设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn.
(3)面面垂直的向量表示：设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0.
2．证明两直线垂直：
建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直．
3．用坐标法证明线面垂直：
(1)利用线线垂直：
①将直线的方向向量用坐标表示；
②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；
③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直．
(2)利用平面的法向量：
①将直线的方向向量用坐标表示；
②求出平面的法向量；
③判断直线的方向向量与平面的法向量平行．
4．证明面面垂直：
(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明．
(2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直．
考点5 证明线线垂直
【例1.1】（22-23高二上·云南昆明·期中）如图，下列正方体中，O为底面的中点，P为所在棱的中点，M、N为正方体的顶点，则满足MN⊥OP的是（ ）
A．③④B．①②C．②④D．②③
【例1.2】（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M，N分别是棱DD1和线段BC1上的动点，则满足与AD1垂直的直线MN（ ）
A．有且仅有1条B．有且仅有2条
C．有且仅有3条D．有无数条
【变式1.1】（2024高三·全国·专题练习）已知在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=1，AA1=2，E为CC1的中点，F为BD1的中点．求证：
(1)EF⊥BD1且EF⊥CC1；
(2)EF//AC．
【变式1.2】（21-22高一下·四川成都·期末）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，AB=2，BC=1，PC=PD=2，E为PB中点.

(1)求证：PD ∥平面ACE；
(2)在棱PD上是否存在点M，使得AM⊥BD?若存在，求PMPD的值；若不存在，说明理由.
考点6 证明线面垂直
【例2.1】（2024高三·全国·专题练习）已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，M、N、P分别是棱CC1、BC、CD的中点，求证：A1P⊥平面DMN．
【例2.2】（23-24高二上·浙江·期中）已知正三棱台ABC−A1B1C1中，AA1=1，BC=2B1C1=2，D、E分别为AA1、B1C1的中点.

(1)求该正三棱台的表面积；
(2)求证：DE⊥平面BCC1B1
【变式2.1】（2024·重庆·模拟预测）已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E在棱DD1上运动，F在线段B1D1上运动，直线DF与平面ACE交于点G．

(1)当E,F为中点时，证明：DF⊥平面ACE；
(2)若DF⊥平面ACE，求DGDF的最大值及此时DE的长．
【变式2.2】（23-24高二上·全国·课后作业）如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E为BC的中点．
(1)在B1B上是否存在一点P，使D1P⊥平面B1AE？
(2)在平面AA1B1B上是否存在一点N，使D1N⊥平面B1AE？
考点7 证明面面垂直
【例3.1】（2023高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD//BC，PA=AD=CD=2，BC=3.E为PD的中点，点F在PC上，且PFFC=12.
求证：平面AEF⊥平面PCD.
【例3.2】 （2023高二·全国·专题练习）如图，正三棱柱ABC−A1B1C1中，E,F分别是棱AA1,BB1上的点，A1E=BF=13AA1.

证明：平面CEF⊥平面ACC1A1.
【变式3.1】 （23-24高二上·新疆昌吉·期末）如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥AB,AB//DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．证明：

(1)BE//平面PAD；
(2)平面PCD⊥平面PAD．
【变式3.2】（23-24高三上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，三角形PAB为正三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD.E,M分别为线段AB,PD的中点.

(1)求证：PB//平面ACM；
(2)在棱CD上是否存在点G，使得平面GAM⊥平面ABCD？若存在，请求出CGCD的值；若不存在，请说明理由.

四、 课后作业
单选题
1．（23-24高二下·江苏·单元测试）已知平面α上的两个向量a→=2,3,1，b→=5,6,4，则平面α的一个法向量为（ ）
A．1,−1,1B．2,−1,1
C．−2,1,1D．−1,1,1
2．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知直线l的方向向量为m=a,1,−2，平面α的一个法向量为n=−1,2,3，若直线l //平面α，则a=（ ）
A．−7B．2C．−1D．−4
3．（23-24高二上·江西九江·期末）若平面α外的直线l的方向向量为a→=1,0,−2，平面α的法向量为m→=8,−1,4，则（ ）
A．l⊥αB．l//αC．a//mD．l与α斜交
4．（23-24高二上·河南洛阳·期末）若平面α的法向量为n，直线l的方向向量为m，l⊄α，则下列四组向量中能使l//α的是（ ）
A．m→=(−1,0,1)，n→=(1,0,1)B．m→=(0,−1,2)，n→=(0,1,−2)
C．m→=(1,−2,1)，n→=(−2,1,−2)D．m→=(2,−1,1)，n→=(−4,2,−2)
5．（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）如图，在下列各正方体中，l为正方体的一条体对角线，M、N分别为所在棱的中点，则满足MN⊥l的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（23-24高二上·北京石景山·期末）在空间直角坐标系O−xyz中，点A1,2,1,B−1,2,−1，则（ ）
A．直线AB ∥坐标平面xOyB．直线AB⊥坐标平面xOy
C．直线AB ∥坐标平面xOzD．直线AB⊥坐标平面xOz
7．（23-24高二下·江苏徐州·阶段练习）已知直线l是正方体体对角线所在直线，P,Q,R为其对应棱的中点，则下列正方体的图形中满足l⊥平面PQR的是（ ）
A．（1）（2）B．（1）（3）
C．（1）（4）D．（2）（4）
8．（23-24高三下·浙江·开学考试）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E,F分别为AB,BC的中点，则（ ）
A．平面B1EF ∥平面A1C1D
B．平面B1EF⊥平面BC1D
C．平面B1EF ∥平面A1CC1
D．平面B1EF⊥平面B1DD1
多选题
9．（23-24高二上·全国·课后作业）（多选）已知平面α内两向量a=1,1,1,b=0,2,−1，且c=ma+nb+4,−4,1，若c→为平面α的一个法向量，则（ ）
A．m=−1B．m=1C．n=2D．n=−2
10．（23-24高二上·江西赣州·期末）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则（ ）
A．EF//平面A1B1C1D1B．平面B1EF//平面A1AC
C．EF⊥平面B1DFD．平面B1EF⊥平面BDD1
填空题
11．（23-24高二上·湖北孝感·期末）已知u=3,a,b（a，b∈R）是直线l的方向向量，n=1,2,3是平面α的法向量，如果l⊥α，则2a+3b= .
12．（2023·北京·模拟预测）如图，在直角梯形ABCD中，E为CD的中点，BC⊥CD，AE⊥CD，M，N分别是AD，BE的中点，将△ADE沿AE折起，使点D不在平面ABCE内，则下命题中正确的序号为 ．
①MN//AB；
②MN⊥AE；
③MN//平面CDE；
④存在某折起位置，使得平面BCD⊥平面ABD．
解答题
13．（2024高二上·全国·专题练习）四边形ABCD是直角梯形，AD//BC，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1，求平面SCD和平面SAB的法向量．
14．（23-24高二上·安徽淮北·期中）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．

(1)求证：A1D//平面BCC1B1；
(2)求证：EF⊥A1D
15．（2024高二上·江苏·专题练习）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD//QA，QA=AB=12PD.
(1)证明：平面PQB⊥平面DCQ；
(2)证明：PC//平面BAQ.
16．（2024高二上·江苏·专题练习）如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知BC=4，AB=AD=2.
(1)求证：AC⊥BF；
(2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面PAC⊥平面BCEF？若存在，求出BPPE的值；若不存在，请说明理由.