高一升高二数学暑假预习课16讲第02讲 空间向量的数量积运算与6考点精讲（学生版）

这是一份高一升高二数学暑假预习课16讲第02讲 空间向量的数量积运算与6考点精讲（学生版），共12页。
\l "_Tc5585" 一、 空间向量的夹角与数量积 PAGEREF _Tc5585 \h 2
\l "_Tc18005" 基础知识 PAGEREF _Tc18005 \h 2
\l "_Tc12198" 考点1 计算空间向量数量积 PAGEREF _Tc12198 \h 3
\l "_Tc16780" 考点2 计算空间向量的夹角 PAGEREF _Tc16780 \h 3
\l "_Tc9980" 考点3 由空间向量的数量积求模 PAGEREF _Tc9980 \h 4
\l "_Tc22321" 考点4 向量垂直的应用 PAGEREF _Tc22321 \h 5
\l "_Tc20275" 二、 向量的投影 PAGEREF _Tc20275 \h 6
\l "_Tc3768" 基础知识 PAGEREF _Tc3768 \h 6
\l "_Tc21817" 考点5 求解投影向量 PAGEREF _Tc21817 \h 6
\l "_Tc16251" 考点6 向量数量积的应用 PAGEREF _Tc16251 \h 7
\l "_Tc8342" 三、课后作业 PAGEREF _Tc8342 \h 9
\l "_Tc21006" 单选题 PAGEREF _Tc21006 \h 9
\l "_Tc25083" 多选题 PAGEREF _Tc25083 \h 10
\l "_Tc7462" 填空题 PAGEREF _Tc7462 \h 11
\l "_Tc25349" 解答题 PAGEREF _Tc25349 \h 11
一、 空间向量的夹角与数量积
基础知识
1．空间向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．
(2)范围：0≤〈a，b〉≤π.
特别地，当〈a，b〉＝eq \f(π,2)时，a⊥b.
2．空间向量的数量积
3．空间向量夹角的计算
求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定．
4．空间向量数量积的计算
求空间向量数量积的步骤：
(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．
(3)代入求解．
考点1 计算空间向量数量积
【例1.1】 （23-24高二上·天津静海·阶段练习）已知向量a和b的夹角为120°，且a=2，b=5，则(2a−b)⋅a=（ ）
A．12B．8+13C．4D．13
【例1.2】（23-24高二上·山东威海·阶段练习）在正四面体P−ABC中，棱长为2，且E是棱AB中点，则PE⋅BC的值为（ ）
A．−1B．1C．3D．7
【变式1.1】（23-24高二上·广东河源·期末）如图，在正三棱锥P−ABC中，高PO=6，AB=33，点E,F分别为PB,PC的中点，则OE⋅OF=（ ）
A．634B．638C．214D．218
【变式1.2】（2024·江西赣州·二模）已知球O内切于正四棱锥P−ABCD，PA=AB=2，EF是球O的一条直径，点Q为正四棱锥表面上的点，则QE⋅QF的取值范围为（ ）
A．[0,2]B．[4−23,2]C．[0,4−3]D．[0,4−23]
考点2 计算空间向量的夹角
【例2.1】 （23-24高二上·山东烟台·期中）已知空间向量a，b，c满足a=2，b=3，c=7且a+b+c=0，则a与b的夹角大小为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【例2.2】（23-24高二·全国·课后作业）已知空间向量a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=4，则csa,b=（ ）
A．12B．13C．−12D．14
【变式2.1】（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2，BD=3，AD1⋅DC−AB1⋅BC=4，则csAA1,BD=（ ）
A．23B．−23C．34D．−34
【变式2.2】 （23-24高二上·北京顺义·阶段练习）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠BAD=π2,∠BAA1=∠DAA1=π4，则直线BD1与直线AC所成角的余弦值为（ ）

A．−33B．63C．−63D．33
考点3 由空间向量的数量积求模
【例3.1】（23-24高二上·新疆和田·期中）已知a、b、c均为单位向量，a,b=b,c=90∘，a,c=60∘，则a−b+c=（ ）
A．4B．2C．2D．3
【例3.2】（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知ABCD−A1B1C1D1是平行六面体，AB=AD=AA1=2， ∠BAD=π2，∠BAA1=∠DAA1=π3，则AC1=（ ）
A．25B．20C．5D．25
【变式3.1】（23-24高二上·天津滨海新·期中）在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，其中AB=BC=BB1=2,∠ABB1=∠ABC=∠B1BC=π3，则BD1=（ ）
A．12B．23C．6D．26
【变式3.2】（23-24高二上·安徽·阶段练习）在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E,F,G,H分别为A1B1,B1C1,A1D1,BB1的中点，则GF+GH+2EG=（ ）
A．6B．26C．3D．23
考点4 向量垂直的应用
【例4.1】（23-24高二上·山西朔州·期末）如图，PA⊥面ABCD,ABCD为矩形，连接AC、BD、PB、PC、PD，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（ ）

A．PC与BDB．PB与DA
C．PD与ABD．PA与CD
【例4.2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知a，b是异面直线，a⊥b，e1，e2分别为取自直线a，b上的单位向量，且m=2e1+3e2，n=ke1−4e2，m⊥n，则实数k的值为（ ）
A．−6B．6C．3D．−3
【变式4.1】（23-24高二·全国·课后作业）已知空间向量a，b，a=1，b=2，且a−b与a垂直，则a与b的夹角为（ ）
A．60∘B．30∘C．135∘D．45∘
【变式4.2】（23-24高二上·山东·阶段练习）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，若A1C⊥BC1，则AA1AB为（ ）

A．1B．12C．23D．32
二、 向量的投影
基础知识
1．向量的投影
(1)如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cs〈a，b〉eq \f(b,|b|)，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))．
(2)如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到eq \(A′B′,\s\up6(———→))，向量eq \(A′B′,\s\up6(———→))称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，eq \(A′B′,\s\up6(———→))的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．
考点5 求解投影向量
【例1.1】（23-24高二上·河北唐山·期中）在空间四边形ABCD中，∠ABD=∠BDC=90°,AC=2BD，则BD在AC上的投影向量为（ ）
A．12ACB．14ACC．12BDD．14BD
【例1.2】（23-24高二上·辽宁营口·期末）已知a=4，空间向量e为单位向量，a,e=2π3，则空间向量a在向量e方向上的投影的数量为（ ）
A．2B．−2C．−12D．12
【变式1.1】（22-23高二下·安徽合肥·开学考试）已知空间向量a=13，b=5，且a与b夹角的余弦值为−91365，则a在b上的投影向量为（ ）
A．−91313bB．91313bC．925bD．−925b
【变式1.2】（23-24高二上·安徽合肥·期中）若空间向量e1，e2满足e1=2e1+e2=3，则e1在e2方向上投影的最大值是（ ）
A．3B．0C．−332D．−32
考点6 向量数量积的应用
【例2.1】（23-24高二上·江西·期末）已知A，B，C，P为空间内不共线的四点，G为△ABC的重心．
(1)证明：PA+PB+PC=3PG；
(2)若向量PA，PB，PC的模长均为2，且两两夹角为π3，求PG．
【例2.2】（23-24高二上·重庆长寿·期末）如图，在平行六面体ABCD−A′B′C′D′中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA′的长为b，且∠A′AB=∠A′AD=120∘.求：
(1)AC′的长；
(2)直线BD′与AC所成角的余弦值.
【变式2.1】 （23-24高二上·浙江杭州·期中）已知a,b,c是空间中的三个单位向量, 且a⊥b, a,c=b,c=60∘. 若OM=2a+b−c，OA=a+b+c, OB=a+2b+c.
(1)求MB;
(2)求MB和OA夹角的余弦值.
【变式2.2】（2023高二·全国·专题练习）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长是a，CD1和DC1相交于点O．
(1)求CD1⋅CD；
(2)判断AO与CD1是否垂直．
三、课后作业
单选题
1．（23-24高二下·江苏·课前预习）已知a=3p−2q,b=p+q，p,q是相互垂直的单位向量，则a⋅b＝（ ）
A．1B．2
C．3D．4
2．（23-24高二下·四川凉山·期中）对于任意空间向量a，b，c，下列说法正确的是（ ）
A．若a//b且b//c，则a//cB．a⋅b+c=a⋅b+a⋅c
C．若a⋅b=a⋅c，且a≠0，则b=cD．a⋅bc=ab⋅c
3． （23-24高二下·江苏·课前预习）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中， AC=AB=AA1=2，BC=2AE=2，则向量AE与A1C的夹角是（ ）

A．30°B．45°
C．60°D．90°
4．（23-24高二上·广东茂名·期末）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，设AB=a，AD=b，AA1=c，则a+b⋅b−c=（ ）

A．1B．−1C．0D．2
5．（23-24高二上·江西萍乡·期末）已知a，b，c是空间中两两垂直的单位向量，则3a+b−2c=（ ）
A．14B．14C．2D．2
6．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知空间向量a+b+c=0,a=1,b=4,csa,b=12，则c=（ ）
A．3B．13C．21D．21
7．（23-24高二上·甘肃陇南·期末）已知a=2i−2j+λk，b=4i−j+5k（i，j，k为两两互相垂直的单位向量），若a⊥b，则λ=（ ）
A．−1B．1C．−2D．2
8．（23-24高三下·北京·开学考试）正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，动点M在线段CC1上，动点P在平面A1B1C1D1上，且AP⊥平面MBD1.线段AP长度的取值范围是（ ）
A．1,2B．62,3C．62,2D．62+∞
多选题
9．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列命题是真命题的是（ ）
A．AA1+AD+AB2=3AB2
B．A1C⋅AB1=0
C．AD1与AB1夹角为60°
D．正方体ABCD−A1B1C1D1的体积为AB⋅AA1⋅AD
10．（23-24高二上·河北沧州·期末）在棱长为2的正四面体A-BCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G是△BCD的重心，则下列结论正确的是（ ）
A．AB⋅CD=0B．AB⋅EF=2
C．EF在AB上的投影向量为13ABD．EG=13AB+AC−AD
填空题
11．（23-24高二下·云南保山·开学考试）已知a,b是两个空间向量，若|a|=2,|b|=2，|a−b|=7，则cs〈a,b〉＝ .
12．（23-24高二下·上海·期中）如图，圆柱O1O2的底面半径为2，高为5,A,B分别是上、下底面圆周上的两个点，若O1A⊥O2B，则AB= .
解答题
13．（23-24高二下·江苏·课前预习）已知正四面体OABC的棱长为1，如图所示.
(1)确定向量OA在直线OB上的投影向量，并求OA·OB；
(2)确定向量AO在平面ABC上的投影向量，并求AO⋅ AB.
14．（23-24高二上·上海·课后作业）已知a⊥b，c与a、b的夹角都是60∘，并且a=1，b=2，c=3．计算：
(1)3a−2b⋅b−3c；
(2)a+2b−c．
15．（23-24高二上·山西吕梁·期末）如图所示，平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=1,AA1=2，∠BAD=π2,∠BAA1=∠DAA1=π3.

(1)用向量AB,AD,AA1表示向量BD1，并求BD1；
(2)求BD1⋅AC.
16．（23-24高二上·湖北·期末）如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1的底面是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°，CD=1，CC1=2．
(1)求A1C的长．
(2)求异面直线CA1与DC1所成的角的余弦值．
定义
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cs 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.
即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
规定：零向量与任何向量的数量积都为0.
性质
①a⊥b⇔a·b＝0
②a·a＝a2＝|a|2
运算律
①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.
②a·b＝b·a(交换律)．
③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).