2024-2025学年云南省楚雄彝族自治州高二下学期5月期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年云南省楚雄彝族自治州高二下学期5月期中数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A，B两所大学分别有7，8个自己感兴趣的专业，若这名同学只能从这些专业中选择1个，则他不同的选择种数为( )
A. 56B. 15C. 28D. 30
2.已知集合A=x|x2−x−60).已知a1,1=1，a5,1=a1,4+1，记这n2个数的和为S，则下列说法正确的有( )
A. d=2B. a5,7=512
C. ai,j=(2i−1)×2j−1D. S=n2(2n−1)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若(x−2)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a0+a1+a2+a3+a4+a5= ．
13.曲线y=2x−1x+2在点(1,f(1))处的切线方程为 ．
14.已知函数f(x)=x3−mx+6lnx在定义域内单调递增，则实数m的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在▵ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=π3，a= 7，b=2．
(1)求sinB；
(2)求▵ABC的面积．
16.(本小题15分)
已知四棱锥M−ABCD的底面为直角梯形，AB//CD，∠ADC=90∘，MD⊥底面ABCD，且MD=DC=AD=2AB=2，P是MC的中点．
(1)证明：BP//平面MAD；
(2)求直线MB与平面DBP所成角的正弦值．
17.(本小题15分)
已知等差数列an满足a3>a1,a1+a3=10,a1,a2−1,a3成等比数列．
(1)求数列an的通项公式；
(2)若bn=an3n，求数列bn的前n项和Tn．
18.(本小题17分)
已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 32，点A1, 32在椭圆E上．
(1)求椭圆E的方程；
(2)已知椭圆E的右顶点为B，过B作直线l与椭圆E交于另一点C，且|BC|=2 77|AB|，求直线l的方程．
19.(本小题17分)
已知函数fx=ex−ax−1,gx=lnx+2−x−1(e为自然对数的底数，a∈R)，函数fx的极值点为0．
(1)求a的值；
(2)证明：对∀x∈−2, +∞, fx>gx；
(3)已知数列an的前n项和Sn=lnn+1n∈N∗，证明：a1+a22+a33+⋯+anna1，则a1=2a3=8，所以公差d=a2−a1=3，
故数列an的通项公式an=2+3(n−1)=3n−1；
(2)由(1)可得：bn=an3n=3n−13n=146n+13n−1−6(n+1)+13n，
所以Tn=147−133+133−199+⋅⋅⋅+6n+13n−1−6(n+1)+13n=147−6n+73n．

18.解：(1)
由题可知ca= 32，其中c2=a2−b2，
所以b=12a，
又点A1, 32在椭圆E上，
所以1a2+34b2=1，即1a2+3a2=1，
解得a2=4,b2=1，
所以椭圆E的方程为x24+y2=1；
(2)由椭圆E的方程为x24+y2=1，得B(2,0)，
所以AB= (1−2)2+ 32−02= 72，
设Cx0,y0，其中x0∈[−2,2),y0∈[−1,1],
因为|BC|=2 77|AB|=1，
所以x0−22+y02=1，
又点Cx0,y0在椭圆E:x24+y2=1上，
所以x024+y02=1，
联立方程组(x0−2)2+y02=1x024+y02=1,
得3x02−16x0+16=0，
解得x0=43或x0=4(舍)，
当x0=43时，y0=± 53，
即C43, 53或C43,− 53 ，
所以当C的坐标为43, 53时，
直线l的方程为 5x+2y−2 5=0，
当C的坐标为43,− 53时，
直线l的方程为 5x−2y−2 5=0，
综上，直线l的方程为 5x+2y−2 5=0或 5x−2y−2 5=0．


19.解：(1)由fx=ex−ax−1，得f′x=ex−a，
因为函数fx的极值点为0，所以f′0=e0−a=0，解得a=1 ，
若a=1,f′x=ex−1，当x0,f(x)单调递增．所以0是函数fx的极值点，
综上所述，a=1．
(2)令ℎx=fx−gx=ex−x−1−lnx+2−x−1=ex−lnx+2,x∈−2,+∞，则ℎ′x=ex−1x+2 ，
因为函数y=ex，y=−1x+2在x∈−2,+∞上单调递增，ℎ′(−1)=e−1−1=1e−10，
所以∃x0∈−1,0，使得ℎ′x0=0 ，
当−20 ，
所以ℎ(x)⩾ℎ(x0)>0，即fx>gx．
(3)证明：当n≥2时，an=Sn−Sn−1=lnn+1−lnn=lnn+1n，
当n=1时，a1=S1=ln2，满足上式，
所以an=lnn+1nn∈N∗ ，
由(2)知对∀x∈−2,+∞,fx>gx，即ex>lnx+2，
取x=−1+1n, n∈N∗，则ln−1+1n+2