人教版2025年七年级数学下学期期末总复习(专题训练)专题03平面直角坐标系(考题猜想，8种高频易错重难点50题)(学生版+解析)

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题型一：平面直角坐标系（高频）
1．（23-24七年级下·西藏山南·期末）若点P的坐标为，则点P在（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【知识点】判断点所在的象限
【分析】本题主要考查了点的坐标，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．根据平面直角坐标系中点的坐标符号可得答案．
【详解】解：若点P的坐标为，则点P在第二象限，
故选：B．
2．（23-24七年级下·湖北宜昌·期末）下列各点中，在第三象限的点是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】判断点所在的象限
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据点的坐标特征求解即可．
【详解】解：A、在第二象限，本选项不符合题意；
B、在第三象限，本选项符合题意；
C、在轴上，不属于任何象限，本选项不符合题意；
D、在第四象限，本选项不符合题意；
故选：B．
3．（22-23七年级下·西藏拉萨·期末）若在第一象限，则y的取值范围（ ）
A．B．
C．大于或等于D．小于或等于
【答案】B
【知识点】已知点所在的象限求参数
【分析】本题主要考查了象限内点的坐标特征，熟练掌握每个象限内点的坐标符号是解决此题的关键．根据第一象限内点的坐标符号为，解答即可．
【详解】解：在第一象限，
，
故选： B．
4．（24-25七年级上·山东淄博·期末）在平面直角坐标系中，若点在x轴上．则点A的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】已知点所在的象限求参数
【分析】本题考查了点的坐标，根据点在x轴上，则，解出，再代入中，进行计算，即可作答．
【详解】解：∵点在x轴上
∴
∴
∴
∴点A的坐标为．
故选：C．
5．（24-25七年级下·山东潍坊·期末）点在第 象限．
【答案】二
【知识点】判断点所在的象限
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【详解】解：∵，
点在第二象限．
故答案为：二．
6．（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，长方形中，在坐标轴上，，则的坐标为 ．
【答案】
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标
【分析】本题考查了坐标的表示，掌握坐标的表示方法是解题的关键．
根据题意，，点在第二象限，由此即可求解．
【详解】解：根据题意，，点在第二象限，
∴，
故答案为： ．
题型二：平面直角坐标系的构建（易错）
7．（24-25七年级下·全国·期末）如图，运动会上，同学们在操场列队，建立适当的平面直角坐标系后，小研所在位置的坐标为，小白所在位置的坐标为，则下列关于同学们坐标的说法正确的是（ ）

A．小面所在位置的坐标为
B．小万所在位置的坐标为
C．小鹿所在位置的坐标为
D．小唯所在位置的坐标为
【答案】C
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、实际问题中用坐标表示位置
【分析】本题考查了平面直角坐标系，解题的关键在于根据已知条件确定原点．根据已知条件，确定平面直角坐标系原点，最后即可求出答案．
【详解】解：如图，小研所在位置的坐标为，小白所在位置的坐标为，建立坐标系如下：

∴小面所在位置的坐标为，故A不符合题意；
小万所在位置的坐标为，故B不符合题意；
小鹿所在位置的坐标为，故C符合题意；
小唯所在位置的坐标为，故D不符合题意；
故选：C．
8．（24-25七年级下·山东潍坊·期末）如图，若在棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点，“炮”位于点，则将棋子“马”向上平移2个单位长度后的点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标
【分析】本题考查平面直角坐标系的建立、用坐标表示表示位置及平面直角坐标系中点的平移，由题意，建立平面直角坐标系，求出“马”位于点，再由点的平移即可得到答案，熟记平面直角坐标系坐标表示位置及点的平移是解决问题的关键．
【详解】解：根据“帅”位于点，“炮”位于点，建立平面直角坐标系，如图所示：
∴“马”位于点，
∴将棋子“马”向上平移两个单位长度后位于点，
故答案为：．
9．（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图是古诗《登飞来峰》，如果“浮”用表示，“上”用表示，那么“升”可以表示为 ．
【答案】
【知识点】实际问题中用坐标表示位置
【分析】本题主要考查用坐标表示位置．根据点的坐标确定坐标系的位置，是解题的关键．根据“浮”和“上”的坐标，可建立平面直角坐标系，即可解答．
【详解】解：∵“浮”用表示，“上”用表示
∴可建立如图所示的平面直角坐标系，
∴“升”可以表示为．
故答案为：．
10．（24-25七年级上·河北张家口·期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点A、C的坐标分别为，．
(1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
(2)将向右平移2个单位长度，然后再向下平移3个单位长度，得到，画出平移后的．
(3)写出点各个顶点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，，
【知识点】平移(作图)、由平移方式确定点的坐标
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标、平移的性质，熟练掌握如何确定平面直角坐标系中原点的位置是解题的关键，
（1）根据A、C的坐标确定原点位置，建立直角坐标系即可；
（2）根据平移顺序分别找到的位置，然后顺次连接即可；
（3）由（2）即可直接写出各个顶点的坐标．
【详解】（1）解：平面直角坐标系如图所示：
（2）解：平移后的如图所示；
（3）解：各个顶点的坐标分别为：，，．
11．（24-25七年级下·全国·期末）小蒲周末打算去游乐场游玩，如图，他根据游乐场的地图在网格中着重标注了自己游玩的四个地点，其中旋转木马，过山车，摩天轮的坐标分别为，．
(1)请你根据点的坐标建立平面直角坐标系；
(2)写出激流勇进点的坐标为_______；
(3)连接，将线段向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后，得到线段，画出线段，并直接写出点和点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析，
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、实际问题中用坐标表示位置、平移(作图)、由平移方式确定点的坐标
【分析】本题主要考查坐标与图形及作图—平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义与性质．
（1）根据旋转木马，过山车，摩天轮的坐标分别为，，建立平面直角坐标系；
（2）利用所建立的直角坐标系写出激流勇进点的坐标即可；
（3）由平移的性质画出线段，并直接写出点和点的坐标；
【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图．
（2）解：激流勇进点的坐标为，
故答案为：；
（3）解：画出线段如图，．
题型三：点的坐标特征（易错）
12．（24-25七年级上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B是y轴上的任意一点，则线段的最小值是（ ）
A．4B．9C．13D．22
【答案】B
【知识点】求点到坐标轴的距离
【分析】本题考查的是垂线段最短，坐标与图形．掌握“垂线段最短”是解本题的关键．
根据点到直线的距离垂线段最短，当B是y轴上任意一点时，轴时，线段的值最小，点A的坐标为，故，即可选出答案．
【详解】解：∵点A的坐标为，点B是y轴上的任意一点，
∴当轴时，线段的值最小，如图，
最小值是．
故选：B．
13．（24-25七年级上·山东泰安·期末）若点，则点到轴的距离为 ．
【答案】
【知识点】求点到坐标轴的距离
【分析】本题考查的知识点是点到坐标轴的距离，解题关键是掌握点到轴的距离即为横坐标的绝对值．
根据点到轴的距离为横坐标的绝对值即可得解．
【详解】解：点，则点到轴的距离为．
故答案为：．
14．（24-25七年级上·山东威海·期末）已知点坐标为，点的坐标为，若轴，则 ．
【答案】
【知识点】求点到坐标轴的距离
【详解】本题考查了坐标与图形的性质，由平行于轴的点的纵坐标相同，可得，解得的值，则可得答案，熟练掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点是解题的关键．
【点睛】解：点的坐标为，且轴，
，
，
故答案为：．
15．（24-25七年级上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，平行于x轴，，则点Q的坐标是 ．
【答案】或
【知识点】求点到坐标轴的距离、写出直角坐标系中点的坐标
【分析】本题考查的是坐标与图形性质，熟知平行于x轴的直线上各点的纵坐标相等是解题的关键．先根据题意得出P点坐标，根据平行于x轴设出Q点的坐标，进而可得出结论．
【详解】解：∵第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，
∴
∵平行于x轴，
∴设，
∵，
∴或，
∴点Q的坐标是或．
故答案为：或．
题型四：坐标系内的平移（难点）
16．（24-25七年级上·山东威海·期末）在直角坐标系中，将点先向下平移3个单位，再向左平移5个单位得到点．若点的横坐标与纵坐标互为相反数，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【知识点】由平移方式确定点的坐标、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】此题考查了点的平移和点的坐标等知识．根据点的平移方式求出，再根据点的横坐标与纵坐标互为相反数得到，即可求出答案．
【详解】解：∵将点先向下平移3个单位，再向左平移5个单位得到点．
∴，即，
∵点的横坐标与纵坐标互为相反数，
∴，
解得
故选：A
17．（23-24七年级下·全国·期末）在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点． 若点位于第二象限，则m，n的取值范围分别是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】D
【知识点】已知点所在的象限求参数、由平移方式确定点的坐标
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，第二象限内的点的坐标特点，先根据“上加下减，左减右加”的平移规律得到，再根据第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正进行求解即可．
【详解】解：∵将点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点，
∴，
∵在第二象限，
∴，
∴，，
故选：D．
18．（23-24七年级下·全国·期末）在平面直角坐标系中，将点向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】由平移方式确定点的坐标
【分析】本题考查了坐标与图形，点的平移规律，根据向上（下）平移个单位长度纵坐标加（减），向右（左）平移个单位长度横坐标加（减），据此即可作答．
【详解】解：∵将点向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，
∴，
则平移后的点坐标为，
故选：C．
19．（22-23七年级下·云南曲靖·期末）直角坐标系中，把点向左平移3个单位，再向上平移1个单位的坐标为，则点P坐标为 ．
【答案】
【知识点】由平移方式确定点的坐标
【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移．根据点的平移：左减右加，上加下减，列出方程，求解可得．
【详解】解：将点向左平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的点坐标是，
∴，，
解得，，
点P的坐标为，
故答案为：．
20．（23-24七年级下·河南信阳·期末）对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，，将点与点称为点P的一对伴随点．例如，点与点为点的一对伴随点．
(1)点的一对伴随点坐标为 ；
(2)将点向左平移m个单位长度，得到点，若点的一对伴随点重合，求点C的坐标．
【答案】(1)和
(2)
【知识点】由平移方式确定点的坐标、写出直角坐标系中点的坐标、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】本题考查了点坐标，点坐标的平移，一元一次方程的应用等知识．理解题意是解题的关键．
（1）由点，可得，，进而可求点的一对伴随点坐标；
（2）由平移可知，，则，，点的一对伴随点为和，由点的一对伴随点重合，可得，计算求解，然后作答即可．
【详解】（1）解：∵点，
∴，，
∴点的一对伴随点坐标为和，
故答案为：和；
（2）解：由平移可知，，
∴，，
∴点的一对伴随点为和，
∵点的一对伴随点重合，
∴，
解得，，
∴．
21．（23-24七年级下·云南昭通·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，且a，b满足，现将线段向上平移3个单位，再向右平移2个单位，分别得到A、B的对应点C、D，连接、．
(1)求a，b的值；
(2)点P是线段上的一个动点（不与B、D重合），求证：；
(3)若点Q在线段上，且把四边形分成的两部分，求点Q的坐标．
【答案】(1)；4
(2)见解析
(3)点Q的坐标为
【知识点】绝对值非负性、坐标与图形、两直线平行内错角相等、由平移方式确定点的坐标
【分析】本题考查了坐标与图形，平移的性质，平行线的性质，
（1）根据绝对值的性质和二次根式的性质进行计算即可得；
（2）过点P作，根据得，根据平行线的性质得，，即，即可得；
（3）由（1）知，，根据平移的性质得，，根据梯形的面积公式得，根据题意得当点Q在CD上时，，设点Q的横坐标为m，则，计算得，即可得；
掌握坐标与图形，平移的性质，平行线的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，；
（2）解：如图所示，过点P作，

∵
则，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：由（1）知，，由平移知：，，
∴，
∴当点Q在CD上时，，
设点Q的横坐标为m，则，
解得：，
，
解得：，
，不合题意，
此时点Q的坐标为．
综上所述．满足条件的点Q的坐标为．
22．（23-24七年级下·福建莆田·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别是x轴、y轴上的点，且，，其中a、b满足，将B向左平移18个单位得到点C．
(1)求点A、B、C的坐标；
(2)点M、N分别为线段、上的两个动点，点M从点B以1个单位/秒的速度向左运动，同时点N从点A以2个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒．
①当时，求t的值；
②是否存在一段时间，使得？若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】(1)；；；
(2)①秒；②存在，
【知识点】由平移方式确定点的坐标、与线段有关的动点问题、坐标与图形、绝对值非负性
【分析】本题主要考查非负数的性质两个非负数相加为零，各个非负数分别为零；平面直角坐标系内点的平移时坐标的变化规律；动点问题以及在坐标系内四边形面积的求法，
（1）非负数相加为零，各个非负数都是零，即可求出a，b的值，结合图形可得出点A，点B的坐标，再根据平移的性质可得出点C的坐标．
（2）①分别表示出与的长，联立等式求解．
②将变化为求解即可．
【详解】（1）解，，，
∴，
解得，
点、是轴、轴上的点，且，，
点，点，
点向左平移18个单位长度得到点．
（2）①根据题意可得：，，
，
，
，
②假设存在满足时间的，根据题意，
，
，
由①得：，，
，
，
，
解得：，
，
．
故存在满足条件的值，．
题型五：求图形面积（重点）
23．（22-23七年级下·安徽阜阳·期末）在正方形的网格中，每个小正方形的边长为个单位长度，三角形的三个顶点都在格点（正方形网格的交点称为格点）上．现将三角形平移，使点平移到点分别是的对应点．

(1)请画出平移后的三角形．
(2)求三角形的面积．
【答案】(1)作图见详解
(2)三角形的面积为
【分析】（1）根据点的对应点为，可知图形平移的规律，由此即可求解；
（2）运用割补法将补成梯形，根据几何图形的面积计算方法即可求解．
【详解】（1）解：将三角形平移，使点平移到点，
∴平移规律是：图形沿水平方向向右平移个单位长度，
∴如图所示，

∴即为所求图形．
（2）解：如图所示，将补成梯形，

∴，，，，，
∴，，，
∴，
∴三角形的面积为．
【点睛】本题主要考查格点图形的变换，掌握图形平移的规律，几何图形面积的计算方法是解题的关键．
24．（23-24七年级下·湖北随州·期末）如图，已知，，把向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位得到，解答下列各题：
(1)在图上画出；
(2)写出点，的坐标；
(3)求出的面积．
【答案】(1)见解析
(2)，
(3)12
【分析】本题考查了坐标平面内图形的平移作图，求格点三角形的面积，熟练掌握坐标平面内图形的平移作图是解题的关键．
（1）根据平移的性质，找出点A，点B，点C经过平移后的对应点，，，连结，，，即得所求图形；
（2）由（1）画出的图形可知点，的坐标；
（3）根据三角形的面积公式计算，即得答案．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；

（2）解：由图可知，；
（3）解：的面积为：．
25．（22-23七年级下·新疆省直辖县级单位·期末）已知的三个顶点的坐标分别是，，．
(1)在所给的平面直角坐标系中画出．将先向下平移3个单位，再向右平移2个单位得到，请求出、、三点的坐标，并画出．
(2)求出的面积．
【答案】(1)见解析；、、；见解析
(2)3
【分析】本题考查了作图——平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
（1）根据点平移的坐标变化规律写出、、的坐标然后描点连线即可；
（2）用长方形的面积减去三个小三角形的面积即可．
【详解】（1）解：如图，，即为所求；
、、三点的坐标分别为、、；
（2）解：．
26．（23-24七年级下·四川广元·期末）已知四边形在平面直角坐标系中的位置如图所示，将四边形先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到四边形．

(1)画出四边形；
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查平移作图，在网格中求四边形的面积．
（1）分别作出各顶点的对应点，依次连接即可解答；
（2）运用割补法即可解答．
【详解】（1）解：如图，四边形为所求；

（2）解：四边形的面积．
27．（23-24七年级下·四川绵阳·期末）如图，三角形三个顶点的坐标分别为，将三角形沿x轴负方向平移2个单位，再沿y轴负方向平移1个单位，得到三角形．

(1)画出三角形，并分别写出三个顶点的坐标；
(2)求三角形的面积．
【答案】(1)图见解析，，，
(2)
【分析】本题考查了平移作图及三角形的面积，解答本题的关键是根据平移的特点，找到各点的对应点．
（1）将A、B、C分别向左平移2个单位，向下平移1个单位，然后顺次连接可得三角形，也可得出三个顶点的坐标；
（2）计算的面积即可．
【详解】（1）所作图形如下：
，，．
（2）．
28．（23-24七年级下·吉林松原·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点是的中点，以为边，在轴上方作正方形．动点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点运动．设点运动时间为秒，三角形的面积为，回答下列问题：
(1)点的坐标为______；当点在线段上时，的长度为______．（用含的代数式表示）
(2)当时，三角形的面积为 ；
(3)求点运动过程中三角形的面积和运动时间之间数量关系．（用含的代数式表示）
(4)当时，直接写出的值．
【答案】(1)；；
(2)2；
(3)；
(4)
【知识点】列代数式、坐标与图形
【分析】本题考查动点问题，分段进行计算是解题的关键．
（1）根据线段的中点得到，然后根据正方形的性质得到点B的坐标，根据点的运动求出线段的长；
（2）根据的值可知，点在线段上，然后利用计算解题；
（3）分为，和时，点P的位置计算即可；
（4）根据可得点P在上，然后列方程解题即可．
【详解】（1）解：∵点的坐标为，点是的中点，
∴，
又∵是正方形，且点B在第一象限，
∴点B的坐标为；
点在线段上时，；
故答案为：，；
（2）当时，点在线段上，
∴；
（3）解：当时，点P在上，
；
当时，点P在上，
；
当时，点P在上，，
；
综上所述，；
（4）解：∵，
∴点P在上，即，解得．
题型六：求点的坐标（难点）
29．（23-24七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，过点作直线轴，垂足为C，交线段于点D，过点A作，垂足为E，连接．
(1)求的面积；
(2)点P为直线上一动点，当时，求点P的坐标．
【答案】(1)6
(2)或
【知识点】坐标与图形
【分析】本题主要考查了坐标与图形：
（1）先证明轴， 再由点A和点B的坐标得到，，据此根据三角形面积计算公式求解即可；
（2）先求出，，则，，设， 再分点P在x轴上方和x轴下方两种情况，画出对应的图形求解即可．
【详解】（1）解：轴，，
轴，
点A的坐标为，点B的坐标为
，，
；
（2）解：点坐标为，
，，
，
∴，
设，如图所示：
当点在轴上方时，则点P一定在点E上方，
∴
，
，
，
点的坐标为；
当点在轴下方时，
过点作轴于N，
∴
，
，
或（舍去），
点的坐标为：；
点的坐标为：或．
30．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于两点，若点，，满足．
(1)求的值；
(2)若点的坐标为，连接，．则的面积为 ；
(3)点在直线上，且．数学活动小组的同学发现：当点在线段上时，可连接，的面积是面积的，根据两者间的面积关系，即可求出点坐标．请你根据活动小组的思路，直接写出满足条件点的坐标．
【答案】(1)
(2)9
(3)或
【知识点】坐标与图形、利用算术平方根的非负性解题、绝对值非负性
【分析】本题主要考查了非负数的性质、坐标系中的面积问题、中点坐标公式等，解题的关键是根据题意熟练应用上述知识．
（1）依据题意，由，可得，进而计算可以得解；
（2）作轴于点，由三点的坐标可知，再根据代入计算即可；
（3）依据题意，可分为当点在线段上时、点在的延长线上和点在的反向延长线上三种情况，分别进行讨论即可得解．
【详解】（1）解：，
，
解得．
（2）如图，作轴于点，
由（1）可得，，，
，
，
．
（3）由题意，①如图，当点在线段上时，
，
，
，
边上的高是边上的高的3倍，
，
的纵坐标为2，
，
，
，
边上的高是边上的高的，
，
的横坐标为2，
；
②如图，当点在的延长线上时，
，
是线段的中点，
设，
，，
，，
，，
；
③当点在的反向延长线上时，
不成立，不合题意；
综上所述，或．
31．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）如图，平面直角坐标系中，点，，．
(1)点C到y轴的距离为______；
(2)求的面积；
(3)若点P的坐标为，
①直接写出线段的长为______；（用含m的式子表示）
②当时，求点P的坐标．
【答案】(1)1
(2)
(3)①；②或
【知识点】求点到坐标轴的距离、坐标与图形
【分析】本题考查图形与坐标，结合图形，理解题意是解决问题的关键．
（1）根据点的坐标即可求解；
（2）利用长方形减去周围三个小直角三角形的面积即可求解；
（3）①根据，两点坐标即可求解；
②根据，，，列出方程即可求解．
【详解】（1）解：∵点的坐标为，
∴点到轴的距离为1，
故答案为：1；
（2）的面积为；
（3）①∵，，
∴，
故答案为：；
②∵，，，
∴，即，
∴或，
∴点的坐标为或．
32．（23-24七年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，将线段向右平移8个单位长度得到线段，连接，得到长方形，点M是边的中点．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点C运动，当点P不与点C重合时，连接，设三角形的面积为S，点P运动的时间为(秒)．
(1)点M的坐标为______，点D的坐标为______．
(2)当时，求点P的坐标；
(3)用含t的式子表示三角形的面积S；
(4)当三角形PMC的面积恰好为长方形的面积的时，直接写出t的值．
【答案】(1)，
(2)点P的坐标为
(3)当时，；当时，
(4)或10
【知识点】坐标与图形、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了坐标与图形，一元一次方程的几何应用，三角形面积的计算，分类讨论是解答本题的关键．
（1）根据题意可得，根据点M是边的中点，即可得出结果；
（2）根据可判断出点运动到的位置，，从而得出结果；
（3）当点P在线段上时，和点P在上时，两种情况下列方程即可得到结论；
（4）当点P在线段上时，，当点P在线段上时，，根据三角形的面积公式和梯形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）解：点A的坐标为，将线段向右平移8个单位长度得到线段，
，
点M是边的中点，
，
，，
故答案为：，；
（2），当时，点运动到的位置，，
，
，
故点P的坐标为；
（3）在长方形中，
，
，
∵点M是边的中点，
，
，
当点P位于上时，，
，
，，
，
当点P位于上时，，
，
，
，
综上所述：当时，；当时，；
（4）当点P在线段上时，，
，
解得：；
当点P在线段上时，，
，
解得：，
综上所述，当的面积恰好为长方形的面积的一时，t的值为或10．
33．（23-24七年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，将线段平移至，点在轴的正半轴上移动（不与点重合），连接，且．
(1)直接写出点的坐标；
(2)点在运动过程中，是否存在点，满足，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；
(3)点在运动过程中，请直接写出三者之间存在的数量关系．
【答案】(1)
(2)存在点满足，点的坐标为或
(3)点在运动过程中，或．
【知识点】平移综合题(几何变换)、根据平行线判定与性质求角度、写出直角坐标系中点的坐标、坐标与图形
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图象的变换，掌握图形的平移规律，几何图形面积的计算方法，平行线的判定和性质等知识是解题的关键．
（1）根据平移的性质可得点向左边平移了6个单位，由此即可求解；
（2）根据题意，设点，则，用含的式子表示，根据绝对值的性质即可求解；
（3）根据题意，图形结合，分类讨论，当点在上时；当点在点的右边时；根据平行线的判定和性质即可求解．
【详解】（1）解：已知点，点，将线段平移至，
∴点的纵坐标为，横坐标为，
∴；
（2）解：存在，理由如下，
设点，则，且，，
∴，，
∵，
∴，整理得，，
当时，，
解得，，则；
当时，，
解得，，则；
综上所述，存在点满足，点的坐标为或；
（3）解：已知点在轴的正半轴上移动（不与点重合），
第一种情况，当点在上时，如图所示，作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
第二种情况，当点在点的右边时，如图所示，作，
∴，
∴，
∵，
∴；
综上所述，点在运动过程中，或．
34．（23-24七年级下·重庆江津·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标，点B的坐标是，将线段向右平移得到线段，点D的坐标为，过点D作轴，垂足为E，动点P以每秒2个单位长度的速度匀速从点A出发，沿着A→E→D的方向向终点D运动，设运动时间为t秒.
(1)点C的坐标是______，当点P出发5秒时，则点P的坐标是______；
(2)当点P运动时，用含t的式子表示出点P的坐标；
(3)当点P在线段上运动时，是否存在点P使得三角形的面积是四边形面积的，若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，试说明理由.
【答案】(1)； ；
(2)点在上运动时，，点P在上运动时，
(3)存在，或.
【知识点】由平移方式确定点的坐标、平移综合题(几何变换)、列代数式
【分析】本题是平移综合题，考查了三角形的面积，动点问题，解题的关键是分类讨论思想的应用．
（1）根据题意，，进而求出点的坐标；由题意得，，，点在上，且，进而表示出点的坐标；
（2）当点在上运动时，当点在上运动时，分别表示出点的坐标即可作答；
（3）先求出四边形的面积,点在上运动时列方程求解即可．
【详解】（1）解：点的坐标是，点的坐标为，
由平移的性质得，
点的坐标，
；
由题意得，，，
点的运动速度为每秒2个单位长度，
出发5秒时，运动的距离为10个单位长度，
此时点在上，且，
点的坐标为，
故答案为：，；
（2）解：当点在上运动时，
，
点的坐标为；
当点在上运动时，
，
点的坐标为，
点的坐标为；
（3）解：四边形的面积为，
，
当点在上运动时，边上的高为4，
即，
解得，
点的坐标为或，
题型七：坐标系中格点作图与计算（高频）
35．（23-24七年级下·广西河池·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在边长为1的小正方形网格中的格点上，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)请画出将向上平移4个单位长度后得到的图形；直接写出的坐标是 ；
(2)请画出将向左平移4个单位长度后得到的图形；直接写出的坐标是 ．
(3)归结第（1）、（2）小题，请问将平移到有几种平移变换的方法，并分别用自己的语言表述出来．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)见解析
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，正确根据平移方式找到对应点位置是解题的关键．
（1）先根据平移方式确定A、B、C对应点的位置，然后顺次连接，再根据点的位置求出对应点坐标即可
（2）先根据平移方式确定对应点的位置，然后顺次连接，再根据点的位置求出对应点坐标即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
∴．
（2）解：即为所求；
∴．
（3）解：将先向上平移4个单位长度后，再向左平移4个单位长度或将先向左平移4个单位长度后，再向上平移4个单位长度即可得到．
36．（23-24七年级下·四川广安·期末）在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是．现将三角形平移，使点与点重合，点，的对应点分别是点，．

(1)请画出平移后的三角形，并写出点的坐标为______；
(2)是三角形内的一点，当三角形平移到三角形后，若点的对应点的坐标为，则点的坐标为______．
【答案】(1)图见解析；
(2)
【分析】本题考查了画图形的平移，确定平移方式，求平移后点的坐标等知识；掌握平面直角坐标系中点平移的规律是解题的关键．
（1）由C、的坐标可确定平移方式，由平移确定点A、B的对应点，依次连接即可；也可以写出点的坐标；
（2）按照（1）中确定的平移，向相反方向平移，则由点坐标可得到点P的坐标．
【详解】（1）解：C点坐标为，点的坐标是，则平移是向左平移6个单位长度，再向下平移1个单位长度；按此平移，点A、B的对应点的坐标分别为、，依次连接，则平移后的三角形如图，点的坐标为；

故答案为：；
（2）解：由于平移是向左平移6个单位长度，再向下平移1个单位长度，
则向右平移6个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点P，
故点P的坐标为；
故答案为：．
37．（23-24七年级下·河北承德·期末）教材中的探究：如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．
(1)图2中A、B两点表示的数分别为__________，__________；
(2)参照上面的方法，把长为5，宽为1的长方形图3进行裁剪，拼成一个正方形．
①图4所拼正方形的边长为____________________．
②参考图2，在平面直角坐标系中分别标出点以及点．（图中保留必要作图痕迹）
【答案】(1)；
(2)①；②见解析
【分析】本题主要考查了实数与数轴，坐标与图形：
（1）根据正方形面积计算公式可得边长为1的小正方形的对角线的长为，据此可得点A和点B表示的数；
（2）①根据图④的面积等于四个长方形面积加上中间一个正方形面积求出图④的面积，进而求出图④正方形的边长即可；②根据正方形面积可知，图④中正方形面积的边长为，据此取点，以点O为圆心，点O与点的长为半径画弧与y轴的交点即为点M，同理求出点N即可．
【详解】（1）解：∵把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形，
∴边长为1的小正方形的对角线的长为，
∴由图可知点A和点B表示的数分别为和，
故答案为：；；
（2）解：①由题意得图④正方形的面积为，
∴图4所拼正方形的边长为，
故答案为：；
②如图所示，点M和点N即为所求．
38．（23-24七年级下·黑龙江绥化·期末）如图，在直角坐标系中，的顶点都在网格点上，其中，A点坐标为
(1)将先向下平移6个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到．在图中作出平移后的图形
(2)写出点的坐标：（ ， ）、（ ， ）、（ ， ）
【答案】(1)见解析
(2)2；0；；；0；
【分析】本题考查利用平移变换作图，坐标与图形，解题的关键是∶
（1）利用点的坐标平移规律得到点的位置，依次连接即可；
（2）利用图象写出点的坐标即可．
【详解】（1）解∶如图， 即为所求，
（2）解∶由图象知∶，，，
故答案为：2；0；；；0；．
39．（23-24七年级下·陕西延安·期末）在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)请你在平面直角坐标系中描出点A，B，C，并依次连接得到三角；
(2)若将点A向下平移5个单位长度，得到点，则点的坐标为______；
(3)画出将先向右平移6个单位长度，再向上平移1个单位长度后的．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】本题主要考查了坐标与图形变换—平移：
（1）平面直角坐标系中描出点A，B，C，再依次连接，即可求解；
（2）根据平移的性质，即可求解；
（3）找到点A，B，C的对应点，再依次连接，即可求解．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：点的坐标为；
故答案为：
（3）解：如图，即为所求；
40．（23-24七年级下·陕西安康·期末）如图，已知点，，，三角形经过平移得到三角形，三角形中任意一点平移后的对应点为．

(1)请在图中作出三角形；
(2)写出点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移：
（1）由和可得平移方式为向右平移5个单位长度，向下平移1个单位长度，再根据“上加下减，左减右加”的平移规律求出A、B、C对应点的坐标，描出并顺次连接即可；
（2）根据（1）所求可得答案．
【详解】（1）解：∵三角形经过平移得到三角形，三角形中任意一点平移后的对应点为，
∴平移方式为向右平移5个单位长度，向下平移1个单位长度，
∵，，，
∴，，，
如图所示，即为所求：

（2）解：由（1）可知．
41．（22-23七年级下·陕西渭南·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形的顶点均在格点上．
(1)写出A、B、C三点的坐标；
(2)将三角形先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到三角形（点、、的对应点分别为、、），在图中画出三角形，并写出点的坐标．
【答案】(1)，，；
(2)图见解析，点的坐标为．
【分析】本题考查作图平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
（1）由图可得出答案．
（2）根据平移的性质作图，即可得出答案．
【详解】（1）解：由图可得，，，；
（2）解：如图，三角形即为所求．
由图可得，点的坐标为．
42．（23-24七年级下·云南昭通·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格点上，其中点的坐标是．
(1)写出两点的坐标；
(2)将先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，得到，请画出，并直接写出、的坐标．
【答案】(1)，
(2)见解析，，
【分析】本题主要考查坐标与图形，图形的平移，掌握平面直角坐标系的特点是解题的关键．
（1）根据坐标与图形的特点即可求解；
（2）根据图形平移的规律即可作图，根据图示即可写出坐标．
【详解】（1）解：根据平面直角坐标系的图示可得，，；
（2）解：如图所示：
∴，．
43．（23-24七年级下·全国·期末）在边长为1的小正方形网格中，三角形的顶点均在格点上．
(1)点 B 的坐标为 ；
(2)将三角形 向左平移3个单位长度得到三角形，请画出三角形 ；
(3)在（2）的条件下， 的坐标为 ．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了作图—平移变换、坐标与图形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据图形即可得出答案；
（2）根据平移的性质作出即可；
（3）根据平面直角坐标系写出坐标即可．
【详解】（1）解：根据图形得点B的坐标为；
（2）解：如图，即为所作；
（3）解：在（2）的条件下，的坐标为．
题型八：坐标规律探究（难点）
44．（24-25七年级下·全国·期末）如图，长方形的两边分别在轴，轴上，点与原点重合，点，将长方形沿轴向右翻滚，经过一次翻滚点对应点记为，经过第二次翻滚点对应点记为，，以此类推，经过次翻滚后，点对应点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题考查了点的坐标变化规律，观察图形可得，经过次翻滚后，点对应点都到达长方形的左上角处，据此解答即可求解，根据图形找到点位置的变化规律的解题的关键．
【详解】解：观察图形可得，经过次翻滚后，点对应点都到达长方形的左上角处，
∵点，
，
∴长方形的周长为，
∵，
∴经过次翻滚后，点对应点的坐标为，
即，
故选：．
45．（24-25七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2025秒时，点的坐标是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题主要考查了规律型：点的坐标，解题关键是求出运动后的坐标，由题意易知半圆的弧长为，然后可得点每秒走个半圆，即可求解．
【详解】半径为1个单位长度的半圆的弧长为
点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，
点每秒走个半圆．
当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，
运动时间为1秒时，点的坐标为；
运动时间为2秒时，点的坐标为；
运动时间为3秒时，点的坐标为；
运动时间为4秒时，点的坐标为；
运动时间为5秒时，点的坐标为；
运动时间为6秒时，点的坐标为
点的横坐标等于运动时间，纵坐标以四个数为一个循环组循环．
第2025秒时，点的坐标是，
故选C．
46．（23-24七年级下·黑龙江鹤岗·期末）如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边轴或轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…顶点依次用，，，，…表示，（在第三象限，顺时针依次为，，，在第三象限顺时针依次为，依此类推…）则顶点的坐标是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题主要考查点坐标与图形的规律，掌握图形与点坐标的特点，规律是解题的关键．
根据坐标的变化找出变化规律“，为自然数”，依此即可得出结论．
【详解】解：观察发现：，…
∴为自然数．
∵，
∴．
故选：C．
47．（23-24七年级下·山西忻州·期末）如图，动点A从坐标原点出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断运动，每次运动一个单位长度，其路线如图所示，得到点 第n次运动到点，则点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标变换规律，解题的关键是理解题意找出点的坐标变换规律．
根据题意可得，，，，，，⋯，由此得出纵坐标规律：以1，1，0，0的顺序，每4个为一个循环，可求出点的纵坐标，然后根据的横坐标为1，的横坐标为2，的横坐标为3，⋯，可得的横坐标为，即可求解．
【详解】解：由题意得：，，，，，，⋯，
由此得出纵坐标规律：以1，1，0，0的顺序，每4个为一个循环，
∵，
∴点的纵坐标为，
∵的横坐标为1，的横坐标为2，的横坐标为3，⋯，
由此得：的横坐标为，
∴．
故答案为：．
48．（23-24七年级下·黑龙江鸡西·期末）小颖同学观看台球比赛，从中受到启发，把它抽象成数学问题：如图，小球起始时位于处，沿所示的方向击球，若不考虑阻力，小球运动的轨迹如图所示，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2024次碰到球桌边时，小球所在的位置用坐标表示是 ．
【答案】
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题考查坐标规律探究，根据图象可知，每6次一个循环，进行求解即可．
【详解】解：由图象，可知，第1次到达，
第2次到达，
第3次到达，
第4次到达，
第5次到达，
第6次到达，
第7次到达，；
∴小球每6次一个循环，
∵，
∴小球第2024次碰到球桌边时，小球所在的位置：．
49．（23-24七年级下·辽宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，，一动点P从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿A→B→C→D→A循环爬行，则第2024秒动点P所在位置的坐标是 ．
【答案】
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题考查了点的变化规律．根据点的坐标求出四边形的周长，然后求出第2024秒点移动了几圈后的第几个单位长度，从而确定答案．
【详解】解：，，，，
四边形是矩形，
，，
，
点运动一周需要的时间是（秒），
，
按顺序循环爬行，第2024秒相当于从点出发运动了8秒，路程是：个单位，，
∴在上，且距离点2个单位处，即的坐标为，
故答案为：．
50．（22-23七年级下·安徽阜阳·期末）在直角坐标系中，设一质点自处向上运动1个单位至，然后向左运动2个单位至处，再向下运动3个单位至处，再向右运动4个单位至处，再向上运动5个单位至处，如此继续运动下去，设，，，2，3，．
(1)依次写出的值；
(2)计算的值；
(3)计算的值．
【答案】(1)分别为1，，，3，3，
(2)1
(3)1002
【知识点】点坐标规律探索
【分析】此题主要考查了点的坐标特点，解决本题的关键是分析得到4个数相加的规律．
（1）根据图象结合平面坐标系得出各点横坐标即可；
（2）根据各点横坐标数据得出规律，进而得出答案即可；
（3）经过观察分析可得每4个数的和为2，把2004个数分为501组，即可得到相应结果．
【详解】（1）根据平面坐标系结合各点横坐标得出：
、、、、、的值分别为：1，，，3，3，；
（2）；
；
；
（3）；
；
．