2021北京初三一模数学汇编：反比例函数练习（含答案）

这是一份2021北京初三一模数学汇编：反比例函数练习（含答案），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2021·北京房山·一模）在平面直角坐标系中，若函数图象上任意两点，均满足．下列四个函数图象中，
所有正确的函数图象的序号是（ ）
A．①②B．③④C．①③D．②④
2．（2021·北京平谷·一模）学习完函数的有关知识之后，强强对函数产生了浓厚的兴趣，他利用绘图软件画出函数的图象并对该函数的性质进行了探究．下面推断正确的是（ ）
①该函数的定义域为；
②该函数与x轴没有交点；
③该函数与y轴交于点；
④若是该函数上两点，当时，一定有.
A．①②③④B．①③C．① ②③D．②③④
3．（2021·北京门头沟·一模）在物理实验室实验中，为了研究杠杆的平衡条件，设计了如下实验，如图，铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧采取变动钩码数量即改变力F，或调整钩码位置即改变力臂L，确保杠杆水平平衡，则力F与力臂L满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系B．反比例函数关系C．一次函数关系D．二次函数关系
4．（2021·北京石景山·一模）下列两个变量之间的关系为反比例关系的是（ ）
A．圆的周长与其半径的关系
B．平行四边形面积一定时，其一边长与这边上的高的关系
C．销售单价一定时，销售总价与销售数量的关系
D．汽车匀速行驶过程中，行驶路程与行驶时间的关系
二、填空题
5．（2021·北京顺义·一模）写出一个反比例函数表达式，使它的图象与直线有公共点，这个函数的表达式为_______．
6．（2021·北京丰台·一模）在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，则的值为______．
7．（2021·北京通州·一模）在平面直角坐标系中，已知正比例函数的图象与反比例函数图象的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标为__________．
三、解答题
8．（2021·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，直线与函数的图象G交于点．
（1）求的值；
（2）直线与直线交于点M，与图象G交于点N，点M到y轴的距离记为，点N到y轴的距离记为，当时，直接写出k的取值范围．
9．（2021·北京海淀·一模）已知直线过点．点P为直线l上一点，其横坐标为m．过点P作y轴的垂线，与函数的图象交于点Q．
（1）求k的值；
（2）①求点Q的坐标（用含m的式子表示）；
②若的面积大于3，直接写出点P的横坐标m的取值范围．
10．（2021·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点和点．
（1）求的值及直线的解析式；
（2）点是线段上两点且，若线段与双曲线无交点，求的取值范围．
11．（2021·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象相交于点
（1）求k的值；
（2）过点平行于x轴的直线，分别与第一象限内的正比例函数、反比例函数的图象相交于，当时，求的取值范围．
12．（2021·北京房山·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，将点A向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点B．
（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；
（2）若一次函数的图象过点B，且与反比例函数的图象没有公共点，写出一个满足条件的一次函数的表达式．
13．（2021·北京朝阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，是直线与函数的图象G的交点．
（1）①求a的值；
②求函数的解析式．
（2）过点且垂直于x轴的直线与直线和图象G的交点分别为，当时，直接写出n的取值范围．
14．（2021·北京平谷·一模）已知：直线过点（，），且与双曲线：相交于点（，2）．
（1）求m值及直线的解析式；
（2）画出的图象，结合图象直接写出不等式的解集．
参考答案
1．D
【分析】
根据二次函数、一次函数及反比例函数的性质可直接进行排除选项．
【详解】
解：由①的函数图象可得一次函数的k＜0，则有y随x的增大而减小，当时，，所以，故不符合题意；
由②的函数图象可得一次函数的k＞0，则有y随x的增大而增大，即当时，，所以，故符合题意；
由③的函数图象可得二次函数的开口向上，对称轴为y轴，则有当x≤0时，y随x的增大而减小，当x≥0时，y随x的增大而增大，所以当，，则，当，，则，当时，则或，则或，故不符合题意；
由④的图象可得反比例函数的k＜0，则有y随x的增大而增大，即当时，，所以，故符合题意；
∴符合函数图象上任意两点，均满足的函数图象为②④；
故选D．
【点睛】
本题主要考查二次函数、一次函数与反比例函数的图象与性质，熟练掌握二次函数、一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键．
2．C
【分析】
根据函数解析式的特点及函数图象即可判断．
【详解】
中分母不为零，故，①正确；
由图象可知该函数与x轴没有交点，②正确；
令x=0，y=，∴该函数与y轴交于点，③正确；
当是该函数上两侧的两点时，，，故④错误；
故选C．
【点睛】
此题主要考查函数与图象判断，解题的关键根据分式及图象得到相关性质进行判断．
3．B
【分析】
根据杠杆平衡条件：F1L1=F2L2，并结合题意可得左侧F1L1是定值，从而进行判断．
【详解】
解：由杠杆平衡条件：F1L1=F2L2，
∵铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧采取变动钩码数量即改变力F，或调整钩码位置即改变力臂L，确保杠杆水平平衡，
∴力F与力臂L的乘积是定值，即力F与力臂L满足反比例函数关系
故选：B．
【点睛】
此题属于跨学科综合题目，考查杠杆平衡条件及反比例函数xy=k（k≠0），理解相关概念是解题关键．
4．B
【分析】
判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
【详解】
A. 圆的周长与其半径是正比例关系，不符合题意，
B. 平行四边形面积一定时，其一边长与这边上的高成反比例关系，符合题意，
C. 销售单价一定时，销售总价与销售数量成正比例关系，不符合题意，
D. 汽车匀速行驶过程中，行驶路程与行驶时间成正比例关系，不符合题意，
故选B．
【点睛】
本题主要考查成反比例函数关系的量，关键就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．
5．（符合且k≠0即可）
【分析】
设这个反比例函数表达式为：（k≠0），联立两函数整理为一元二次方程，根据函数有交点可得，从而求得k的取值范围，写出符合条件的一个即可（注意k≠0）．
【详解】
解：设这个反比例函数表达式为：（k≠0）与联立得：
，整理得：，
当时，方程有解，此时两函数图象有公共解，
解得且k≠0，
故这个函数的表达式为：（符合且k≠0即可）．
【点睛】
本题考查反比例函数与一次函数．理解两函数交点与联立它们所成方程组的解集的个数之间的关系是解题关键．
6．
【分析】
根据关于原点对称的点的坐标特点找出、两点坐标的关系，再根据反比例函数图象上点的坐标特点解答即可．
【详解】
图像关于中心对称，
，
图像经过一、三象限，
图像也关于中心对称，
，
图像经过一、三象限，
又、为与交点，
、也关于原点中心对称，且一个在第三象限，一个在第一象限，
，，
，
故答案为．
【点睛】
本题考查了反比例函数图像的对称性，准确掌握利用过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称是解答本题的关键．
7．
【分析】
根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称进行解答即可．
【详解】
∵ 正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，
∴ 两函数的交点关于原点对称，
∵ 一个交点的坐标是，
∴ 另一个交点的坐标是．
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是正比例函数与反比例函数的交点问题，熟知正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称是解题的关键．
8．（1）a=4，b=1；（2）且k≠1
【分析】
（1）将点P坐标代入y＝x−3，得出b的值，再把点P坐标代入，即可求出a的值；
（2）先用含k的代数式出点M、N的横坐标，再根据，列出关于k的不等式，进而即可求解．
【详解】
解：（1）∵点在直线上，
∴b＝4−3＝1，
∵函数的图象经过点P（4，1），
∴a＝4×1＝4，
即：a=4，b=1；
（2）∵直线与直线交于点M，
∴，解得：，
∵直线与图象G：交于点N，
∴，解得：，（舍去），且k＞0，
∵点M到y轴的距离记为，点N到y轴的距离记为，且，
∴且k＞0，解得：且k≠1．
【点睛】
本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握一次函数与反比例函数的图像和性质以及图像上点的坐标特征，是解题的关键．
9．（1） ；（2） ① ；②．
【分析】
（1）由直线过点，代入直线解析式可得，即；
（2）①由P在直线上且横坐标为m，可求点P的纵坐标为，由轴，可得点Q的纵坐标为．由点Q在函数的图象上，可求点Q的横坐标为即可；
②由P（m, ）,Q ，可求PQ=利用三角形面积公式S△POQ=，由的面积大于3，列不等式，解得：或（舍去）即可．
【详解】
解：（1）∵直线过点，
∴，即．
（2）①∵P在直线上且横坐标为m，
∴点P的纵坐标为，
∵轴，
∴点Q的纵坐标为．
∵点Q在函数的图象上，
∴点Q的横坐标为．
∴点Q的坐标为．
②∵P（m, ）,Q，
PQ=，
S△POQ=，
的面积大于3，
∴，
解得：或（舍去），
∴．
【点睛】
本题考查一次函数解析式，直线垂直y轴上的点的特征，三角形面积，解不等式，掌握一次函数解析式，直线垂直y轴上的点的特征，三角形面积，解不等式是解题关键．
10．（1）m=2，n=2，（2）反比例解析式为，直线的解析式为：y=x+1；（2）
【分析】
（1）将A与B坐标代入一次函数与反比例解析式，得到m与n的值，再设直线的解析式为y=kx+b，将A与B坐标代入，进而求出k与b的值，确定出一次函数与反比例解析式；
（2）先根据两点间的距离公式得出AB的长，求出当点Q与点A重合时得出，再结合已知即可得出答案
【详解】
解：（1）将点代入得，m=（-2）×（-1）=2，
∴反比例解析式为；
∵在双曲线上，
∴n=2，
设直线的解析式为y=kx+b，点和点在l上，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：y=x+1；
（2）直线的解析式y=x+1与x轴的交点C为（-1，0）
∵和点
∴,
∵，
∴PQ＜AB，
∵点是线段上两点且，
∴，，
当即点A与点Q重合时， ，
此时点P与点C重合，∴，
∵线段与双曲线无交点，
∴
【点睛】
本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，以及两点间的距离，此题的关键是用待定系数法求函数的解析式．
11．（1）1；（2）．
【分析】
（1）把P点坐标代入反比例函数解析式即可得到k的值；
（2）由题意可以把分别用表示出来，然后由完全平方公式的变形及可以得到，再分别算出和时的值即可得到解答．
【详解】
解：（1）∵点P在反比例函数上，
∴1=，
∴k=1；
（2）如图，
由题意得：
，
∴，
当时，M为，A为，B为，，
当a=2时，M为，A为，B为，，
∴的取值范围是．
【点睛】
本题考查正比例函数与反比例函数的综合应用，熟练掌握正比例函数与反比例函数的图象与性质是解题关键．
12．（1）反比例函数解析式为，点B的坐标为；（2）经过点B的一次函数解析式为（答案不唯一）．
【分析】
（1）由题意可先求出点A的坐标，然后把点A的坐标代入反比例函数解析式进行求解，最后根据点的坐标平移可得点B的坐标；
（2）设经过点B的一次函数解析式为，由（1）可得反比例函数解析式为，由题意可得无实数根，然后根据一元二次方程根的判别式可直接求解．
【详解】
解：（1）把点代入一次函数可得：，
∴点，
∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，
∴，
∴反比例函数解析式为，
由将点A向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度可得点B的坐标为；
（2）设经过点B的一次函数解析式为，由（1）可得反比例函数解析式为，
∵一次函数与反比例函数的图象没有公共点，
∴无实数根，即无实数根，
∴，
解得：，
∴写出的一次函数只有满足即可，
∴经过点B的一次函数解析式可以为（答案不唯一）．
【点睛】
本题主要考查反比例函数与一次函数的综合及一元二次方程根的判别式，熟练掌握反比例函数与一次函数的综合及一元二次方程根的判别式是解题的关键．
13．（1）①；②；（2）
【分析】
（1）①把点A代入一次函数的解析式，即可确定a值；②把确定后的点A的坐标代入反比例函数的解析式即可确定解析式．
（2）根据函数的解析式，得方程，解方程，得x=3或x=-2，不符合题意，舍去，根据题意，画示意图解答即可．
【详解】
解：（1）①∵点在直线上，
∴．
②∵点在函数的图象上，
∴．
∴．
（2）如图，根据题意，得方程，解方程，得x=3或x=-2，
经检验：它们都是原方程的根，
结合图像可得：点A（3，2），
∵，
∴点M在点N的上方，
故．
【点睛】
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，垂直x轴的直线上点的坐标，熟练掌握交点的意义，灵活运用数形结合思想是解题的关键．
14．（1），；（2）或
【分析】
（1）代入点B，可求m的值，将点A、点B再代入，可求得k、b的值，从而可求直线的解析式；
（2）由、可求得交点坐标，从而可画出图像，不等式的解集即为直线的图象在双曲线：的图象上方的部分．
【详解】
解：（1）∵相交于点（，2），
∴，
∴；
∵直线过点（，）、点（，2），
∴，
解得，
∴直线的解析式为．
（2）由得或，
∴直线与双曲线：相交于点（1，2）、点C（-2，-1），
可得图像如图所示：
由图象可得不等式的解集为：或．
【点睛】
本题考查了待定系数法求函数解析式，利用函数图象解不等式，解题的关键是理解函数与不等式之间的关系．