安徽省太和县中鑫嘉和实验高级中学2024-2025学年高一下学期期中考试 数学试卷（含解析）

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考试时间：120分钟 满分150分
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z=−1+i，则下列说法正确的是( )
A. z的虚部为i B. z的共轭复数为z=−1+i
C. z对应的点在第二象限 D. z=2
2.下列说法中正确的是( )
A. 时间能称为向量 B. 所有单位向量都是相等向量
C. 模为0的向量与任一非零向量平行 D. 若|a|=|b|，则a=b
3.已知向量a=(−5,5)，b=(0,−3)，则a+b=( )
A. (−5,1) B. (−5,2) C. (−8,5) D. (−5,−8)
4.如图，在△ABC中，AB=3AD，点E是CD的中点.设AB=a，AC=b，则AE=( )
A. 16a+12b B. 13a+12b C. −16a+12b D. 16a−12b
5.已知两个单位向量e1,e2，若(e1→−2e2→)⊥e1→，则e1,e2的夹角为( )
A. 2π3 B. π3 C. π4 D. π6
6.已知OA=(2,2)，OB=(4,1)，OP=(x,0)，则当AP·BP最小时，x的值是( )
A. −3 B. 3 C. −1 D. 1
7.已知某圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，高为 7，若某一球的体积与该圆台体积相同，则该球的表面积为( )
A. 7π B. 14π C. 28π D. 56π
8.如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，则下列关系中不正确的是( )
A. PA⊥BC B. BC⊥平面PAC C. AC⊥PB D. PC⊥BC
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(1,3)，b=(2,−4)，则下列结论正确的是( )
A. (a→+b→)⊥a→ B. |2a+b|= 10
C. 向量a与向量b的夹角为3π4 D. b在a的投影向量是1,3
10.已知复数z在复平面上对应的点为Z(2,−1)，则( )
A. z=−1+2i B. |z|=5C. z=2+ i D. z−2是纯虚数
11.如图，几何体ABCD−A1B1C1D1为正方体，则
A. BD//平面CB1D1 B. AC1⊥BD
C. AC1⊥平面CB1D1 D. 异面直线AD与CB1所成的角为60°
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.i+i2+i3+i4=
13.已知水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形A ′B ′C ′D ′，已知A′B′=3,B′C′=32，则四边形ABCD的面积为
14.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a+b−c)(a+b+c)=ab，则角C=
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=a−1+ai(a∈R)，i为虚数单位．
(1)若z是纯虚数，求a；
(2)若|z|= 5，求z．
16.(本小题15分)
已知向量a=(−2,3)，b=(3,4)，c=a−2b．
(1)求b⋅c
(2)若a−λb与3a−b垂直，求实数λ的值．
17.(本小题15分)
在锐角ΔABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2asinB= 3b．
(Ⅰ)求角A的大小；
(Ⅱ)若a=4,b+c=8,求ΔABC的面积．
18.(本小题17分)
如图所示，球O的一个截面圆的面积是36πcm2，球心O到该截面圆圆心O′的距离是8cm，求该球的表面积及体积．
19.(本小题17分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，D，E分别为BC，A1B1的中点．
(Ⅰ)求证：DE/​/平面A1ACC1；
(Ⅱ)求证：AB⊥DE．
(Ⅲ)若AA1=3，AB=AC=2，求三棱锥A−BCE的体积．