湖北省沙市中学2024-2025学年高一下学期5月月考 数学试题

这是一份湖北省沙市中学2024-2025学年高一下学期5月月考 数学试题，共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知，均为锐角，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数，若，则（ ）
A．B．C．D．2
3．在长方体中，若，，则异面直线，所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，点为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，是平面外的两条直线，在的前提下，是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．设， 是两个非零向量，且， ， 则与的夹角是（ ）
A．B．C．D．
7．在等边三角形中，D、E、F分别在边上，且．则三角形面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数 ，，对任意恒有，且在区间上有且只有一个使，则的最大值为
A．B．C．D．
二、多选题
9．（多选题）下列四个命题中，真命题是（ ）
A．若是两条直线，是两个平面， 且， 则是异面直线.
B．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
C．若直线相交，是平面且，则直线不在平面内.
D．若是平面，直线，直线，则.
10．点在所在平面内，下列说法正确的是（ ）
A．若，则为的重心
B．若，则为锐角三角形
C．若，则
D．若为边长为2的正三角形，点在线段BC上运动，则
11．如图，已知正方体的棱长为2，点为的中点，点为正方形内（包含边界）的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．四点共面
B．几何体的体积为
C．存在唯一的点，使平面
D．直线与所成角的余弦值的取值范围是
三、填空题
12．已知平面向量，，则在上的投影向量的坐标为 .
13．中，若，，则的面积的取值范围 .
14．已知函数是定义在上的奇函数，将函数 图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍得到的图象，若方程在时有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
四、解答题
15．如图，在矩形和四分之一的拼接的平面图形中，，，将该图形绕所在直线旋转一周形成的面所围成的旋转体记为．
(1)求的体积；
(2)求的表面积．
16．如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点.
(1)求证：//平面；
(2)若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使//平面？说明理由.
17．如图，一个半径为米的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车轴心距水面的高度为米.设筒车上某个盛水桶到水面的距离为（单位：米）（在水面下则为负数），若以盛水桶刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：分钟）之间的关系式为.
(1)求与时间（单位：分钟）之间的关系式；
(2)某时刻（单位：分钟）时，盛水桶在过点竖直直线的左侧，到水面的距离为米，再经过分钟后，求盛水桶到水面的距离.
18．在中，，，所对的边分别为，，，已知.
(1)若，求的值；
(2)若是锐角三角形，求的取值范围.
19．已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.
(1)设函数，试求的伴随向量；
(2)记向量的伴随函数为，求当且时，的值；
(3)当向量时，伴随函数为，函数，求在区间上最大值与最小值之差的取值范围.
《2024-2025学年度高中数学5月月考卷》参考答案
1．C
【分析】首先求出，，再由及两角差的正弦公式计算可得.
【详解】因为，均为锐角，则，又，
所以，
所以，，
所以
.
故选：C
2．B
【分析】先根据复数的除法运算法则求出，再根据复数的模的计算公式求出；也可利用复数模的性质来求解.
【详解】方法一：
由题意，，
所以，.
方法二：
已知，则.
已知，则.
因为，根据复数模的性质，可得：
.
故选：B.
3．B
【分析】注意到，则、所成角，即为与所成角，然后由题意及余弦定理可得答案.
【详解】连接、，由题可得，又，
则四边形为平行四边形，则，
即，所成角，即为与所成角或其补角，
又由题可得，，
则.
因此，异面直线，所成角的余弦值为.
故选：B.
4．D
【分析】根据线面平行、面面平行的判定定理及性质即可判断.
【详解】对于A选项，如图①所示，在正方体中，
且，
因为分别为的中点，
则且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面平面，
所以平面，同理可证平面，
因为平面，
所以平面平面，
因为平面，
故平面,故A满足；
对于B选项，如图②所示，连接，

在正方体中，且，
因为分别为的中点，则且，
所以四边形为平行四边形，故，
因为分别为的中点，则，
所以，
因为平面平面，
所以平面，故B满足；
对于C选项，如图③所示，在正方体中，取的中点，
连接，

因为且分别为的中点，
所以且，故四边形为平行四边形，则，
因为分别为的中点，
所以，则，
所以四点共面，
因为且，则四边形为平行四边形，
所以，
因为分别为的中点，则，
所以，
因为平面平面，
所以平面故C满足；
对于D选项，如图④所示，在正方体中，取的中点，
连接，

因为且分别为的中点，
则且，
所以四边形为平行四边形，则，
因为分别为的中点，
所以，故，
所以四点共面，
同理可证，故，
同理可得，
反设平面，
因为，且平面，则平面，
但与平面有公共点，这与平面矛盾，
故平面，故D不满足.
故选：D.
5．B
【分析】充分性可在正方体中举反例，必要性则利用线面平行的性质定理和判定定理可得.
【详解】如图，在正方体中，
记平面为，直线为，
若记直线为，则满足，但，故无法得出；
因，则直线共面，记直线所确定的平面为，
若，则；
若，则由，可得，则，
因，，，则，
故由可得出.
综上可知，是的必要不充分条件.
故选：B.
6．C
【分析】由，，得，，化简后结合向量的夹角公式可求得结果.
【详解】因为，所以，
所以，①
因为，所以，
所以，②
由②①，得，则，
所以，得，所以，
因为， 是两个非零向量，
所以，
因为，所以.
故选：C
7．A
【分析】结合已知，引入来表达，且据勾股定理可求出，则在和中，分别用正弦定理可表达，即可表达面积，从而分析最值.
【详解】设，
，
，
，
在中，，即，
，
同理，在中，，
的边长，
其中，
时，取得最大值为，
.
故选：A.
8．C
【分析】由题意得到满足的关系式，然后结合题意分类讨论确定ω的最大值即可.
【详解】由题意知，则，
其中，
又f(x)在（，）上有且只有一个最大值，且要求最大，
则区间（，）包含的周期应最多，
所以，得0