山东省实验中学2024−2025学年高一下学期4月月考 数学试题（含解析）

这是一份山东省实验中学2024−2025学年高一下学期4月月考 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知平面向量与的夹角为，则（ ）
A．B．C．4D．12
2．
A．B．C．D．
3．用一个平面截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体不可能是（ ）
A．长方体B．圆锥C．棱锥D．圆台
4．给出下列几个说法：
①过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；
④过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行．
其中正确说法的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
5．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式.宋代称为撮尖，清代称攒尖.依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖.也有单檐和重檐之分.多见于亭阁式建筑，园林建筑.以八角攒尖为例，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正八棱锥，若此正八棱锥的侧面等腰三角形的底角为，则侧棱与底面外接圆半径的比为（ ）

A．B．C．D．
6．已知中，D，E分别为线段AB，BC上的点，直线AE，CD交于点P，且满足，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知斜二测画法下的直观图是边长为的正三角形（如图所示），则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知为复数，是的共轭复数，则下列命题一定正确的是（ ）
A．若为纯虚数，则B．若，则
C．若，则的最大值为2D．
10．如图，为正方体中所在棱的中点，过两点作正方体的截面，则截面的形状可能为（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
11．如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线与是异面直线
B．直线与是平行直线
C．直线与是相交直线
D．平面截正方体所得的截面面积为
三、填空题
12．如图，在中，P为线段AB上一点，则，若，，，且与的夹角为，则的值为 .
13．已知圆台的上、下底面的周长分别为，，母线长为，则该圆台的体积为 .
14．正三棱台的上底面边长，下底面边长，棱台的高为2，则该正三棱台的侧面积为 .
四、解答题
15．设三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角A的大小；
（2）若，求三角形ABC面积S的最大值．
16．（1）在复平面内，若、对应的复数分别为、，求；
（2）复数满足，求；
（3）已知，复数，当为何值时，
①；②是纯虚数.
17．已知平面向量的夹角为，且．
（Ⅰ）求的最大值；
（Ⅱ）求的最大值．
18． 如图，已知在直角梯形ABCD中，，，，，若将该图形中阴影部分绕AB所在直线旋转一周，求形成的几何体的表面积与体积.
19．如图，在直三棱柱中，，，M，N，P分别为，AC，BC的中点．
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积．
参考答案
1．【答案】B
【详解】由题得，
所以.
故选B.
2．【答案】A
【详解】，
故选A.
3．【答案】D
【详解】
对于A项，如图1，用平面截长方体，得到的截面是三角形，故A项正确；
对于B项，如图2，用平面截圆锥，得到的截面是三角形，故B项正确；
对于C项，三棱锥各个面即为三角形；除三棱锥外，过棱锥底面不相邻两顶点和棱锥顶点的截面为三角形，故C项正确；
对于D项，圆台的截面不可能为三角形，故D项错误.
故选D.
4．【答案】C
【详解】对于①：过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,正确；
对于②：过已知直线上一点有无数条直线与已知直线垂直，错误；
对于③：过平面外一点有无数条直线与该平面平行，错误；
对于④：过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行，正确．
故选C．
5．【答案】C
【详解】设为正八棱锥底面外接圆心，连接，，，由题意可得，，，运用锐角三角函数可得选项．
【详解】如图，为正八棱锥底面外接圆心，连接，，，由题意，，，则.
故选C．
6．【答案】C
【详解】如图，令，，
于是，
而，并且不共线，因此，解得，
令，，
则，
从而，解得，因此点是线段的中点，
所以，所以.
故选C
7．【答案】A
【详解】，
则，即，
因为，所以解得：，
由正弦定理得，所以，
又C为锐角，所以，
故选A．
8．【答案】A
【详解】如图所示，
过作轴，与轴交于点，
则，，，
由正弦定理得，
即，
则，，
将三角形还原到直角坐标系中，如图所示，
，，
所以，
故选A.
9．【答案】BCD
【详解】对于A，为纯虚数，所以，即，所以A错误；
对于B，，
因为，所以，从而，所以正确；
对于C， 由复数模的三角不等式可得，所以C正确；
对于D，，所以D正确.
故选BCD．
10．【答案】BD
【详解】由正方体的对称性可知，截面的形状不可能为三角形和五边形，
如图，截面的形状只可能为四边形和六边形.
故选BD
11．【答案】AD
【详解】面，面，，所以直线与是异面直线，故A正确；
面，面，，所以直线与是异面直线，即直线与是异面直线，故B错误；
面，面，，所以直线与是异面直线，故C错误；
明显，故四边形为平面截正方体所得的截面，
，
四边形是等腰梯形，则梯形的高是，
所以梯形的面积，故D正确．
故选AD．
12．【答案】-3
【详解】因为，所以，
所以
，
即.
13．【答案】/
【详解】因为圆台的上､下底面的周长分别为，，母线长为，
所以该圆台的上､下底面的半径分别，，
如图所示：
即，，，所以，
所以直角梯形的高，故圆台的高为，
则圆台的体积.
14．【答案】
【详解】
如图，还台为锥，为正三棱锥.
过点作出正三棱锥的高，交棱台上底面于点，交下底面于点，
连结,则易知.
因为为正三角形，是的中心，，
由正弦定理可得，，所以.
同理可得，.
因为，所以.
因为，
所以，.
又平面，平面，
所以，.
在中，.
所以，，所以.
取中点分别为，连结，则是等腰梯形的高.
在等腰三角形中，显然有，
且，，所以，
所以.
所以，.
所以，该正三棱台的侧面积为.
15．【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）由正弦定理：可化为，
即，
即，
所以，
又，所以，
因为，所以；
（2）由余弦定理得，
即，
所以，所以，
所以△ABC面积.
16．【答案】（1）5；（2）2+i；（3）①-3；②0或2．
【详解】（1） 、对应的复数分别为、，
∴，，
，；
（2），，∴，
，∴；
（3）①∵，∴，解得；
②是纯虚数，，解得或．
17．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【详解】（Ⅰ）
，因为，所以，
而，所以的最大值；
（Ⅱ），
设，由（Ⅰ）可知：，
即，显然，
因此，
令，则，
设，则，
因此要想有最大值，一定有，
因为（当且仅当时取等号，即时取等号），
所以，
因此的最大值为.
18．【答案】，.
【详解】由题意知，所求旋转体的表面积由圆台下底面、侧面和一半球面组成.
在直角梯形ABCD中，过D点作DE⊥BC，垂足为E，
在Rt△DEC中，，
所以，，，
∴.
因为圆台的体积，
半球的体积，所以所求几何体的体积为.
19．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）直三棱柱中，为的中点，
，且，
，分别，的中点，
，，
，，
四边形为平行四边形，，
又平面，平面，
故平面.
（2）因为直三棱柱，则平面平面，
因为平面，则点到底面的距离即为点到底面的距离，
又因为底面，则点到底面的距离即为长，
又因为N，P分别为AC，BC的中点，且，
则.